Определители. Вычисление определителей (стр. 3 )

Число называется собственным значением оператора (матрицы A), соответствующим вектору x. В матричной форме: или в развернутом виде:

Преобразуем систему так, чтобы в правой части уравнений были нули:

В матричной форме: , где E – единичная матрица. Полученная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т. е.:

Определитель является многочленом n-й степени относительно и называется характеристическим многочленом оператора или матрицы , а уравнение, обозначенное , называется характеристическим уравнением оператора или матрицы .

Пример 5.3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

или . Решая квадратное уравнение, получим: – это и есть собственные значения линейного оператора .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Решаем матричное уравнение: или . Система неопределенна: или Следовательно, . Таким образом, векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Матричное уравнение: или . Следовательно, . Таким образом, векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

.

Пример 5.4. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.

Решение. В примере 5.3. мы определили и . Координаты собственных векторов не пропорциональны, то векторы и линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов, матрица А будет иметь диагональный вид:

или .

Для проверки выберем любые, не равные нулю, числа, например, ; , тогда ; . Матрица перехода от старого базиса к новому: . Тогда матрица А в новом базисе примет вид:

,

т. е. получается диагональная матрица с элементами главной диагонали, равными собственным значениям матрицы А.

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

,

где – коэффициенты квадратичной формы (действительные числа).

Матрица – матрица квадратичной формы (матрица, у которой называется симметрической).

Матричная запись квадратичной формы:

, где – матрица-столбец переменных.

.

Пример 5.5. Дана квадратичная форма:

.

Записать ее в матричном виде.

Решение. Диагональные элементы – коэффициенты при квадратах: 4; 1; -3;. Другие элементы – половины соответствующих коэффициентов:

Следовательно, . Поэтому .

Найти образ вектора , если линейный оператор в базисе задан матрицей :

5.1. ; . 5.2. ; .

5.3. ; . 5.4. ; .

5.5. ; . 5.6. ; .

5.7. ; . 5.8. ; .

Задана матрица А линейного оператора в некотором базисе . Найти матрицу этого оператора в базисе .

5.9.; 5.10.;

5.11. ; 5.12. ;

5.13. ; 5.14. ;

5.15. ; 5.16. ;

5.17. ; 5.18. ;

5.19. ; 5.20. ;

5.21. ; 5.22. ;

5.23. ; 5.24. ;

5.25. ; 5.26. ;

5.27. ; 5.28. ;

5.29. ; 5.30. ;

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А:

5.31. 5.32. 5.33. 5.34.

5.35. 5.36. 5.37. 5.38.

5.39. 5.40. 5.41.

5.42. 5.43. 5.44.

5.45. 5.46. 5.47.

5.48. 5.49. 5.50.

5.51. 5.52. 5.53.

Найти матрицу С, которая приводит данную матрицу А к диагональному виду и матрицу :

5.54. 5.55. 5.56. 5.57.

5.58. 5.59. 5.60.

5.61. 5.62. 5.63.

Записать в матричном виде данную квадратичную форму:

5.64. .

5.65. .

5.66. .

5.67. .

5.68. .

5.69. .

5.70. .

5.71. .

5.72. .

5.73. .

5.74. .

5.75. .

5.76. .

5.77. .

5.78. .

5.79. .

5.80. .

Варианты контрольных заданий

Вычислить определитель:

Вариант	Определитель	Вариант	Определитель
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Найти произведение матриц А и В:

А=; В=.

Вариант	k1	k2	k3	Вариант	k1	k2	k3
1	-5	7	-3	11	-2	7	3
2	2	5	-3	12	1	5	3
3	-2	3	1	13	2	3	4
4	4	3	-3	14	3	1	2
5	2	3	-2	15	2	5	3
6	4	-4	-3	16	1	2	7
7	-1	-2	3	17	-3	-4	4
8	2	-4	1	18	3	3	-4
9	3	-5	2	19	5	4	2
10	5	2	-3	20	3	-4	2

Дана матрица А. Найти матрицу А-1 и установить, что АА-1 = Е.

Вариант	Матрица А	Вариант	Матрица А
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Ва- ри- ант	Система уравнений	Ва- ри- ант	Система уравнений
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Задана матрица А линейного оператора в некотором базисе . Найти матрицу этого оператора в базисе .

Ва- ри- ант	Матрица А	Базис	Ва- ри- ант	Матрица А	Базис
1			11
2			12
3			13
4			14
5			15
6			16
7			17
8			18
9			19
10			20

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А.

Вариант	Матрица А	Вариант	Матрица А
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Записать в матричном виде данную квадратичную форму.

Вариант	Квадратичная форма
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20