ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»
Кафедра высшей математики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Раздел: линейная алгебра
ИЗДАТЕЛЬСТВО
САНКТ-ПЕТЕРБУРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ
2012 г.
Утверждено научно-методическим советом университета.
Методические указания и контрольные задания по курсу «Линейная алгебра» для студентов вечернего и заочного факультетов. – СПб.: Изд-во СПбГЭФ, 2012. – 31с.
Методические указания составлены в соответствии с учебной программой курса «Линейная алгебра» и предназначены для студентов первого курса вечернего и заочного факультетов. В данном пособии приведены контрольные задания для самостоятельной работы, даны указания по их решению и предложены задания для самостоятельной работы.
Авторы-составители: к. э.н. , преп.
Рецензент: доц., канд. физ.-мат. н.
©Издательство СПбГУЭФ, 2012
1. Цели и задачи дисциплины: накопление необходимого запаса сведений по математике (основные определения, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать экономические задачи, помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов; развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследования экономических проблем, развитию стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы.
2. Место дисциплины в структуре ООП: дисциплина «Линейная алгебра» относится к циклу Б.2.1. Математический цикл, Базовая часть. Входные знания, умения и компетенции студентов должны соответствовать курсу математики общеобразовательной школы. Дисциплина «Линейная алгебра» является предшествующей для следующих дисциплин: математический анализ, теория вероятностей м математическая статистика, методы оптимальных решений, информатика, математические методы и модели, микроэкономика, макроэкономика, статистика, эконометрика.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
– способен понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-12);
– владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13);
расчетно-экономическая деятельность
способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК-2);
способен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
аналитическая, научно-исследовательская деятельность
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);
способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);
способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6);
способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);
организационно-управленческая деятельность
способен использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-12);
педагогическая деятельность
способен преподавать экономические дисциплины в образовательных учреждениях различного уровня, используя существующие программы и учебно-методические материалы (ПК-14);
способен принять участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин (ПК-15).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основы линейной алгебры, необходимые для решения экономических задач;
Уметь: применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач;
Владеть: навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач; методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
Содержание разделов дисциплины
1. Аналитическая геометрия
Геометрические векторы. Определение геометрических векторов, линейные операции, линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, базисы, координаты вектора, действия с векторами в координатах.
Умножения геометрических векторов. Скалярное произведение, определение и формула в ортонормированном базисе. Определители второго и третьего порядков. Векторное и смешанное произведение, определение, формулы и геометрические приложения.
Метод координат. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Преобразование прямоугольных координат. Расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении. Понятие об уравнении линий и поверхностей. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Основные задачи на прямую линию на плоскости. Уравнения плоскости. Уравнения прямой в пространстве. Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве.
Кривые и поверхности второго порядка. Общий вид уравнения второго порядка, инварианты. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Определение вида кривой по уравнению. Полярные координаты на плоскости. Представление о поверхностях второго порядка.
2. Линейные пространства
2.1. Векторное пространство 
. Определение и свойства линейных операций над 
-мерными векторами, векторное пространство . Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Скалярное умножение, неравенство Коши, норма (длина) -мерного вектора. Ортогональность, угол между векторами. Базисы, координаты вектора относительно базиса, размерность. Ортогональные и ортонормированные базисы, процедура ортогонализации. Подпространства и линейные оболочки. Ранг системы векторов. Эквивалентные системы векторов, элементарные преобразования систем векторов.
2.2. Линейные отображения и матрицы Линейные отображения (преобразования, операторы). Матрицы, связь матриц с линейными отображениями. Алгебра линейных отображений и алгебра матриц. Транспонирование матрицы и его свойства. Симметричные матрицы. Понятие о сопряженном и самосопряженном линейном отображении.
2.3. Определители. Определение и элементарные свойства определителей. Определитель произведения матриц. Разложение определителя по строке (столбцу). Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований. Определитель и линейная независимость системы векторов. Геометрический смысл определителя.
2.4. Ранг линейного отображения и ранги матриц. Образ и ядро линейного отображения. Ранг линейного отображения. Ранг матрицы. Ранг матрицы и линейная независимость системы векторов.
2.5. Обратная матрица. Обратимые линейные отображения. Обратная матрица. Признаки существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и с помощью союзной (присоединенной) матрицы. Преобразование координат вектора и элементов матрицы при переходе к новому базису. Ортогональные матрицы.
2.6. Системы линейных уравнений. Координатная, векторная и матричная формы записи системы линейных уравнений. Исследование систем линейных уравнений. Теоремы Кронекера-Капелли, Крамера, Фредгольма. Решение систем линейных уравнений методом элементарных преобразований (методом Гаусса). Решение однородных систем линейных уравнений.
2.7. Собственные векторы и собственные числа матрицы. Определение собственных векторов и собственных чисел линейного отображения и квадратной матрицы. Собственные подпространства. Вид матрицы линейного отображения в базисе из собственных векторов. Понятие о характеристическом и минимальном многочлене квадратной матрицы. Квадратичные и билинейные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Основные понятия линейной балансовой модели. Элементы теории неотрицательных матриц.
Правила выполнения и оформления контрольной работы
При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться нижеизложенных правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
1. Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для каждой работы, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины; здесь же следует указать дату отсылки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задачи другого варианта, не засчитываются.
4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие, подставляя конкретные данные из решаемого варианта.
6. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
7. После получения прорецензированной работы, как зачтенной, так и незачтённой, студент должен исправить все указанные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. Исправления следует присылать вместе с прорецензированной работой и рецензией. В связи с этим рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается. В случае незачета работы и отсутствия прямого указания на то, что студент может ограничиться исправлением отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
8. Поскольку на рецензирование работы преподавателю отводится две недели, задания следует высылать на проверку заблаговременно.
9. К экзамену допускаются студенты, получившие положительную рецензию на работу.
В соответствии с балльно-рейтинговой системой оценка знаний студента материала курса «Математика» проводится в виде теста. Баллы, полученные на тесте, соответствуют следующим оценкам:
«не удовлетворительно» – от 0 до 54 баллов включительно;
«удовлетворительно» – от 55 до 69 баллов включительно;
«хорошо» – от 70 до 84 баллов включительно;
«отлично» – от 85 баллов и выше.
Предисловие.
Данные методические указания содержат примерные тестовые задания, предлагаемые на экзамене по математике студентам заочного отделения пятигодичного обучения. Все задания разобраны и решены. В заключении предлагается тренировочный тест с ответами.
Ознакомление с приведенным ниже материалом будет полезным при подготовке к экзамену по математике, как для студентов заочной, так и очно-заочной форм обучения.
Экзаменационный тест разбит на три части. Каждое задание, предлагаемое в первой части, требует простого ответа «да» или «нет» на поставленный вопрос. При выполнении заданий из второй части необходимо выбрать правильный ответ из нескольких предлагаемых вариантов. В третьей части требуется самостоятельно решить задачу и записать ответ в виде действительного числа.
За правильно выполненные задания начисляются баллы, которые затем суммируются. На основании полученной суммы выставляется итоговая оценка.
Раздел первый.
Решение примерных тестовых заданий.
Часть I. В этой части Вам предлагается 6 заданий, каждое из которых состоит из родственных друг другу вопросов. На каждый из вопросов Вы можете дать один из двух ответов: «Да» или «Нет» поставив отметку в соответствующей клетке таблицы в бланке ответов. Кроме того, Вы можете дать ответ «Не знаю», оставив обе, соответствующие вопросу клетки, пустыми.
Задания первой части состоят из четырёх вопросов. Два из них разобраны и приведены методы решения. Два другие предлагается решить в качестве самоподготовки и свериться с ответом.
Задание I. Выяснить, делит ли точка 
отрезок 
пополам, если:
1. 
2. 
3. 
4. 
Решение. Если точка , делит отрезок пополам, то точка 
является серединой отрезка .
Тогда
.
1. 
, 
. Следовательно 
.
Вывод. Точка делит отрезок пополам.
Ответ: Да.
2. 
, 
. Следовательно 
.
Вывод. Точка не делит отрезок пополам.
Ответ: Нет.
3. Ответ: Нет.
4. Ответ: Нет.
Задание II. Известно уравнение прямой на плоскости 
Указать принадлежит ли точка 
этой прямой, если известны её координаты:
1. 
2. 
3. 
4. 
Решение. Точка 
будет принадлежать прямой, если её координаты 
и 
удовлетворяют уравнению этой прямой.
1. Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получим
.
Вывод. Точка не принадлежит прямой.
Ответ: Нет
2. Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получим
.
Вывод. Точка принадлежит прямой.
Ответ: Да
3. Ответ: Нет
4. Ответ: Да
Задание III. Даны матрицы , 
и 
размера 
, 
соответственно. Ответить, верно ли указан размер матриц после умножения:
1. 
2. 
3. 
4. 
Решение. Для того чтобы существовало произведение матриц и , где матрица размера 
, а матрица размера 
необходимо и достаточно, чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк второй матрицы, то есть 
. У матрицы 
будет строк столько же, сколько их у матрицы , а столбцов столько же, сколько их у матрицы . Следовательно, матрица будет размера 
.
1. Если матрица имеет размер 
, а матрица 
, то произведение 
существует и имеет размер .
Вывод. Размер матрицы указан неверно.
Ответ: Нет.
2. Если матрица имеет размер , а матрица , то произведение 
существует и имеет размер .
Вывод. Размер матрицы указан верно.
Ответ: Да.
3. Ответ: Да
4. Ответ: Нет
Задание IV. Выяснить, образуют ли векторы 
базис пространства 
, если:
1. 
2. 
3. 
4. 
Решение. Известно, что любые три линейно независимых вектора из пространства образуют базис этого пространства. Для решения задачи достаточно проверить являются ли векторы 
и 
линейно независимыми.
Следовательно, векторы и будут образовывать базис пространства , если матрица размера составленная из векторов и , как строк или столбцов, имеет ранг равный 
.
Составим матрицу , располагая векторы и по строкам,
Далее, используя элементарные преобразования, преобразуем эту матрицу к треугольному виду. Получаем
.
1. первую строчку умножаем на 
и прибавляем ко второй и третьей строке
2. первую и вторую строчку меняем местами
3. первую строку умножаем на 
и прибавляем ко второй строке
4. вторую строку умножаем на 
и прибавляем к третьей строке
Поэтому 
.
Вывод. Векторы и образуют базис .
Ответ: Да.
2. Составим матрицу , располагая векторы и по строкам,
Далее, используя метод Гаусса, преобразуем эту матрицу к трапециевидному (треугольному) виду. Получаем
.
Поэтому 
.
Вывод. Векторы и не образуют базис .
Ответ: Нет.
3. Ответ: Да.
4. Ответ: Нет.
Задание V. Указать, имеет ли система уравнений решение:
1. 
2. 
3. 
4. 
Решение. Согласно теореме Кронекера – Капели система линейных уравнений 
совместна (то есть имеет единственное решение или бесконечно много решений), если ранг расширенной матрицы системы 
равен рангу матрицы коэффициентов .
1. Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса к квазитреугольному виду:
.
Ранг матрицы коэффициентов равен 
, а ранг расширенной матрицы равен 2.
Вывод. Так как 
, то система не имеет решений.
Ответ: Нет.
2. Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса к трапециевидному виду:
.
Ранг матрицы коэффициентов равен , и ранг расширенной матрицы равен 2.
Вывод. Так как 
, то система имеет решения.
Ответ: Да.
3. Ответ: Да.
4. Ответ: Нет.
Задание VI. Укажите верные свойства определителя:
1. Если к строке определителя прибавить другую строку этого определителя, умноженную на два, то определитель увеличится в два раза.
2. Если какой-либо столбец определителя равен нулю, то такой определитель равен нулю.
3. Если все элементы столбца определителя увеличить в три раза, то и определитель увеличится в три раза.
4. Если матрицу определителя транспонировать, то получившийся определитель транспонированной матрицы будет равен нулю.
Решение.
1.Утверждение неверно, так как, если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец) умноженную на любое число, то определитель не меняется.
Ответ: Нет.
2. Утверждение верно. Для того чтобы убедится в его правильности достаточно воспользоваться свойством определителя об его разложении по строкам или столбцам. В данном случае, раскладывая определитель по элементам нулевого столбца, получим ноль.
Ответ: Да.
3. Утверждение верно, так как если все элементы какой-либо строки или столбца умножить на некоторое число, то значение определителя умножится на это число. Для доказательства этого факта достаточно разложить определитель по элементам строки или столбца элементы, которых умножаются на число.
Ответ: Да.
4. Утверждение неверно. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, и он будет равен нулю только в том случае, если определитель исходной матрицы равен нулю.
Ответ: Нет.
Задание VII. Матрица имеет обратную, если:
1. 
квадратная матрица, определитель которой равен нулю.
2. диагональная матрица, у которой все диагональные элементы отличны от нуля.
3. квадратная матрица, ранг которой равен числу строк.
4. произвольная ненулевая матрица.
Решение. Условие существования обратной матрицы: квадратная матрица имеет обратную матрицу, если её определитель не равен нулю.
1. Матрица не имеет обратной, так как её определитель равен нулю, что противоречит условию существования обратной матрицы.
Ответ: Нет.
2. Матрица имеет обратную, так как определитель диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов. Если эти элементы отличны от нуля, то и определитель не равен нулю.
Ответ: Да.
3. Матрица имеет обратную, так как в этом случае, согласно определению ранга матрицы, определитель матрицы не равен нулю.
Ответ: Да.
4. Матрица не имеет обратной, так как определитель произвольной ненулевой матрицы может равняться нулю.
Ответ: Нет.
Часть II.
В этой части Вам предлагается 10 заданий. На каждый из вопросов Вы можете дать один из четырех ответов «a», «b», «c» или «d», поставив отметку в соответствующей клетке бланка ответов. Кроме того, Вы можете дать ответ «Не знаю», оставив все четыре, соответствующие вопросу клетки, пустыми.
Задание 1. Задано уравнение прямой 
. Указать прямую перпендикулярную данной прямой:
А) | Б) | В) | Г) |
Решение. Если две прямые
и 
перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением
.
Прямая перпендикулярная заданной прямой должна иметь угловой коэффициент 
. Этому условию удовлетворяет прямая b).
Ответ: Б).
Задание 2. Задано уравнение прямой . Указать прямую параллельную данной прямой:
А) | Б) | В) | Г) |
Решение. Если две прямые
и
параллельны, то их угловые коэффициенты равны
.
Прямая параллельная заданной прямой должна иметь угловой коэффициент 
. Этому условию удовлетворяет прямая Г).
Ответ: Г).
Задание 3. Найти результат умножения матриц
и 
:
А) | Б) |
В) | Г) |
Решение. Для того чтобы существовало произведение матриц , где матрица размера , а матрица размера необходимо чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк второй матрицы, то есть . У матрицы будет строк столько же сколько их у матрицы , а столбцов столько же сколько их у матрицы . Следовательно матрица будет размера .
Если 
то элемент
.
Получаем, что
.
Ответ: В).
Задание 4. Решить матричное уравнение 
если
, 
:
А) | Б) | В) | Г) |
Решение. Если матрица имеет обратную матрицу, то уравнение
можно преобразовать к виду
.
Так как 
единичная матрица, то 
и
.
Для нахождения 
воспользуемся формулой
где 
союзная матрица:
Здесь 
(
) – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .
Выполнив необходимые вычисления получаем, что
,
откуда
Ответ: Г).
Задание 5. Найти число 
, при котором векторы 
и 
параллельны:
А) | Б) | В) | Г) |
Решение. Два вектора
и 
будут параллельными, если их координаты пропорциональны, то есть
.
Получаем
.
Откуда следует, что 
.
Ответ: Б).
Задание 6. Найти число , при котором векторы 
и 
, будут перпендикулярны:
А) | Б) | В) | Г) |
Решение. Два вектора
и
будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Действительно, поскольку
то 
гарантирует то, что косинус угла между векторами будет равен нулю и, следовательно, сам угол равен 
. Имеем
Откуда следует, что 
.
Ответ: В).
Задание 7. Вставьте пропущенные в утверждении слова: система линейных уравнений имеет решение …, ранг расширенной матрицы … рангу основной матрицы
А) | всегда, когда | больше |
Б) | тогда и только тогда, когда | равен |
В) | если | не равен |
Г) | только тогда, когда | больше |
Решение. На основании теоремы Кронекера Капели заключаем, что правильная фраза будет: система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.
Ответ: Б).
Задание 8. Вставьте пропущенные в утверждении слова: векторы линейно независимы …, ранг матрицы координат этих векторов … числу векторов.
А) | всегда, когда | равен |
Б) | тогда и только тогда, когда | меньше |
В) | если | не равен |
Г) | только тогда, когда | не равен |
Решение. На основании признака линейной независимости системы векторов заключаем, что правильная фраза будет: векторы линейно независимы всегда, когда ранг матрицы координат этих векторов равен числу векторов.
Ответ: А).
Задание 9. Закончите утверждение: если к системе векторов добавить нулевой вектор, то эта система будет …
А) | нулевой |
Б) | неопределенной |
В) | линейно зависимой |
Г) | линейно независимой |
Решение. Поскольку система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима, то заключаем, что правильная фраза будет: если к системе векторов добавить нулевой вектор, то эта система будет линейно зависимой.
Ответ: В).
Задание 10. Закончите утверждение: всякие два вектора, лежащие на одной прямой …
А) | ортогональны |
Б) | |
В) | линейно не зависимой |
Г) | сонаправлены |
Решение. Сопоставляя определения ортогональных, коллинеарных, линейно независимых и сонаправленных векторов, заключаем, что правильная фраза будет: всякие два вектора, лежащие на одной прямой коллинеарны.
Ответ: Б).
Часть III.
Вам предлагаются 5 заданий. На каждое из заданий Вы можете дать ответ в виде положительного или отрицательного числа заполнив соответствующую номеру вопроса строчку в бланке ответов. В каждой клетке строки может располагаться только один символ: цифра, знак « - »отрицательного числа, или знак « . » разделителя десятичной дроби. Вы можете дать ответ не «Не знаю», оставив все пять соответствующих вопросу клеток пустыми.
Задание 1. Даны три вершины параллелограмма 
:
, 
.
Найти координаты четвертой вершины и записать в ответ сумму её координат.
Решение. Геометрические векторы складываются по правилу параллелограмма, поэтому, если сложить векторы 
и
,
совпадающие со сторонами параллелограмма, то суммой этих векторов будет вектор 
, совпадающий с диагональю параллелограмма
Найдем координаты векторов и :
Поэтому
.
Теперь, зная координаты вектора и координаты точки 
можно найти координаты точки 
, прибавив к координатам точки соответствующие координаты вектора . Получаем
Поэтому
Ответ: 19.
Задание 2. Найти длину средней линии трапеции , если известны координаты её вершин:
Решение. Найдем вначале длины оснований трапеции .
.
Длина средней линии 
равна полусумме длин оснований. Поэтому получаем
.
Ответ: 6.
Задание 3. Найти матрицу, обратную матрице
и записать в ответ сумму всех её элементов.
Решение. Для нахождения 
воспользуемся формулой
где 
союзная матрица
.
Найдя матрицу обратную к матрице целесообразно сделать проверку, используя определение обратной матрицы:
Сумма всех элементов обратной матрицы будет
.
Ответ: -3.
Задание 4. Решить систему:
и записать в ответ сумму 
Решение. Для решения системы линейных алгебраических уравнений составим расширенную матрицу и приведем её к квазитреугольному виду с помощью метода Гаусса.
Из преобразованной системы найдем решение исходной системы.
Третье уравнение это тождество 
.
Второе уравнение будет 
Первое уравнение будет 
Правильность полученного решения 
можно проверить подстановкой его в исходное уравнение.
Окончательно имеем 
Ответ: 1.5.
Задание 5. Найти значение 
при котором векторы линейно зависимы:
Решение. Составим определитель из координат заданных векторов, считая каждый вектор строкой определителя. Для того чтобы векторы и были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из соответствующих координат этих векторов был равен нулю.
Получаем
.
Ответ: -5.
Раздел второй
В этом разделе содержатся примерные тестовые задания, предлагаемые на экзамене по математике студентам первого курса заочного отделения. В конце теста приведены ответы на эти задания.
Часть I.
I. Выяснить, делит ли точка 
отрезок пополам, если:
1. | 2. |
3. | 4. |
II. Указать, принадлежит ли точка 
прямой, если уравнение этой прямой имеет вид:
5. | 6. |
7. | 8. |
III. Даны матрицы 
и размера 
и 
соответственно. Ответить, верно ли указан размер матрицы после умножения:
9. | 10. |
11. | 12. |
IV. Указать, имеет ли система уравнений решение, если:
13. | 14. |
15. | 16. |
V. Даны точки 
, 
, 
. Верно ли, что скалярное произведение векторов равно:
17. | 18. |
19. | 20. |
VI. Выяснить, образуют ли векторы базис пространства , если:
21. |
22. |
23. |
24. |
VII. Верны ли утверждения:
25. Если какая-либо строка определителя равна нулю, то и определитель нулю. Да |
26. Если матрицу определителя третьего порядка умножить на два, то и определитель этой матрицы также умножится на два. Нет |
27.Если какая-либо строка определителя равна столбцу этого же определителя, то такой определитель равен нулю. Нет |
28.Если к столбцу определителя прибавить другой столбец этого определителя, умноженный на два, то определитель этой матрицы увеличится в два раза. Нет |
VIII. Верны ли утверждения:
29. Матрица имеет обратную, если она квадратная, её определитель равен нулю и на главной диагонали стоят ненулевые элементы. Нет |
30. Матрица имеет обратную, если она квадратная и её определитель отличен от нуля. Да |
31. Матрица имеет обратную, если она не квадратная и на главной диагонали стоят единицы. Нет |
32. Матрица имеет обратную, если она квадратная и её ранг равен числу столбцов. Да |
Часть II.
1. Для прямой заданной уравнением 
найти прямую, перпендикулярную данной:
А) | Б) |
В) | Г) |
2. Для уравнения прямой 
указать прямую, параллельную данной:
А) | Б) |
В) | Г) |
3. Найти результат умножения матриц
и 
А) | Б) |
В) | Г) |
4. Решить матричное уравнение , если
и 
А) | Б) |
В) | Г) |
5. Указать число , при котором векторы 
и 
параллельны:
А) | Б) | В) | Г) |
6. Указать число , при котором векторы 
и перпендикулярны:
А) | Б) |
В) | Г) |
7. В утверждении вставьте пропущенные слова, делающее его верным:
система линейных уравнений имеет … решение … ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
А) | хотя бы одно | тогда и только тогда, когда |
Б) | ровно одно | только тогда, когда |
В) | бесконечное множество решений | если |
Г) | нулевое решение | только тогда, когда |
8. В утверждении вставьте пропущенные слова, делающее его верным:
векторы (более одного) … всегда, когда ранг матрицы координат этих векторов …
А) | линейно независимы | равен числу векторов |
Б) | линейно независимы | равен единице |
В) | линейно зависимы | равен числу векторов |
Г) | линейно независимы | не равен числу векторов |
9. Закончите утверждение: если из линейно независимой системы векторов, содержащей более двух векторов, исключить один вектор, то эта система будет …
А) | линейно независимой | В) | линейно зависимой |
Б) | неопределенной | Г) | всегда ортогональной |
10. Закончите утверждение: всякие три вектора из пространства 
, лежащие в одной плоскости …
А) | линейно независимы | В) | ортогональны |
Б) | компланарны | Г) | коллинеарны |
Часть III.
Даны три вершины 
параллелограмма : 
найти координаты четвертой вершины и записать в ответ сумму её координат.
1. Найти длину средней линии 
треугольника 
: 
, 
, 
, параллельной стороне .
2. Найти матрицу обратную матрице 
и записать в ответ сумму всех её элементов.
3. Решить систему:
и записать в ответ сумму 
4. Найти , при котором векторы
линейно зависимы.
Ответы
Часть I.
I.
1. Нет
2. Да
3. Да
4. Нет
II.
5. Нет
6. Нет
7. Нет
8. Да
III.
9. Нет
10. Да
11. Нет
12. Да
IV.
13. Да
14. Да
15. Да
16. Нет
V.
17. Нет
18. Нет
19. Да
20. Нет
VI.
21. Да
22. Да
23. Нет
24. Да
VII.
25. Да
26. Нет
27. Нет
28. Нет
VIII.
29. Нет
30. Да
31. Нет
32. Да
Часть II.
1. В)
2. Б)
3. В)
4. В)
5. Б)
6. А)
7. А)
8. А)
9. А)
10. Б)
Часть III.
1. 9
2. 1
3. 2
4. 3
5. -2
Рекомендуемая литература.
1. Александров по аналитической геометрии: Учебник. – М: Изд-во «Наука», 1968. – 912с.
2. , Ким алгебра и аналитическая геометрия: Учеб. – 3-е изд., пераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007. – 400с.
3. , А, , Шандра в экономике: Учебник: В 2-х ч. Ч.1.- 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Финансы и статистика, 200с.
4. Шипачев по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Высш. Шк., 2004. – 304с.
5. Минорский задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов.– 14-е изд., испр. – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2003. – 336с.
6. Методические указания, контрольные и индивидуальные домашние задания по высшей математике. Часть 1. «Аналитическая геометрия и векторная алгебра». – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2004.-75с. Составители: , , .
7. , . Аналитическая геометрия линейная алгебра. – Учебное пособие под редакцией , , .- М. – «ИНФРА-М», 2000. – 199с.
8. Письменный лекций по высшей математике. 1 часть. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. –288с.
