«Уравнения математической физики»

Федеральное агентство по образованию Российской федерации

ГОУ ВПО «Новосибирский государственный педагогический университет»

Математический факультет

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА КУРСА

«Уравнения математической физики»

по специальности «Информатика»

с дополнительной специальностью: «Математика»

Код стандарта: ДПП. Ф.04

Кафедра:	18
Курс	4
семестр:	7
Распределение часов:
Лекции:	17
Практические занятия	34
Лабораторные занятия
Самостоятельная работа	39
Зачетные мероприятия
Зачет	нет
Экзамен	есть
Курсовая работа	нет
Всего часов по уч. плану	90

Разработчик: к ф.-м. н., доцент

Утверждено на заседании кафедры

от «23» апреля 2007 г.

Протокол № 6

Зав. кафедрой _________

Новосибирск 2007 г.

1.  Выписка из ГОС

ДПП. Ф.04

Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Поле направлений, изоклины. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов. Уравнения с частными производными. Метод Фурье. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений.

90

2. Пояснительная записка

Курс теории дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными непосредственно примыкает к курсам математического анализа и теории функций и фактически является их завершающей частью. В частности, в этом курсе находят приложение многие вопросы, изучавшеися в математическом анализе и теории функций: дифференциальное и интегральное исчисления, ряды Фурье, теория аналитических функций и т. п. С другой стороны, здесь же находят приложение многие разделы линейной алгебры и аналитической геометрии. Наконец, этот курс в свою очередь непосредственно связан с приложениями математики, главным образом в физике.

Целями курса являются:

·  дать по возможности целостное представление об идеях и методах теории дифференциальных уравнений и современной математики в целом;

·  познакомить с широко распространенными методами математического моделирования при помощи дифференциальных уравнений;

·  познакомить будущих учителей с теми вопросами теории дифференциальных уравнений, которые непосредственно примыкают к программе по математике для средних учебных заведений.

3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

Общие требования

Студент должен знать:

– понятие обыкновенного дифференциального уравнения, его общего и частного решения, понятие задачи Коши, геометрический и физический смысл уравнения 1 порядка, теорему существования и единственности;

– для уравнений 2 порядка – постановку задачи Коши и краевой задачи, общий вид линейного уравнения, уравнения с постоянными коэффициентами, понятие характеристического уравнения, формулу общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов для решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида;

– понятие системы дифференциальных уравнений, постановку задачи Коши, общий вид линейных систем, систем с постоянными коэффициентами, метод решения однородных линейных систем с постоянными коэффициентами;

– понятие уравнения с частными производными 1 порядка, общий вид линейного уравнения;

– понятие уравнения с частными производными 2 порядка, их классификацию;

– вид уравнения колебаний струны, уравнения теплопроводности (одномерного), уравнения Лапласа;

– формулу Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебаний струны;

– метод Фурье решения начально-краевых задач для уравнений колебаний и теплопроводности;

– формулы прямого и обратного преобразования Фурье, метод его использования для решения дифференциальных уравнений.

Студент должен уметь:

– интегрировать уравнения с разделяющимися переменными, линейные 1 порядка, в полных дифференциалах;

– находить общее и частное (для задачи Коши) решения однородных и неоднородных линейных уравнений 2 порядка с постоянными коэффициентами;

– находить общее и частное (для задачи Коши) решения однородных линейных систем с постоянными коэффициентами для двух и трех искомых функций;

– применять метод Фурье к решению начально-краевых задач для уравнений колебаний и теплопроводности.

Студент должен иметь представление:

– об интегрировании других типов уравнений: Бернулли, однородных и т. п.;

– о постановке задачи Коши и краевой задачи для уравнений произвольного порядка;

– о решении линейных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами, однородных и неоднородных (с правой частью специального вида);

– об интегрировании уравнений с помощью рядов;

– о методе вариации произвольных постоянных для решения неоднородных линейных систем;

– о методе характеристик для решения линейного уравнения 1 порядка;

– о методе характеристик решения уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами;

– об общих (двух и трехмерном) уравнениях волновом и теплопроводности;

– о решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа;

– об истории возникновения и развития теории дифференциальных уравнений.

4. Объем и виды учебной работы

Курс рассчитан на один семестр: 17 часов лекций, 34 ч. практических занятий и 39 ч. самостоятельной работы студентов.

5. Формы проведения занятий и контрольных мероприятий

Основными формами проведения занятий являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов.

Текущий контроль в течении семестра осуществляется посредством оценки выполнения еженедельных домашних работ, а так же при проведении аудиторных контрольных работ. Всего в течении семестра предполагается две контрольные работы. Итоговый контрольный экзамен в конце семестра.

6. Содержание дисциплины

Тематический план

№	Тема	Л.	Пр.	С. р.
1.	Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения 1 порядка, их геометрический и физический смысл, поле направлений, изоклины. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.	3	8	6
2.	Контрольная работа № 1	0	2	0
3.	Дифференциальные уравнения 2 порядка. Линейные уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные уравнения n-ного порядка, уравнения с постоянными коэффициентами. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью рядов.	4	10	9
4.	Линейные системы дифференциальных уравнений. Системы с постоянными коэффициентами. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений.	2	6	5
5.	Контрольная работа № 2	0	2	0
6.	Уравнения с частными производными. Уравнения 1 порядка. Линейные уравнения, метод характеристик.	1	1	2
7.	Уравнения с частными производными 2 порядка, линейные уравнения, их классификация. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами, метод характеристик.	1	1	2
8.	Уравнение колебаний струны: решение задачи Коши, метод Фурье решения начально-краевых задач. Уравнение теплопроводности: метод Фурье. Уравнение Лапласа: задачи Дирихле и Неймана.	4	3	10
9.	Метод интегрального преобразования Фурье. Его применение к решению дифференциальных уравнений. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений.	2	1	5
	Итого	17	34	39

Список требований

№	Тема	Основные требования
1	Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения 1 порядка, их геометрический и физический смысл, поле направлений, изоклины. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.	Знать: понятие обыкновенного дифференциального уравнения, его общего и частного решения, понятие задачи Коши, геометрический и физический смысл уравнения 1 порядка, теорему существования и единственности. Уметь: интегрировать уравнения с разделяющимися переменными, линейные 1 порядка, в полных дифференциалах. Иметь представление: об интегрировании других типов уравнений: Бернулли, однородных и т. п.
2	Дифференциальные уравнения 2 порядка. Линейные уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные уравнения n-ного порядка, уравнения с постоянными коэффициентами. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью рядов.	Знать: для уравнений 2 порядка – постановку задачи Коши и краевой задачи, общий вид линейного уравнения, уравнения с постоянными коэффициентами, понятие характеристического уравнения, формулу общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов для решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Уметь: находить общее и частное (для задачи Коши) решения однородных и неоднородных линейных уравнений 2 порядка с постоянными коэффициентами. Иметь представление: о постановке задачи Коши и краевой задачи для уравнений произвольного порядка; о решении линейных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами, однородных и неоднородных (с правой частью специального вида); об интегрировании уравнений с помощью рядов.
3	Линейные системы дифференциальных уравнений. Системы с постоянными коэффициентами. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений.	Знать: понятие системы дифференциальных уравнений, постановку задачи Коши, общий вид линейных систем, систем с постоянными коэффициентами, метод решения однородных линейных систем с постоянными коэффициентами. Уметь: находить общее и частное (для задачи Коши) решения однородных линейных систем с постоянными коэффициентами для двух и трех искомых функций. Иметь представление: о методе вариации произвольных постоянных для решения неоднородных линейных систем.
4	Уравнения с частными производными. Уравнения 1 порядка. Линейные уравнения, метод характеристик.	Знать: понятие уравнения с частными производными 1 порядка, общий вид линейного уравнения. Иметь представление: о методе характеристик для решения линейного уравнения.
5	Уравнения с частными производными 2 порядка, линейные уравнения, их классификация. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами, метод характеристик.	Знать: понятие уравнения с частными производными 2 порядка, их классификацию. Иметь представление: о методе характеристик решения уравнения с постоянными коэффициентами.
6	Уравнение колебаний струны: решение задачи Коши, метод Фурье решения начально-краевых задач. Уравнение теплопроводности: метод Фурье. Уравнение Лапласа: задачи Дирихле и Неймана.	Знать: вид уравнения колебаний струны, уравнения теплопроводности (одномерного), уравнения Лапласа; формулу Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебаний струны; метод Фурье решения начально-краевых задач для уравнений колебаний и теплопроводности. Уметь: применять метод Фурье к решению начально-краевых задач для уравнений колебаний и теплопроводности. Иметь представление: об общих (двух и трехмерном) уравнениях волновом и теплопроводности, о решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.
7	Метод интегрального преобразования Фурье. Его применение к решению дифференциальных уравнений. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений.	Знать: формулы прямого и обратного преобразования Фурье, метод его использования для решения дифференциальных уравнений. Иметь представление: об истории возникновения и развития теории дифференциальных уравнений.

7. Список литературы

Основная литература:

1.  Матвеев уравнения. – М.: Просвещение, 1988.

2.  Матвеев интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – Минск: Вышэйшая школа, 1974.

3.  Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление. Любое издание.

4.  Бибиков курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – Л.: Из-во ЛГУ, 1981.

5.  , , Сафонов уравнения. – М.: Просвещение, 1984.

6.  Петровский по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Любое издание.

7.  Понтрягин дифференциальные уравнения. Любое издание.

8.  , , Свешников уравнения. – М.: Наука, 1980.

9.  , Самарский математической физики. – М.: Наука, 1972.

10.  Владимиров математической физики. Любое издание.

11.  Филиппов задач по дифференциальным уравнениям. Любое издание.

12.  , , Юруть индивидуальных заданий по высшей математике ч. 2. (?)

Дополнительная литература:

1.  , , Перестюк уравнения, - Киев: Вища школа, 1984.

2.  Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.

3.  Петровский об уравнениях с частными производными. Любое издание.

8. Контрольно – измерительные материалы

Предусмотрены две контрольные работы. Примерные варианты:

Контрольная работа № 1.

Найти общее или частное (в соответствии с заданием) решения уравнений:

1. , .

2. .

3. , .

4. .

5. , .

6. .

7. , .

8. .

9. , .

10. .

Контрольная работа № 2.

Найти общее или частное (в соответствии с заданием) решения уравнений и систем уравнений:

1. .

2. , .

3. , .

4. .

Примерный список вопросов к экзамену

1.  Решение дифференциальных уравнений 1 порядка. Лемма об эквивалентности задачи Коши и интегрального уравнения.

2.  Теорема существования и единственности для одного уравнения.

3.  Теорема существования и единственности для системы уравнений.

4.  Случаи понижения порядка для уравнений 2 порядка.

5.  Сведение уравнения 2 порядка к системе, постановка задачи Коши, теорема существования и единственности.

6.  Общее решение линейного однородного уравнения 2 порядка.

7.  Вронскиан решений однородного уравнения и его свойства. Линейная независимость решений.

8.  Общее решение линейного неоднородного уравнения 2 порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

9.  Решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

10.  Метод неопределенных коэффициентов для решения линейного неоднородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

11.  Общее решение линейных однородных уравнений порядка выше 2. Вронскиан, линейная независимость решений.

12.  Общее решение линейного неоднородного уравнения порядка выше 2. Метод вариации произвольных постоянных.

13.  Решение линейного однородного уравнения порядка выше 2 с постоянными коэффициентами.

14.  Метод неопределенных коэффициентов для решения линейного неоднородного уравнения порядка выше 2 с постоянными коэффициентами.

15.  Общее решение линейной однородной системы 1 порядка. Линейная независимость решений.

16.  Общее решение линейной неоднородной системы 1 порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

17.  Решение линейной однородной системы 1 порядка с постоянными коэффициентами. Случай вещественных собственных чисел.

18.  Решение линейной однородной системы 1 порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных собственных чисел.

19.  Решение линейных уравнений с частными производными 1 порядка. Характеристики. Постановка дополнительных условий.

20.  Классификация линейных уравнений с частными производными 2 порядка.

21.  Характеристики линейных уравнений с частными производными 2 порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнений.

22.  Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны.

23.  Постановка граничных условий для уравнения колебаний струны. Решение начально - краевой задачи методом Фурье.

24.  Постановка начальных и граничных условий для одномерного уравнения теплопроводности. Решение начально - краевой задачи методом Фурье.

25.  Постановка граничных условий для уравнения Лапласа. Решение задачи Дирихле для верхней полуплоскости методами теории функций комплексного переменного.

26.  Решение задачи Неймана для верхней полуплоскости методами теории функций комплексного переменного.

27.  Интегральное преобразование Фурье и его применение к решению уравнений в частных производных. Вывод с его помощью формулы Даламбера.

28.  Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.