ГБОУ ВПО

«Ставропольский государственный медицинский университет»

Министерства здравоохранения Российской Федерации

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

ДЛЯ БАКАЛАВРОВ НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ

080100.62 «ЭКОНОМИКА»

Ставрополь, 2013

 
 

Методические указания к выполнению контрольной работы составлены в соответствии с программой дисциплины «Математический анализ» для бакалавров направления подготовки 080100.62 «Экономика».

В них отражены основные требования к объему, оформлению, структуре и содержанию контрольной работы.

Составители: , ,

Рецензент: доцент кафедры физики Ставропольского государственного аграрного университета

Содержание

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАНИЯ И ЕГО ОБЪЕМ…………………..

4

1.1. Выбор вариантов контрольной работы ………………………….

4

1.2. Задания контрольной работы……………………………………..

4

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ………………………………………

3. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К НАПИСАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ……………………………………………

8

17

3.1. Требования к написанию контрольной работы…………………..

17

3.2. Требования к оформлению контрольной работы………………..

17

4. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ………………………………………….

18

5. ПОРЯДОК ЗАЩИТЫ И ОТВЕТСТВЕННОСТЬ СТУДЕНТА ЗА ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ………………………..

18

6. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………….

19

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАНИЯ И ЕГО ОБЪЕМ

Контрольная работа по дисциплине «Математический анализ» является одной из форм самостоятельной работы студента.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Цель контрольной работы – углубить и закрепить практические знания студентов по избранным вопросам избранным вопросам математического анализа.

Контрольная работа состоит из четырнадцати заданий и выполняется по вариантам.

1.1. Выбор вариантов контрольной работы

Вариант контрольной работы соответствует последней цифре в номере зачетной книжки студента. Выбор варианта должен осуществляться строго в соответствии с этим правилом, в противном случае работа считается незачтенной и возвращается студенту на переработку.

1.2. Задания контрольной работы

Задание № 1. Вычислить предел функции:

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. ,

7. , .

8. ,

9. ,

10. ,

Задание №2. Вычислить предел функции

1., .

2. , .

3., .

4.

5., .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

Задание №3. Найти производную функции

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание №4. Найти неопределенные интегралы и результат проверить дифференцированием.

1.   

;

2.   

;

3.   

;

4.   

;

5.   

;

6.   

;

7.   

;

8.   

;

9.   

;

10.   

.

Задание №5. Найти неопределенные интегралы и результат проверить дифференцированием.

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   

9.   

10.   

Задание №6. Вычислите определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.

1. 

;

2. 

;

3. 

;

4. 

;

5. 

;

6. 

;

7. 

;

8. 

;

9. 

;

10. 

.

Задание № 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. 

;

2. 

;

3. 

;

4. 

;

5. 

;

6. 

;

7. 

;

8. 

;

9. 

;

10. 

.

Задание №8. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

1.   

;

2.   

;

3.   

;

4.   

;

5.   

;

6.   

;

7.   

;

8.   

;

9.   

;

10.   

.

Задание № 9. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

1.   

;

2.   

;

3.   

;

4.   

;

5.   

;

6.   

;

7.   

;

8.   

;

9.   

;

10.   

.

Задание № 10. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

1.   

;

2.   

;

3.   

;

4.   

;

5.   

;

6.   

;

7.   

;

8.   

;

9.   

;

10.   

.

Задание № 11. Проинтегрировать следующие уравнения.

1.   

;

2.   

;

3.   

;

4.   

;

5.   

;

6.   

;

7.   

;

8.   

;

9.   

;

10.   

.

Задание № 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.   

а) б) в) ;

2.   

а) б) в) ;

3.   

а) б) в) ;

4.   

а) б) в) ;

5.   

а) б) в) ;

6.   

а) б) в) ;

7.   

а) б) в) ;

8.   

а) б) в) ;

9.   

а) б) в) ;

10.   

а) б) в) .

Задание № 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.   

;

2.   

;

3.   

;

4.   

;

5.   

;

6.   

;

7.   

;

8.   

;

9.   

;

10.   

.

Задание № 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.   

;

2.   

;

3.   

;

4.   

;

5.   

;

6.   

;

7.   

;

8.   

;

9.   

;

10.   

.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В контрольной работе представлены основные задачи по темам «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения».

Прежде чем приступать к решению задач, следует изучить теоретический материал, представленный в списке литературы или лекционным курсом по предмету. При этом необходимо обратить внимание на определения основных понятий математики, подробно разобрать примеры, поясняющие эти определения.

Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольной работы вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

Для удобства студентов ниже приведены примеры решения типовых задач, представленных в заданиях контрольной работы. Поэтому предварительно рекомендуется внимательно ознакомиться с разобранными примерами.

Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к экзамену или зачету.

Задание №1. Вычислить предел функции: .

Решение:

Подставив в выражение вместо переменной x то значение, к которому она стремится (1/3), получим неопределённость вида . Раскроем её по правилу Лопиталя: . Следовательно, найдём отдельно производную от числителя и знаменателя. Далее подставив в выражение под знаком предела 1/3 получим точное значение предела:

.

Ответ: .

Задание №2. Вычислить предел функции:

Решение:

Подставив в выражение под знаком предела число 0, получим неопределённость вида . Раскрыв её по правилу Лопиталя получим:

Ответ:

Задание №3. Найти производную функции:

Решение:

Данная функция является композицией элементарных функций. Её производная не является табличной, значит, её нужно вычислять по определённым правилам:

  I.  Производная суммы есть сумма производных:

  II.  Производная сложной функции есть произведение производной внешней функции на производную её аргумента:

  III.  Производная произведения есть сумма произведений производной 1 множителя на 2 и производной второго множителя на 1:

Ещё понадобится таблица производных элементарных функций:

1. 

2. 

3. 

Теперь можно приступать непосредственно к вычислению производной:

Теперь приведя 1 и 2 слагаемые к общему знаменателю, и упростив знаменатель 4 слагаемого получим:

Ответ: .

Задание №4. Найти неопределенный интеграл . Результат интегрирования проверить дифференцированием.

Решение.

Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель и использовав правила интегрирования, а также таблицу основных неопределённых интегралов, получим

Проверим полученный результат:

Задание №5. Найти неопределенный интеграл Результат интегрирования проверить дифференцированием.

Решение.

Воспользуемся формулой . Пусть u=x, тогда du=dx; dv=cos4xdx. Проинтегрируем:

т. е.

Имеем:

Проверка:

т. е. получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл взят верно.

Задание №6. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой.

Решение:

Используя формулу Ньютона – Лейбница вычислим интеграл от дробно-рациональной функции

Задание №7. Найти площадь фигуры, ограниченной ли­ниями: и .

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

Отсюда находим х1=0, х2=2,5. Искомую площадь (рис.1) находим по формуле

.

Рисунок 1 – Иллюстрация к Заданию №6

Таким образом, искомая площадь S будет равна:

.

Задание №8. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .

Решение.

Преобразуем данное уравнение:

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируем обе части последнего равенства:

Следовательно, общим решением исходного уравнения является

.

Задание №9. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .

Решение.

Из данного уравнения находим :

.

Исходное уравнение является однородным уравнением первого порядка. Решаем его с помощью подстановки . Далее находим:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

т. е. нашли общий интеграл исходного уравнения.

Задание №10. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

Решение.

Найдем общее решение данного уравнения:

Воспользовавшись начальными условиями, определим значения и:

Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

.

Вычислим значение функции у(х) при

Задание № 11. Проинтегрировать уравнение

.

Решение.

Введем обозначения: . Тогда:

.

Так как, , то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл находится по формуле:

,

.

Имеем:

,

,

где .

Задание № 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) ; б) ; в) .

Решение.

Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней характеристического уравнения записываем общее решение дифференциального уравнения:

а) , корни – действительные различные, поэтому общее решение уравнения

.

б) , корни – действительные равные, следовательно, общее решение уравнения

.

в) , корни – комплексно-сопряженные, поэтому общее решение уравнения

.

Задание № 13. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой

.

По функции, стоящей в правой части исходного уравнения, записываем структуру его частного решения:

.

Выражение помножили на , так как является корнем характеристического уравнения. Коэффициенты А и В определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим:

Подставим найденные выражения для и в исходное уравнение и, разделив обе его части на приравняем коэффициенты при х2, х1 и х°. Получим систему, из которой найдем А и В. Таким образом, в соответствии с изложенным, имеем:

,

Откуда , . Тогда , и общее решение данного неоднородного уравнения определяется формулой

.

Задание № 14. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Находим корни характеристического уравнения . Следовательно, общее реше­ние соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

Функция, стоящая в правой части уравнения, представляет собой сумму функций и . Им соответствуют два частных решения:

т. е. . Находим:

Подставляем выражения для и в исходное уравнение и вычисляем коэффициенты

откуда .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

а его общее решение

3. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К НАПИСАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.1. Требования к написанию контрольной работы

При выполнении контрольной работы следует соблюдать указанные ниже правила. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и возвращается студенту для переработки.

1.  Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

2.  Каждое новое задание начинается с новой страницы.

3.  Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

4.  В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.

5.  Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия. В конце решения следует записать ответ.

3.2. Требования к оформлению контрольной работы

При выполнении контрольной работы следует соблюдать указанные ниже правила. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и возвращается студенту для переработки.

1.  На титульном листе контрольной работы должны быть указаны название дисциплины, фамилия, имя, отчество, группа, специальность, номер зачетной книжки студента, дата сдачи контрольной работы.

2.  Контрольную работу следует выполнять в тетради пастой любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

4. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ

4.1. Рекомендации по организации работ над контрольной работой

Прежде чем приступить к решению контрольной работы по дисциплине «Математический анализ», студент должен освоить теоретический материал по темам контрольной работы и разобрать приведенные примеры решения. Если по теоретической части возникли вопросы, студент должен обратиться за консультацией к преподавателю или воспользоваться дополнительными источниками информации. Только после этого стоит приступать к решению своего варианта контрольной работы.

5.  ПОРЯДОК ЗАЩИТЫ И ОТВЕТСТВЕННОСТЬ СТУДЕНТА ЗА ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Студент обязан предоставить контрольную работу на проверку в соответствии с календарным планом. Если у преподавателя нет претензий к работе, то студент допускается к защите. Если в работе имеются недостатки, то после получения прорецензированной работы студент должен исправить в ней все отмеченные преподавателем ошибки и недочеты.

Защита контрольной работы осуществляется на последнем практическом занятии по дисциплине. По результатам защиты студенту выставляется оценка. Без зачета по контрольной работе студент не может быть допущен к зачету или экзамену по данной дисциплине.

6.  СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Владимирский : Учебник [Текст] / , , . – СПб.: Лань, 2008. – 960с.

2.  Виленкин математика: учебное пособие для вузов [Текст] / , . – Ростов-на-Дону,: Феникс, 2011, 392с.

3.  Ермаков, задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие [Текст] / . – М.:ИНФРА-М, 2002. – 575 с.

4.  Красс, для экономистов [Текст] / , . – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Письменный, лекций по высшей математике. 1 часть. [Текст] / . – М.: Рольф, 2000. – 288 с.

2.  Письменный, лекций по высшей математике. 2 часть. [Текст] / . – М.: Рольф, 2000. – 256 с.

3.  Рябушко, индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие. В 3ч. Ч.1 [Текст] / , , . – Мн.: «Высшая школа», 1990. – 270 с.

4.  Рябушко, индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие. В 3ч. Ч.2 [Текст] / , , . – Мн.: «Высшая школа», 1991. – 352 с.

5.  Рябушко, индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие. В 3ч. Ч.3 [Текст] / , , . – Мн.: «Высшая школа», 1991. – 288 с.

6.  Щипачев, математика [Текст] / . – М.: Высшая школа, 2001. – 479 с.

7.  Данко, математика в упражнениях и задачах. Т.1 [Текст] / , , . – М: Высшая школа, 2003. – 304 с.

8.  Данко, математика в упражнениях и задачах. Т.2 [Текст] / , , . – М: Высшая школа, 2003. – 415 с.