Рабочая программа учебной дисциплины (стр. 2 )

Тема 1. Метод конечных элементов. Дискретизация области. Типы конечных элементов.

Типы конечных элементов: одномерные, двумерные и трехмерные элементы. Разбиение области на элементы. Нумерация узлов.

Тема 2. Линейные интерполяционные полиномы.

Одномерный симплекс – элемент. Двумерный симплекс – элемент. Трехмерный симплекс – элемент. Интерполирование векторных величин. Местная система координат. Одномерный элемент. L – координаты. Свойства интерполяционного полинома.

Тема 3. Интерполяционные полиномы для дискретизованной области.

Скалярные величины. Векторные величины.

Тема 4. Пример: перенос тепла в стержне.

Уравнения метода конечных элементов: задачи теории поля, теория упругости.

Тема5. Кручение стержня некругового сечения.

Общая теория кручения стержня. Построение матриц элементов. Стандартные результанты элемента. Согласованные результанты элемента.

Тема 6. Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции.

Уравнение переноса тепла. Одномерный случай переноса тепла. Двумерный перенос тепла. Трехмерный случай переноса тепла. Преобразования координат.

Тема 7. Гидромеханика, безвихревое течение.

Двумерный случай течения грунтовых вод. Безвихревое течение идеальной жидкости.

Тема 8. Радиальные и осесимметрические задачи теории поля.

Симметрические двумерные задачи теории поля. Осесимметрические задачи теории поля.

8 семестр:

Тема 1. Нестационарные задачи теории поля.

Соотношения, определяющие элементы. Матрица демпфирования элемента: одномерный, двумерный и трехмерный симплекс – элементы, радиальные и осесимметричные элементы. Конечно – разностное решение дифференциальных уравнений. Численная устойчивость и колебания.

Тема 2. Механика деформируемого твердого тела. Теория упругости.

Теория упругости. Одномерный случай. Напряжения в элементах. Двумерные задачи теории упругости. Трехмерные задачи теории упругости. Осесимметрические задачи теории упругости.

Тема 3. Элементы высокого порядка. Одномерный элемент.

Квадратичные и кубичные элементы. Применение квадратичного элемента. Естественная система координат. Преобразования координат. Матрица Якоби. Применение численного интегрирования при определении матриц элемента. Субпараметрические, изопараметрические и суперпараметрические элементы.

Тема 4. Треугольный и тетраэдральный элементы высокого порядка.

Функции формы для элементов высокого порядка. Вычисление производных функций формы. Составление матриц элементов. Тетраэдральные элементы.

Тема 5. Четырехугольные элементы.

Линейный четырехугольный элемент. Квадратичные и кубичные четырехугольные элементы. Вычисление производных функций формы. Соотношения, определяющие элементы. Прямоугольные призмы.

1.7 Средства обучения

Средства обучения математике обычно стандартны: базовые учебники, иллюстрация зависимостей на доске, карточки с индивидуальными заданиями, раздаточный наглядный материал и т. п.

1.8 Методические рекомендации преподавателям

Курс «Методы конечных элементов» входит в список общих профессиональных дисциплин для специальности «Прикладная математика и информатика» и является дисциплиной по выбору учебных планов специальности.

Методы обучения

Обучение студентов осуществляется по традиционной технологии (лекции, практики).

С точки зрения используемых методов лекции подразделяются следующим образом: информационно-объяснительная лекция, повествовательная, лекция-беседа, проблемная лекция, лекция вдвоем, лекция с заранее запланированными ошибками и т. д.

Наибольший эффект в преподавании «Методы конечных элементов» достигается при использовании информационно-объяснительной лекции и лекции-беседы.

Цель практического занятия – научить студентов применять теоретические знания при решении практических задач.

На практических занятиях должны преобладать следующие методы:

а) практические (письменные задания, групповые задания и т. п.);

б) вербальные (преобладающим методом должно быть объяснение).

Подготовка преподавателя к проведению занятия имеет первостепенное значение. Каким бы опытом преподаватель не обладал, он все равно должен готовиться к каждому практическому занятию.

Во-первых, преподавателю необходимо проработать тему занятия.

Во-вторых, преподаватель должен решить все заданные задачи и проблемные ситуации, предусмотреть, чтобы избежать неожиданностей, возможные варианты, которые могут предложить слушатели. Преподаватель должен быть готов ответить на любые вопросы, относящиеся к содержанию каждой задачи.

В-третьих, желательно, готовясь к занятию, наметить, кого из студентов следует спросить по данной теме, имея в виду обеспечение равномерного участия всех студентов в работе и проверку уровня их подготовки к занятиям. Проработать содержание опроса знаний и методику ее проведения (в случае необходимости).

Для контроля уровня усвоения материала дисциплины в течение семестра наиболее целесообразно проводить контрольные работы по решению практических задач и тестовые опросы по теории.

Средства обучения математике обычно стандартны: базовые учебники, иллюстрация зависимостей на доске, раздаточный наглядный материал, карточки с индивидуальными заданиями и т. п.

2 Тематика и методические указания студенту по подготовке к практическим занятиям

2.1 Тематика практических занятий *

7 семестр:

4.1.1 Разбиение области на элементы. Нумерация узлов.

4.1.2 Одномерный, двумерный и трехмерный симплекс – элементы.

4.1.3 Функции формы элементов.

4.1.4 Скалярные величины. Векторные величины.

4.1.5 Перенос тепла в стержне.

4.1.6 Кручение стержня некругового сечения. Построение матриц элементов.

4.1.7 Одномерный случай переноса тепла.

4.1.8 Двумерный и трехмерный случаи переноса тепла

4.1.9 Гидромеханика, безвихревое течение.

4.1.10 Радиальные и осесимметрические задачи теории поля.

Примечание:

* – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.1

8 семестр:

4.2.1 Нестационарные задачи теории поля.

4.2.2 Механика деформируемого твердого тела. Теория упругости.

4.2.3 Элементы высокого порядка. Одномерный элемент.

4.2.4 Треугольный и тетраэдральный элементы высокого порядка.

4.2.5 Четырехугольные элементы.

Примечание:

* – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.2

2.2 Методические указания студентам

Приступая к подготовке к практическому занятию, прежде всего следует повторить теоретический материал и ответить на контрольные вопросы по теме.

Условием успешного освоения теории и практики методов конечных элементов является координация всех составляющих учебной работы студента: изучения теории, решения практических задач.

На занятиях постоянно происходит обращение к основным понятиям: конечные элементы, дискретизация области, вариационные принципы. Эти понятия должны быть прочно усвоены на первом занятии. При изучении всех последующих тем следует обращать внимание на аксиоматику рассматриваемой теории, важнейшие логические следствия из неё, определять существенность влияния принятых эмпирических гипотез.

Практическое изучение темы «Разбиение области на элементы. Нумерация узлов» необходимо для понимания способов разбиения областей на конечные элементы, нумерации узлов элемента, уменьшающая ширину ленты матрицы. Необходимо при подготовке к занятию повторить лекцию, основную концепцию метода конечных элементов. Вопросы, изучаемые в настоящем разделе курса (типы конечных элементов, дискретизация области, конечные элементы, нумерация узлов), необходимы при подготовке к усвоению метода конечных элементов.

В теме «Одномерный симплекс – элемент. Двумерный симплекс – элемент. Трехмерный симплекс – элемент» рассматривается классификация конечных элементов, дается понятие функции – формы (или интерполяционных функций). Обсуждаются интерполяционные соотношения для симплекс – элементов. При подготовке к занятию следует повторить свойства интерполяционных функций. Целью изучения данной темы является вычисление функций форм.

При изучении темы «Скалярные величины. Векторные величины» внимание акцентируется на отдельном элементе, с тем, чтобы вывести систему уравнений для области в целом. При подготовке к практическим занятиям следует вспомнить свойства интерполяционных функций. В ходе занятия от преподавателя требуется выработать у студентов умение выразить через глобальные координаты и глобальные узловые значения интерполяционные уравнения для каждого используемого элемента.

Тема «Перенос тепла в стержне» опирается на ранее изученные темы, а также на материал, изученный студентами в курсе математического анализа. Цель изучения данной темы состоит в получении для узловых величин такие числовые значения, при которых соотношения для элементов очень точно аппроксимируют некоторый важный физический параметр. Необходимо постоянно обращать внимание студентов на наличие в системе жестких связей. В целях мотивации студентов рассматривается на занятии и выносится на самостоятельную работу задачи прикладного содержания.

Тема «Математические модели на основе законов сохранения» является подготовительной к изучению аналитической динамики. При её изучении необходимо обращаться к теоремам, доказываемым в теоретическом курсе. Практическое решение задач на основе законов сохранения энергии должно сопровождаться анализом применимости посылок энергетических теорем к конкретным решаемым задачам.

Целью изучения темы «Кручение стержня некругового сечения. Построение матриц элементов» является иллюстрирование всех этапов реализации метода конечных элементов. Эта цель достигается путем получения численного решения задачи о кручении стержня некругового сечения. Целесообразно акцентировать внимание студентов на том, что дифференциальные уравнения, используемые в теории кручения, аналогичны уравнениям, которые описывают перенос тепла и течение грунтовых вод.

Одномерный случай переноса тепла. Двумерный перенос тепла. Трехмерный случай переноса тепла.

Температурные напряжения имеют место в каждом теле, в котором существуют градиенты температуры и которое не может свободно расширяться во всех направлениях. Эти напряжения необходимо учитывать при проектировании вращающихся механизмов, таких, как реактивные двигатели или паровые генераторы. В теме «Одномерный случай переноса тепла. Двумерный перенос тепла. Трехмерный случай переноса тепла» рассмотрено применение метода конечных элементов для определения температуры в теле, которое в дальнейшем используется для расчета температурных напряжений.

Безвихревое течение идеальной жидкости рассматривается достаточно широко потому, что при этом могут быть решены многие важные физические задачи, такие как обтекание углов, плотин, несущих поверхностей самолета, различных конструкций. Целью изучения темы «Двумерный случай течения грунтовых вод. Безвихревое течение идеальной жидкости» является решение с помощью метода конечных элементов задач, рассматривающих безвихревое течение.

Методика решения двумерных и трехмерных задач, которая рассматривалась ранее, изменяется в случае наличия симметрии. Главное изменение связано с порядком используемого элемента. Двумерные симметрические задачи становятся одномерными, а трехмерные осесимметрические задачи решаются с помощью двумерного элемента. В теме «Симметрические двумерные задачи теории поля. Осесимметрические задачи теории поля» специально рассматривается вариационная формулировка задач и вычисление соответствующих интегралов по площади элемента, т. к. они сильно отличаются от ранее изученного.

Вторая часть курса начинается с изучения нестационарных задач теории поля. Рассматривается класс физических задач, учитывающих изменение искомых величин во времени.

Тема «Матрица демпфирования элемента: одномерный, двумерный и трехмерный симплекс – элементы, радиальные и осесимметричные элементы. Конечно – разностное решение дифференциальных уравнений. Численная устойчивость и колебания». Рассмотрение переходных задач теории поля приводит к новой матрице, называемой матрицей демпфирования. Вклад отдельного элемента в эту матрицу определяется объемным интегралом, который должен быть вычислен для каждого элемента.

Тема «Теория упругости. Одномерный случай. Напряжения в элементах. Двумерные задачи теории упругости. Трехмерные задачи теории упругости. Осесимметрические задачи теории упругости» посвящена задачам теории упругости. Обсуждаются общие случаи одномерных, двумерных и трехмерных задач теории упругости, а также специальный случай задач с осевой симметрией.

В теме «Квадратичные и кубичные элементы. Применение квадратичного элемента. Естественная система координат. Преобразования координат. Матрица Якоби» рассматривается применение элементов высокого порядка, т. е. комплекс - или мультиплекс – элементов. Основное внимание сосредоточено на обсуждении одномерного элемента. Данная тема заканчивается введением в теорию изопараметрических элементов. Обсуждаемые в этой теме положения являются исходными для понимания комплекс – элементов, рассматриваемых в следующих темах.

Тема «Функции формы для элементов высокого порядка. Вычисление производных функций формы. Составление матриц элементов. Тетраэдральные элементы» опирается на ранее изученные темы. Особое внимание уделяется квадратичным и кубичным интерполяционным полиномам.

Тема «Линейный четырехугольный элемент. Квадратичные и кубичные четырехугольные элементы. Вычисление производных функций формы. Соотношения, определяющие элементы. Прямоугольные призмы» завершает курс. В ней рассматривается новая группа элементов: двумерный четырехугольник и трехмерная призма.

3 Методические указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине

График организации самостоятельной работы студентов по учебному плану гр. ПМИ-03

Очная форма обучения

7 семестр

Общее количество часов - 112 часов.

50 часа Аудиторная работа	61 часа Самостоятельная работа
Формы аудиторных учебных занятий (час.)	Виды самостоятельной учебной работы (час.)
№ недели	Тема лекции	16 часов Лекции	34 часа Практические занятия	31час. Изучение теоретического материала	30 час. Решение практических задач
1	Метод конечных элементов. Дискретизация области. Типы конечных элементов.	2	2 ч. – № 4.1.1	2	1
2			2	1
3	Линейные интерполяционные полиномы.	2	2 ч. – № 4.1.2	2	2
4		4 ч. – № 4.1.3	2	2
5	Интерполяционные полиномы для дискретизованной области.	2	4 ч. – № 4.1.4	2	2
6			2	2
7	Пример: перенос тепла в стержне.	2	4 ч. – № 4.1.5	2	2
8			2	2
9	Кручение стержня некругового сечения	2	4 ч. – № 4.1.6	2	2
10			2	2
11	Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции.	2	2 ч. – № 4.1.7	2	2
12		4 ч. – № 4.1.8	2	2
13	Гидромеханика, безвихревое течение.	2	4 ч. – № 4.1.9	2	2
14			2	2
15	Радиальные и осесимметрические задачи теории поля.	3	4 ч. – № 4.1.10	2	2
16			1	1
17					1
ИТОГО	17	34	31	30

8 семестр