Рабочая программа учебной дисциплины (стр. 3 )

Общее количество часов – 108 часа.
36 часов Аудиторная работа	60 часов Самостоятельная работа
Формы аудиторных учебных занятий (час.)	Виды самостоятельной учебной работы (час.)
№ недели	№ и тема лекции	16 часов Лекции	32 часов Практические занятия	32 час. Изучение теоретического материала	28 час. Решение практических задач
1, 2	Нестационарные задачи теории поля.	2	4 ч. – № 4.2.1	4	4
3, 4	Механика деформируемого твердого тела. Теория упругости.	2	4 ч. – № 4.2.2	4	4
5, 6	Элементы высокого порядка. Одномерный элемент.	2	8 ч. – № 4.2.3	4	3
7, 8	2	4	3
9, 10	Треугольный и тетраэдральный элементы высокого порядка.	2	8 ч. – № 4.2.4	4	3
11, 12	2	4	3
13, 14	Четырехугольные элементы.	2	8 ч. – № 4.2.5	4	4
15, 16	2	4	4
ИТОГО	16	32	32	28

3.1 Указания по выполнению самостоятельной работы

Общий объем времени самостоятельной работы установлен в 121 час (в 7 семестре 61 час, в 8 семестре 60 часов).

Значительный объем самостоятельной работы по изучению теории связан с необходимостью углубленного изучения теоретических вопросов математического описания фундаментальных естественных законов, изучаемых в естественно-научных дисциплинах.

Изучение теоретического материала следует подкреплять решением практических задач по построению и анализу математических моделей, для чего запланировано 62 часов самостоятельной работы. Аудиторное время практического занятия целесообразно использовать для разбора специально выбранных практических задач и демонстрации методов их решения. Большая часть задач должна быть решена студентами самостоятельно. Для этого преподавателем на каждом занятии выдаются условия задач по изучаемой теме.

3.2 Указания по оформлению работ

Порядок оформления практических:

– работы по практическим занятиям выполняются на скрепленных двойных тетрадных листах (или листках формата А4);

– зачеркивания и исправления допускаются (в пределах приличий).

Проверка самостоятельных работ осуществляется в течение недели, выставляется балл. Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся консультации, о времени которых группы извещаются заранее.

3.3 Формы текущего, промежуточного и итогового контроля

Текущий контроль освоения программы оценивается по результатам выполнения студентами практических работ и курсовой работы в седьмом семестре. Студенты выполняют практические работы по каждой теме.

Итоговый контроль осуществляется в форме экзамена.

4 Задания по установленным формам контроля

4.1 Задания к практическим занятиям (7 семестр)

4.1.1 Разбиение области на элементы. Нумерация узлов. (2 ч.)

Разбейте треугольную область на 16 элементов, пронумеруйте узлы и вычислите ширину полосы, предполагая наличие двух степеней свободы в каждом узле. Разбейте четырехугольник на 24 элемента, используя пять узлов вдоль одной пары сторон и четыре узла вдоль другой пары. Пронумеруйте узлы так, чтобы получить минимальное значение величины .

4.1.2 Одномерный, двумерный и трехмерный симплекс – элементы

(2 ч.)

Одномерный симплекс-элемент используется для аппроксимации распределения температуры в стержне. В результате решения задачи установлено, что температура в узлах и равна и соответственно. Требуется определить температуру в точке на расстоянии 4 см от начала координат и градиент температуры внутри элемента. Узлы и расположены на расстоянии 1, 5 и 6 см от начала координат.

Требуется получить соотношение, определяющее элемент, и вычислить значение давления в точке , если заданы узловые значения .

Координаты вершин тетраэдра показаны ниже. Требуется определить функции формы, используя процедуру обращения матрицы.

4.1.3 Функции формы элементов (4 ч.)

Вычислите функции формы для следующих элементов. Узловые координаты указаны в круглых скобках.

Узловые значения температуры для треугольного симплекс - элемента равны . Выясните, где изотерма пересекает границы элемента. Покажите, что для симплексного треугольника равна нулю в узлах и .

Покажите, что для симплексного треугольника равна нулю в произвольной точке отрезка, соединяющего узлы и . Покажите, что функции формы для симплексного треугольника удовлетворяют критерию в каждой точке элемента. Заданы узловые перемещения для двумерного симплекс – элемента:

.

Определите компоненты перемещения в точке . Координаты узлов (в миллиметрах) указаны в круглых скобках.

4.1.4 Скалярные, векторные величины (4 ч.)

Определите соотношения, с помощью которых можно осуществить включение элементов в области, изображенные ниже. Отправной узел отмечен звездочкой. Узловые координаты даются в круглых скобках.

Получите общие уравнения, определяющие элементы, для областей в задачах а) – г), если в каждом узле рассматривается одна неизвестная. Получите общие уравнения, определяющие элементы, для областей в задачах а) – г), если в каждом узле рассматриваются две векторные компоненты.

4.1.5 Перенос тепла в стержне (4 ч.)

Выведите систему уравнений для перемещений в изображенном ниже элементе конструкции, подверженном осевой нагрузке. Используйте двухэлементную модель с узловыми перемещениями и . Заметим, что значение должно равняться нулю.

Прогиб опертой балки, подверженной действию постоянного изгибающего момента , описывается дифференциальным уравнением ,

где – жесткость поперечного сечения, не зависящая от длины.

а) Дайте вариационную формулировку этой задачи.

б) Выведите систему уравнений для определения и , используя четырехэлементную модель, показанную ниже.

4.1.6 Кручение стержня некругового сечения. Построение матриц элементов (4 ч.)

В связи с наличием четырех осей симметрии можно рассматривать только 1/8 квадрата. Разобьем эту часть сечения на четыре элемента, как показано на рисунке. Вычислить матрицу жесткости и вектор нагрузки для каждого элемента.

Ниже приведены сокращенные матрицы элементов для четырехэлементной модели в задаче о кручении. Используя метод прямой жесткости, постройте глобальные матрицы.

Для тела, разбитого на три элемента, даны сокращенные матрицы жесткости. Используя метод прямой жесткости, постройте матрицу . В каждом узле рассмотрите по одной неизвестной. Узел для каждого элемента помечен звездочкой.

Сокращенные матрицы элементов для двухэлементной задачи теории упругости даны ниже. В каждом узле рассматриваются по два перемещения. Используя метод прямой жесткости, постройте матрицу . Узел для каждого элемента помечен звездочкой.

Постройте матрицу для четырехэлементного тела по данным сокращенным матрицам элементов. В каждом узле одна неизвестная, а узел помечен звездочкой.

4.1.7 Одномерный случай переноса тепла. (2 ч.)

Требуется вычислить распределение температуры в одномерном стержне с приведенными ниже физическими характеристиками. Разделить конструкцию на 5 элементов длиной 1,5 см каждый.

Вычислите распределение температуры для стержня в задаче 1, если его диаметр изменяется линейно от 1,5 см на конце, заделанном в стену, до 0,5 см на свободном конце.

4.1.8 Двумерный и трехмерный случаи переноса тепла (4 ч.)

Ниже изображен элемент, который использован для дискретизации сплошной среды. По двум поверхностям этого элемента происходит конвективный теплообмен. Указаны размеры элемента и физические характеристики. Требуется составить матрицы элемента, предполагая его толщину единичной.

Интенсивность источника Вт/см. Источник находится в точке с координатами внутри элемента, показанного ниже (этот элемент использовался в предыдущей задаче). Требуется определить распределение по узлам элемента.

4.1.9 Гидромеханика, безвихревое течение (4 ч.)

Определите понижение уровня воды в точках расположения насосов и постройте графики эквипотенциальных линий для изображенных ниже областей.

2.  Постройте графики линий постоянных значений и (или) для изображенных ниже областей.

4.1.10 Радиальные и осесимметрические задачи теории поля (4 ч.)

Концентрический одномерный элемент с внутренним радиусом 2 см и внешним радиусом 4 см содержит источник тепла интенсивностью 20 Вт/см3. Требуется определить, какая часть тепла от этого источника приходится на каждый из двух узлов элемента. Толщину элемента считать единичной.

В неограниченном водоносном слое с коэффициентом проницаемости 20 м3/(чм2) имеется скважина. Расход воды составляет 200 м3/ч. Течение в скважине происходит в радиальном направлении, причем пьезометрический напор на расстоянии 300 м от скважины поддерживается равным 30 м. Определите максимальное понижение уровня воды при установившемся режиме течения.

Составьте уравнения, определяющие элемент, для осесимметричного треугольника, показанного ниже.

Металлическая труба, для которой Вт/(смК), окружена изоляционным материалом с Вт/(смК). Жидкость, движущаяся в трубе, имеет температуру 573 . Температура снаружи изолятора равна 320 . Размеры трубы: внутренний диаметр 2 см, внешний диаметр 4 см. Внешний диаметр изолятора 8 см. Используя четырехэлементную модель, вычислите температуру срединной поверхности трубы, внутренней поверхности трубы-изолятора и срединной поверхности изолятора. Определите поток для каждого элемента и выясните, почему он не постоянен по элементам.

4.2 Задания к практическим занятиям (8 семестр)

4.2.1 Нестационарные задачи теории поля (4 ч.)

Проверьте матрицу демпфирования элемента, представленную следующими соотношениями:

а) для одномерного симплекс - элемента

б) для двумерного симплекс – элемента

в) для трехмерного симплекс – элемента

г) для радиального и осесимметричного элементов

Составить матрицу из формулы для стержня, предполагая, что Дж/(смК). Шаг по времени считать равным 1 мин. Матрица имеет вид

Стержень и расположение узловых точек показаны ниже.

4.2.2 Механика деформируемого твердого тела. Теория упругости.

(4 ч.)

Нужно вывести и решить систему линейных уравнений для узловых перемещений в конусообразной детали конструкции, один конец которой жестко закреплен, а другой подвержен действию нагрузки 42000 Н. Площадь поперечного сечения меняется линейно от 12 см2 на левом конце до 6 см2 на правом. Кроме того, деталь конструкции испытывает тепловое расширение вследствие повышения ее температуры на равномерно по всей длине . Для аппроксимации рассматриваемой части конструкции следует использовать три элемента длиной 30 см каждый.

Площадь поперечного сечения в узловых точках имеет значения .

Для детали конструкции, рассмотренной в предыдущей задаче, нужно рассчитать узловые значения , используя теорию согласованных результантов элементов. Вывести определяющие элемент уравнения для изображенного ниже элемента в случае плоского напряженного состояния. Перпендикулярно к стороне действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности 20 Н/см2. Элемент испытывает также тепловое расширение вследствие повышения его температуры на .

Вычислите поверхностный интеграл для случая нагрузки, показанной на рисунке.

Составьте матрицу жесткости для осесимметричного элемента, изображенного на рисунке.

4.2.3 Элементы высокого порядка. Одномерный элемент. (8 ч.)

Получите выражение для функции формы кубичного элемента и проверьте соотношение для , данное на рисунке.

Определите функции формы для квадратичного элемента, когда узел расположен от узла на расстоянии, равном . Удовлетворяют ли эти функции формы критериям сходимости? Решите задачу о переносе тепла в стержне, используя один кубичный элемент. Сравните найденные значения температуры с аналитическим решением и оцените точность такой одноэлементной модели.

Проверьте функции формы квадратичного элемента:

Вычислите при см для квадратичного элемента, который имеет узловые координаты . Вычислите с помощью естественной системы координат и сравните результат со значением, полученным с помощью функции формы: . Вычислите при см для квадратичного элемента, который имеет узловые координаты с помощью естественной системы координат, и сравните результат со значением, которое получается при использовании функций формы: . Вычислите поверхностный интеграл для кубичного элемента. Вычислите поверхностный интеграл для одномерного элемента, учитывая линейное изменение коэффициента теплообмена от нуля в узле до в узле . Периметр считать постоянным по длине. Вычислите в случае, когда для определения температуры используется линейный интерполяционный полином, а для задания площади поперечного сечения применяется квадратичная интерполяция. Проинтегрируйте численно функцию на отрезке от -1 до 1. Сравните результат со значением, полученным аналитически. Проинтегрируйте численно функцию на отрезке от -1 до 1. Сравните результат со значением, полученным аналитически.

4.2.4 Треугольный и тетраэдральный элементы высокого порядка.