Рабочая программа учебной дисциплины (стр. 4 )

(8 ч.)

Требуется определить функцию формы для кубичного треугольного элемента.

Требуется определить функцию формы для треугольного элемента четвертого порядка.

Требуется вычислить в точке (1; 4) для квадратичного треугольного элемента, показанного ниже.

Требуется определить интеграл от произведения с сомножителями и по площади элемента, рассмотренного в предыдущей задаче. Проверить ответ, применив для вычислений интегральную форму. Определите функцию формы для кубичного элемента. Требуется определить функцию формы для треугольного элемента четвертого порядка (смотреть задачу 2). Получите матрицу Якоби для элемента из задачи 3, используя для задания формы элемента квадратичные функции формы. Получите матрицу Якоби для элемента, изображенного ниже

Используя квадратичный интерполяционный полином, вычислите частные производные и во внутренней точке (4; 3) элемента, изображенного ниже.

Вычислите и для элемента задачи 9. Определите численно интеграл по объему элемента из задачи 9 от произведения величин и . Результат сравните с соответствующим значением, полученным путем точного интегрирования. Определите численно интеграл по объему элемента из задачи 9 от произведения величин и . Результат сравните с соответствующим значением, полученным путем точного интегрирования.

4.2.5 Четырехугольные элементы. (8 ч.)

Требуется определить и для квадратичного элемента, показанного на рисунке.

Требуется определить функцию формы для кубичного четырехугольного элемента, показанного на рисунке.

Требуется найти частные производные и в точке элемента, изображенного ниже, в предположении, что скалярная величина аппроксимируется квадратичным полиномом.

Вычислите частные производные и в точке элемента из предыдущей задачи. Вычислите частные производные и в точке элемента из задачи 3. Получите выражения для функций формы и квадратичного четырехугольного элемента. Получите выражения для функций формы и кубичного четырехугольного элемента. Получите выражения для функций формы четырехугольного элемента, изображенного ниже.

Определите порядок интегрирования, необходимый для численного определения интеграла в случае элемента из задачи 7. Проинтегрируйте численно вдоль границы квадратичного элемента и сравните результат со значением, полученным аналитически.

4.3 Курсовая работа

Задание:

1.  Получить локальную матрицу конечных элементов для задачи, соответствующей варианту.

2.  Получить разрешающую систему.

3.  Решить и исследовать сходимость.

Вариант:

№ п/п	Задачи	Элементы	Область
1	Задача фильтрации	Симплекс и изопараметрический треугольник	1
2	Стационарная задача теплопроводности	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	1
3	Задача упругости	Симплекс и изопараметрический треугольник	1
4	Задача потенциального течения	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	1
5	Задача фильтрации	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	1
6	Стационарная задача теплопроводности	Симплекс и изопараметрический треугольник	1
7	Задача упругости	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	1
8	Задача потенциального течения	Симплекс и изопараметрический треугольник	1
9	Задача фильтрации	Симплекс и изопараметрический треугольник	2
10	Задача упругости	Симплекс и изопараметрический треугольник	2
11	Задача потенциального течения	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	2
12	Задача фильтрации	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	2
13	Задача упругости	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	2
14	Задача потенциального течения	Симплекс и изопараметрический треугольник	2
15	Задача фильтрации	Симплекс и изопараметрический треугольник	3
16	Задача фильтрации	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	3
17	Задача фильтрации	Симплекс и изопараметрический треугольник	4
18	Задача фильтрации	Билинейный четырехугольник и четырехугольник второго порядка	4

Задача фильтрации:

Задача упругости

1. 2.

Стационарная задача теплопроводности

1.

Задача потенциального течения

1.

2.

4.4 Перечень вопросов к экзамену и зачету

4.4.1 Перечень вопросов к экзамену (7 семестр)

Тема 1. Метод конечных элементов. Дискретизация области. Типы конечных элементов.

Основная концепция метода конечных элементов. Разбиение области на элементы. Определение узловых точек и элементов. Нумерация узлов. Типы конечных элементов.

Тема 2. Линейные интерполяционные полиномы.

Классификация конечных элементов. Одномерный симплекс – элемент. Двумерный симплекс – элемент. Трехмерный симплекс – элемент. Интерполирование векторных величин. Местная система координат. L – координаты. Свойства интерполяционного полинома.

Тема 3. Интерполяционные полиномы для дискретизованной области.

Скалярные величины. Векторные величины.

Тема 4. Пример: перенос тепла в стержне.

Уравнения метода конечных элементов: задачи теории поля. Уравнения метода конечных элементов: теория упругости.

Тема5. Кручение стержня некругового сечения.

Общая теория кручения стержня. Построение матриц элементов. Стандартные результанты элемента. Согласованные результанты элемента.

Тема 6. Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции.

Уравнение переноса тепла. Одномерный случай переноса тепла. Двумерный перенос тепла. Трехмерный случай переноса тепла. Преобразования координат.

Тема 7. Гидромеханика, безвихревое течение.

Двумерный случай течения грунтовых вод. Безвихревое течение идеальной жидкости.

Тема 8. Радиальные и осесимметрические задачи теории поля.

Симметрические двумерные задачи теории поля. Осесимметрические задачи теории поля.

4.4.2 Перечень вопросов к экзамену и зачету (8 семестр)

Тема 1. Нестационарные задачи теории поля.

Соотношения, определяющие элементы. Матрица демпфирования элемента: одномерный, двумерный и трехмерный симплекс – элементы, радиальные и осесимметричные элементы. Конечно – разностное решение дифференциальных уравнений. Численная устойчивость и колебания.

Тема 2. Механика деформируемого твердого тела. Теория упругости.

Теория упругости. Одномерный случай. Напряжения в элементах. Двумерные задачи теории упругости. Трехмерные задачи теории упругости. Осесимметрические задачи теории упругости.

Тема 3. Элементы высокого порядка. Одномерный элемент.

Квадратичные и кубичные элементы. Применение квадратичного элемента. Естественная система координат. Преобразования координат. Матрица Якоби. Применение численного интегрирования при определении матриц элемента. Субпараметрические, изопараметрические и суперпараметрические элементы.

Тема 4. Треугольный и тетраэдральный элементы высокого порядка.

Функции формы для элементов высокого порядка. Вычисление производных функций формы. Составление матриц элементов. Тетраэдральные элементы.

Тема 5. Четырехугольные элементы.

Линейный четырехугольный элемент. Квадратичные и кубичные четырехугольные элементы. Вычисление производных функций формы. Соотношения, определяющие элементы. Прямоугольные призмы.