Практические работы по математике (стр. 2 )

1.  Сформулируйте правила нахождения производной суммы, произведения, частного.

2.  Как найти производную сложной функции?

3.  Как применяется производная функции для исследования функции на монотонность, экстремум?

Практическая работа №3

Контрольная работа по теме:

««Применение дифференциального исчисления

к исследованию функций»

Вариант№1 Исследовать функцию и построить график: 3.  y= 4.  y=	Вариант№2 Исследовать функцию и построить график: 3.  y= 4.  y=
Вариант№3 Исследовать функцию и построить график: 3.  y= 4.  y=	Вариант№4 Исследовать функцию и построить график: 3.  y= 4.  y=
Вариант№5 Исследовать функцию и построить график: 3.  y= 4.  y=	Вариант№6 Исследовать функцию и построить график: 3.  y=-9x+1 4.  y=
Вариант№7 Исследовать функцию и построить график: 3.  y= 4.  y=	Вариант№8 Исследовать функцию и построить график: 3.  y=-9x+1 4.  y=
Вариант№9 Исследовать функцию и построить график: 3.  y= 4.  y=	Вариант№10 Исследовать функцию и построить график: 3.  y=-2x- 4.  y=
Вариант№11 Исследовать функцию и построить график: 1.  y= 2.  y=	Вариант№12 Исследовать функцию и построить график: 5)  y=+9x- 6)  y=

Практическая работа № 4.

Тема: Вычисление неопределённых интегралов.

Вычисление определённых интегралов различными методами.

Цель: Проверить на практике знание понятия неопределённого и определенного интегралов, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определенный интеграл методом введения новой переменной и по частям.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. «Математика». – М.: Дрофа, 2010.

Математика. М:Форум-Инфа 2008.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

1.Теоретический материал и примеры вычисления неопределённого интеграла методом введения новой переменной.

1.1Неопределённый интеграл и непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование – это нахождение неопределенных интегралов с использованием таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла:

1.=

2.=k, где k=const

Таблица интегралов

1		11
2		12
3	().	13	.
4		14
5	;	15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20	;

1.2 Замена переменной в неопределённом интеграле
(интегрирование подстановкой).

Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.
При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.
1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) .

  2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной.

  Пример 1.

  имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате (возвращаемся к исходной переменной) . Другие примеры:
. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись: =

  Пример 2.

  (интеграл №19 из табл.). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или , ): . Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие и через косинус двойного угла: . Поэтому
.
Пример 3.

  dx==dt=dt=+С=+С

  1.3 Интегирование по частям:

  Производится по формуле :

  Пример 4.

  ==x· =x·

 

  Пример 5.

   

  == =

  Пример 6.

  ==.

2. Определенный интеграл, его свойства и вычисление

2.1. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

= F(a)-F(b)

- соответственно верхний и нижний пределы интегрирования, они пишутся и читаются снизу вверх, а в формулу подставляются сверху вниз!)

Основные свойства определенного интеграла:

1.  При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:

2.  Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

3.  Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.

4.  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Пример 1.

==27-8=19.

2.2 Вычисления определённого интеграла методом введения новой переменной.

Пример 2.

====

Пример 3.

= - =-()=-

1.3 Вычисление определенного интеграла по частям:

Используем формулу:

-

Пример 4.

=-+=()+-1-1=-2;

Пример 5.

=-6xctgx +=-6·-6·+ln|sinx|=π+ ln|sin|- ln|sin|= π+ ln1- ln= π+ 0+ln2= π+ln2

3.  Выполните самостоятельную работу:

1)  Найдите неопределенный интеграл:

   

№1 1.  2.  3.  4.  5.	№2 1.  2.  3.  4.  5.	№3 1.  2.  3.  4.  5.  dx
№4 1.  2.  3.  4.  5.	№5 1.  2.  3.  dx 4.  5.dx   i.	№6 1.  2.  3.  4.  5.
№7 1.  2.  +5x+1)dx +x+1)dx 3.    i.    ii.  4.  5.	№8 1.  2.  3.  dx 4.  5.  dx	№9 1.  2.  3.  4.  5.
№10 1.  2.  3.  4.  5.	№11 1.  2.  3.  4.  5.	№12 1.  2.  3.  4.  5.
№13 1.  2.  3.  4.  5.	№14 1.  2.  3.  4.  5.	№15 1.  2.  3.  4.  5.

2)  Вычислите определенный интеграл.