Секция математика

Секция МАТЕМАТИКА

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

Иванова Вера, МОУ «Байглычевская основная общеобразовательная школа

Яльчикского района Чувашской Республики», 8 класс

Научный руководитель:

, учитель математики МОУ «Байглычевская основная

общеобразовательная школа Яльчикского района Чувашской Республики»

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. В этом учебном году мы начали изучать квадратные уравнения: познакомились с историческими сведениями о квадратных уравнениях, познакомились с некоторыми методами решения квадратных уравнений.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется несколько способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала некоторые из них, решив уравнение 3x²+6x-9=0.

Введение

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. Сойер

Основополагающий вопрос: сколькими способами можешь решить квадратное уравнение?

Основной целью моей работы является умение решать квадратное уравнение не одним способом и выбор рационального способа решения квадратных уравнений.

Задачи:

-выработать умения выбирать рациональный способ решения квадратных

уравнений 

- развитие вычислительных навыков

  - развитие кругозора

  - формировать умения самостоятельно приобретать и применять знания

- использовать различные источники информации и современные информационные

технологии

  - развитие умения наблюдать, анализировать

  - развитие коммуникативных качеств личности

     - формирование интереса к математике, активности, мобильности, отношения

ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратного уравнения с различными способами, а именно рассматривала восемь способов ее решения. Исследуя их убедилась уникальности каждого метода.

Значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Основная часть

Задача. Решить квадратное уравнение 3x² +6x-9=0 различными способами.

Решение.

1.  Разложение левой части на множители.

Разложим левую часть на множители 3x² +9x-3x-9=(3x²-3x)+(9x-9)=

3x(x-1)+9(x-1)=(x-1)(3x+9). Следовательно, уравнение можно переписать в виде

(х-1)(3х+9)=0. Т. к. произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

x-1=0 или 3x+9=0

х=1 3x=-9

x=-9:3

х=-3

Ответ: -3;1.

2. Метод выделения полного квадрата.

Разделив обе части данного уравнения на 3, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение х² +2х-3=0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого сумму x² +2x представим в виде (х² +2х+1)-1-3. Получим х² +2х+1-4=0. Отсюда (x+1)²=4. Следовательно,

x+1=√4 или x+1=-√4

x+1=2 х+1=-2

x=2-1 x=-2-1

х=1 х=-3

Ответ: -3;1.

3.  Решение квадратных уравнений по формуле.

а=3 в=6 с=-9, D=в²-4ас

Найдем дискриминант:

D=6² -4∙3∙(-9)=36+108=144, D>0,

Применим формулу корней квадратного уравнения:

x1=(-в+√D)/2а=(-6+√144)/6=(-6+12)/6=1

x2 =(-в-√D)/2а=(-6-√144)/6=(-6-12)/6=-3

Ответ:-3;1.

4.  Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + q = 0.

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p.

Разделив обе части уравнения 3x²+6x-9=0 на 3, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение x²+2x-3=0.

По теореме, обратной теореме Виеа:

x1 x2 = -3,

x1 + x2 = -2;

x1 = -3,

x2 = 1.

Ответ: -3;1.

5.  Графический способ

Запишем уравнение в виде 3х²=-6х+9. Построим параболу у=3х² и прямую у=-6х+9. Прямую у=-6х+9 можно построить по двум точкам (1;3) и (-3;27). Прямая и парабола пересекаются в двух точках с абсциссами -3 и 1.

 

Ответ: -3;1.

6. Способ « переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

В нашем уравнении 3x²+6x-9=0 «перебросим» коэффициент 3 к свободному члену, в результате получим уравнение у²+6у-27=0

По теореме Виета

у1 = -9 х1 =-3

у2 = 3 x2 = 1

Ответ: -3;1.

7.  Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а+ b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = - b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а +b + с = 0, откуда b =-( а + с). Таким образом,

x1 + x2 = -( а + с)/a= -(1 + c/a),

x1x2 = 1• c/а,

т. е. х1 = 1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

В нашем уравнении 3x²+6x-9=0 сумма коэффициентов равна 0 , т. е. a+b+c=3+6-9=0, то х1 = 1, х2 = c/a = -9/3=-3

Ответ: -3;1.

8.  C помощью циркуля и линейки.

В квадратном уравнении 3х² +6х-9=0,

а=3 b=6 c=-9

Определим координаты точки S центра окружности по формулам:

х=-b/(2a) ; x=-6/(2∙3)=-1

у=(a+c)/(2a ); y=(3-9)/(2*3)=-1

И так S(-1;-1) и проведем окружность радиуса SА, где А(0;1). Абсциссы точек пересечения с осью Ох, (-3;0) и (1;0) являются корнями исходного квадратного уравнения, т. е. х1 =-3, x2 = 1

Ответ:-3,1.

Заключение

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратного уравнения, а что,

если существуют и другие способы их решения? Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс). Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на задачи, которые ставит перед нами математика.

Литература

1. , и др. Алгебра,8. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М., «Просвещение»,2010.

2. Брадис математические таблицы для средней школы.

Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. с. 83.

3. Окунев функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

4. Пресман квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. с. 34.

5. Интернет ресурсы