– средняя длительность второго режима;

– средняя длительность переключения со второго режима на первый (с учетом возможных "возвратов" на второй режим), которое завершилось переходом на первый режим.

Найдем величину . С вероятностью имеем . Напомним, что – вероятность того, что переключение со второго режима на первый завершается переходом на первый режим. С вероятностью за время от момента завершения второго режима до перехода на первый последует "возвратов" на второй режим, и на m-м переключении произойдет переход на первый режим, . Средняя длительность такого периода равна

и таким образом

Далее получаем, что средняя длительность отдыха V определяется равенством:

Таким образом, для существования стационарного режима в рассматриваемой системе достаточно, чтобы

3.4. Характеристики производительности системы

Под состоянием системы в произвольный момент времени будем понимать состояние процесса , где – число заявок в системе в момент времени t, – состояние обслуживающего прибора, .

Стационарное распределение вероятностей состояний системы в произвольный момент времени определяется как предельное распределение процесса . На основании результатов работы [9] достаточным условием существования стационарных вероятностей

является существование стационарного распределения вложенной цепи Маркова .

Стационарные вероятности состояний системы в произвольный момент времени удовлетворяют следующим равенствам:

при

(28)

(29)

(30)

где

Вычислив стационарное распределение вероятностей состояний системы в произвольный момент времени, находим характеристики производительности системы:

● Доля времени, в течение которого система работает в r-м режиме:

● Средняя длина очереди, когда обслуживающий прибор находится в состоянии r:

● Средняя длина очереди в произвольный момент времени:

● Среднее время ожидания обслуживания в системе (вычисляется по формуле Литтла):

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

.

3.5. Алгоритм и компьютерная программа расчёта

На основе результатов, полученных выше, можно определить алгоритм вычисления стационарных вероятностей и основных характеристик производительности исследуемой системы:

1.  Формируем матрицы , с помощью равенств (17)–(19).

2.  Находим матрицу G как решение матричного уравнения (26) с помощью итерационной схемы (27).

3.  Вычисляем матрицы , из (21).

4.  Находим вектор как решение системы уравнений (22).

5.  Вычисляем остальные векторы , из равенств (23)–(24).

6.  По полученным стационарным вероятностям вычисляем характеристики производительности системы (среднюю длину очереди и среднее время ожидания в системе).

Для реализации описанного алгоритма и производства численных вычислений в рамках данной работы была написана специальная компьютерная программа на языке программирования JAVA (JDK 1.5). При этом, с целью уменьшения времени исполнения программы (т. е. уменьшения количества процессорных операций), была произведена соответствующая оптимизация вычислительного алгоритма.

Полный код программы приведён в Приложении 2. Ниже следует описание Java-классов:

·  Main – управляющий класс, который инициализирует одиночный расчёт или серию расчётов, а также считывает входные параметры из файла и записывает результаты в выходной файл;

·  ScalarCalculator – класс, отвечающий за вычисление скалярных функций, необходимых для формирования матриц ;

·  MatrixCalculator – класс, реализующий алгоритмы вычисления матрицы G, матриц , векторов стационарных вероятностей , а также средней длины очереди L;

·  Matrix – вспомогательный класс, используемый для хранения матриц (векторов) и выполнения математических операций над матрицами (умножение матриц, нахождение обратной матрицы и т. д.).

Входные параметры рассчитываемой модели задаются в текстовом файле (по умолчанию, “input. txt”); среди них: интенсивность входного потока заявок (), интенсивность обслуживания заявок в оптическом и радио - канале ( и соответственно), время переключения между каналами ( и ), параметры гиперэкспоненциального распределения времени работы в каждом из режимов (), а также ещё два дополнительных параметра, определяющих точность проводимых вычислений (а именно, точность вычисления матрицы G по итерационной схеме и точность вычисления средней длины очереди как суммы бесконечного количества элементов). Результаты работы программы (результаты промежуточных вычислений и искомые характеристики производительности) выводятся на экран и в текстовый файл (по умолчанию, “output. txt”).

Стандартный вывод программы выглядит следующим образом:

Calculating f[i], g[i], h[i], r[i], m[i]...

f(1)=0 when i>104

f(2)=0 when i>154

g(1)=0 when i>101

g(2)=0 when i>151

r=0 when i>154

m=0 when i>152

h(1)=0 when i>127

h(2)=0 when i<0

h(2)=0 when i>689

Calculating v[i], f^[i], g^[i]...

v(1)=0 when i>102

v(2)=0 when i>152

f^(1)=0 when i>229

f^(2)=0 when i>689

g^(1)=0 when i>226

g^(2)=0 when i>681

Calculating matrices P[i, l]...

P[0,l] = O when l>688

P[1,l] = O when l>689

Stochastic property of SUM(P[i, l]):

Line 1, elements sum = 1.0

Line 2, elements sum = 0.

Line 3, elements sum = 0.

Line 4, elements sum = 1.0

Line 5, elements sum = 1.0

Line 6, elements sum = 1.0

Line 7, elements sum = 0.

Calculating matrix G...

Max k = 6

Stochastic property of G:

Line 1, elements sum = 0.

Line 2, elements sum = 0.

Line 3, elements sum = 0.

Line 4, elements sum = 1.

Line 5, elements sum = 0.

Line 6, elements sum = 0.

Line 7, elements sum = 1.0

Calculating matrices Y[i, l]...

Y[0,l] = O when l>688

Y[1,l] = O when l>689

Calculating vectors Pi[i]...

pi[0] = 0.E-8 0.E-5 0.E-8 2.E-5

pi[100] = 1.E499182E4796E-9 2.E562498E92435E8794E-19

Max i = 126

SUM(pi[i])*1 = 0.

Calculating L value...

L = 0.

Total calculation time: 1 sec.

3.6. Примеры численных расчётов

В данном подразделе приводятся несколько серий расчётов характеристик производительности гибридной радио-оптической системы передачи данных, произведённых с помощью описанной выше программы. Рассчитывались такие характеристики, как средняя длина очереди и среднее время пребывания заявки (пакета данных) в системе.

При проведении расчётов варьировались следующие параметры модели: пропускная способность оптического канала (), пропускная способность резервного радиоканала (), интенсивность входного потока (), время переключения с основного канала на резервный и обратно ( и соответственно). В то же время параметры модели, определяющие характер изменения погодных условий (иными словами, определяющие функции распределения для времени работы каждого из каналов), брались постоянными со следующими численными значениями:

Такие значения были получены в результате шести месяцев испытаний в реальных условиях гибридного FSO-RF-оборудования (испытания проводила компания «Мостком»), и описывают приближённую модель изменения погодных условий в местности, где проводились данные испытания. Стоит также отметить, что таким коэффициентам гиперэкспоненциального распределения соответствуют следующие средние значения:

– среднее время непрерывной работы системы в первом режиме (когда оптический канал доступен);

– среднее время непрерывной работы системы во втором режиме (когда оптический канал недоступен и передача данных ведётся по резервному радиоканалу).

Ниже приводятся примеры расчётов характеристик производительности исследуемой системы при различных параметрах модели, с соответствующими таблицами и графиками.

1.  Зависимость средней длины очереди и среднего времени ожидания от интенсивности входного потока.

А) Возьмём пропускную способность оптического канала равной 125 Мбит/с, а пропускную способность радиоканала – 20 Мбит/с (такими характеристиками обладает гибридная система ARTOLINK M1 FE-R производства компании «Мостком»). Следовательно, пакетов в секунду, пакетов в секунду. Здесь и далее полагаем, что длина пакета фиксирована и равна 1024 байт. Возьмём (т. е. среднее время переключения с радиоканала на оптический равно 10 секунд), . Интенсивность входного потока () варьируется от 100 до 2400 пакетов в секунду. Соответствующие расчёты приведены ниже (в таблице также указано время выполнения вычисления на компьютере).




, пак/с

L, пак

W, мс

Выч. время, с

, пак/с

L, пак

W, мс

Выч. время, с

100

0,042

0,418

0

1300

1,113

0,856

11

200

0,087

0,437

0

1400

1,314

0,938

13

300

0,137

0,457

0

1500

1,557

1,038

14

400

0,192

0,479

1

1600

1,858

1,161

16

500

0,252

0,504

2

1700

2,241

1,318

19

600

0,319

0,531

3

1800

2,742

1,524

22

700

0,393

0,562

3

1900

3,430

1,805

23

800

0,477

0,596

5

2000

4,430

2,215

26

900

0,571

0,634

6

2100

6,019

2,866

29

1000

0,678

0,678

7

2200

8,931

4,059

33

1100

0,802

0,729

9

2300

16,002

6,958

40

1200

0,945

0,787

10

2400

58,430

24,346

72

Таблица 3: Зависимость средней длины очереди и среднего времени ожидания от интенсивности входного потока (А)

График 1: Средняя длина очереди (логарифмическая шкала)

График 2: Среднее время ожидания (логарифмическая шкала)

Б) Пусть теперь пропускная способность оптического канала равна 1 Гбит/с, радиоканала – 100 Мбит/с (такую пропускную способность радиоканала возможно реализовать, используя, например, Wi-Fi оборудование стандарта IEEE 802.11n). Следовательно, пак/с, пак/с, , . Интенсивность входного потока () варьируется от 1000 до 12000 пак/с. Соответствующие расчёты приведены ниже (в таблице также указано время выполнения вычисления на компьютере).



, пак/с

L, пак

W, мс

Выч. время, с

, пак/с

L, пак

W, мс

Выч. время, с

1000

0,088

0,088

6

6600

1,158

0,175

162

1200

0,107

0,089

8

6800

1,237

0,182

172

1400

0,128

0,091

10

7000

1,323

0,189

179

1600

0,149

0,093

13

7200

1,415

0,196

189

1800

0,170

0,095

16

7400

1,514

0,205

199

2000

0,193

0,096

19

7600

1,623

0,214

209

2200

0,217

0,098

22

7800

1,741

0,223

221

2400

0,241

0,100

26

8000

1,870

0,234

230

2600

0,267

0,103

30

8200

2,013

0,245

241

2800

0,293

0,105

34

8400

2,170

0,258

253

3000

0,321

0,107

38

8600

2,345

0,273

268

3200

0,350

0,109

43

8800

2,540

0,289

277

3400

0,380

0,112

48

9000

2,759

0,307

289

3600

0,412

0,114

55

9200

3,008

0,327

302

3800

0,445

0,117

58

9400

3,292

0,350

315

4000

0,480

0,120

64

9600

3,620

0,377

329

4200

0,516

0,123

70

9800

4,003

0,408

345

4400

0,555

0,126

76

10000

4,454

0,445

360

4600

0,595

0,129

85

10200

4,996

0,490

412

4800

0,638

0,133

91

10400

5,657

0,544

386

5000

0,683

0,137

97

10600

6,483

0,612

405

5200

0,730

0,140

104

10800

7,544

0,699

420

5400

0,781

0,145

111

11000

8,957

0,814

437

5600

0,834

0,149

119

11200

10,930

0,976

456

5800

0,891

0,154

127

11400

13,882

1,218

478

6000

0,951

0,159

136

11600

18,779

1,619

504

6200

1,016

0,164

145

11800

28,488

2,414

614

6400

1,084

0,169

153

12000

56,959

4,747

614

Таблица 4: Зависимость средней длины очереди и среднего времени ожидания от интенсивности входного потока (Б)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5