Механика, молекулярная физика и термодинамика (стр. 2 )

По мере удаления частицы от поверхности Солнца ее кинетическая энергия убывает (Т2→0), потенциальная энергия при r = ∞ достигает значения П2 = 0.

Другими словами, чтобы удалить тело за пределы гравитационного поля Солнца, ему нужно сообщить кинетическую энергию, численно равную работе против сил тяжести при движении тела от r = Rс до r = ∞, т. е.

Подставляя выражение Т1, П1, Т2 , П2 в (1), получим

,

отткуда

(4)

что совпадает с выражением для второй космической скорости.

Здесь gc = GMc/Rc2 – ускорение свободного падения у поверхности Солнца.

Подставляя числовые значения гравитационной постоянной G = 6.67 · 10-11 м3/(кг·с2), массы Солнца Мс = 1.98 · 1030 кг, радиуса Солнца Rc = 6.95 · 108 м, в выражение (4) с учетом (5), получим:

;

Пример 11. К несовместимой пружине, коэффициент упругости которой k = 200 Н/м, прикреплен груз массой m = 1 кг. Груз смещен на 10 см от положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить наибольшее и наименьшее ускорение груза. Трением пренебречь.

Решение. Под действием силы упругости груз совершает свободное гармоническое колебание, уравнение которого запишем в виде:

, (1)

где А0 – амплитуда колебания, ω – циклическая частота. Продифференцировав выражение (1) по времени, определим скорость груза

, (2)

а после дифференцирования скорости по времени, ускорение

. (3)

Так как

, (4)

то ускорение α можно записать в виде:

(5)

Ускорение имеет максимальное значение при x = А0, т. е. при наибольшем отклонении от положения равновесия:

(6)

В положении равновесия, при х = 0, ускорение = 0. Подставляя числовые значения в выражение (6), получим:

Пример 12. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

, (1)

, (2)

где А1 = 1 см; ω1 = π с-1; А2 = 2 см; ω2 = π/2 с-1.

Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла:

Используя это соотношение и отбросив размерности х и y, можно написать:

;

откуда

или . (3)

Выражение (3) есть уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси ОХ равна 1, а по оси ОУ – 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от - 1 до +1, а ординаты – от - 2 до +2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию | x | ≤ 1:

х		х
-1	0	0	±1.41
-0.75	±0.71	0.5	±1.73
-0.5	±1	1	±2

Начертив координаты оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд.

Далее определим направление движения точки. Из уравнений(1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Тх = 2 с, а по вертикальной оси Ту = 4 с. Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание по оси ОХ, она совершает только половину полного колебания по оси ОУ. В начальный момент (t = 0) имеем: x = 1 у = 2 (точка находится в положении 1). При t = 1 с получим: x = - 1 и у = 0 (точка находится в вершине параболы). При t = 2 с получим: х = 1 и у = - 2 (точка находится в положении 2). После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Пример 13. Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью υ = 100 м/с. Наименьшее расстояние Δх между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить период колебаний Т и частоту ν.

Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2π. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Δх, колеблются с разностью фаз, равной

. (1)

Решая это равенство относительно λ, получаем:

(2)

По условию задачи Δφ = π. Подставляем значения величин, входящих в выражение (2), получим:

Скорость υ распространения волны связана с λ и Т отношением

, (3)

где ν – частота колебаний.

Из выражения (3): .

После вычислений ν = (100/2)·π = 50 с-1, а Т = 1/50 с = 0.02 с.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

101. Уравнение движения материальной точки вдоль оси х имеет вид

х = А + Вt + Ct2 + Dt3,

где С = 0.15 м/с2, D = 0.01 м/с3

1)  Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1,5 м/с2.

2)  Чему равно среднее ускорение за этот промежуток времени.

102. Движение материальной точки задано уравнением x = At + Bt2, где А = 4 м/с, В = - 0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость υ точки равна нулю. Найти ординату и ускорение в этот момент.

103. Зависимость скорости тела от времени дана уравнением υ = 0,3 t2. найти величину ускорения а тела в момент времени 2 с и путь, пройденный телом за интервал времени от t1 = 0 c t2 = 2 c.

104. Две материальные точки движутся согласно уравнениям:

х1 = А1t + В1t2 + С1t3, х1 = А2t + В2t2 + С2t3, где А1 = 4 м/с; В1 = 8 м/с2;

С1 = - 16 м/с3; А2 = 2 м/с; В2 = - 4 м/с2; С2 = 1 м/с3.

В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости υ1 и υ2 точек в этот момент.

105. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол φ его поворота зависит от времени по закону φ = аt2, где а = 0,2 рад/с2. найти полное ускорение точки А на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если линейная скорость точки в этот момент υ = 0,65 м/с.

106. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением β = 2 рад/с2. Через t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало а = 13,6 см/с2. Найти радиус колеса.

107. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна υ = 10 см/с.

108. Винт аэросаней вращается с частотой n = 60 с-1. Скорость поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью u движется один из концов винта, если радиус винта R равен 1 м?

109. Колесо радиусом 0,3 м вращается согласно уравнению φ = 5 – 2t + 0,2t2. Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорение точек на ободе колеса в момент времени t = 5 с.

110. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала равной υ = 0,792 м/с.

111. Движение материальной точки описывается уравнением х = 5 – 8t + 4t2. Считая массу равной 2 кг, найти импульс точки через 2 с и 4 с после начала отсчета времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

112. Мяч массой m = 100 г, двигаясь по нормали к стенке со скоростью υ= 12 м/с, упруго ударяется о нее и отскакивает от стенки с такой же скоростью. Найти величину и направление импульсов, полученных мячом и стенкой, и среднюю силу действия мяча о стенку, если продолжительность удара ∆ = 1 мс.

113. С высоты h = 25,6 см на стальную плиту свободно падает шарик массой 100 г и подпрыгивает на высоту 19,6 см. Определить импульс, полученный плитой при ударе шарика.

114. Молекула массой m = 4,7∙10-27 кг летит со скоростью 600 м/с и упруго соударяется со стенкой сосуда под углом 60° к нормали. Найти импульс силы, полученный стенкой за время удара.

115. Неподвижный блок подвешен к динамометру. Через блок перекинут шнур, на концах которого укреплены грузы с массами m = 2 кг и m = 8 кг. Что показывает динамометр при движении грузов. Весом блока можно пренебречь.

116. Две гири, имеющие массы m1 = 3 кг и m2 = 6,8 кг висят на концах нити, перекинутой через неподвижный блок. Легкая гиря находится на 2 м ниже тяжелой. Гири пришли в движение без начальной скорости. Через какое время t они окажутся на одной высоте?

117. К одному концу веревки, перекинутой через блок, подвешен груз массой m = 10 кг. С какой силой f нужно тянуть вниз за другой конец веревки, чтобы груз поднимался с ускорением a = 1 м/с ². Растяжением веревки и ее весом пренебречь.

118. Какую скорость приобретает ракета массой 0,6 кг, если продукты горения массой 1,5∙10-2 кг вылетают из нее со скоростью 800 м/с.

119. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью υ1 = 3 м/с, в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной = u1=4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m1 = 210 кг, масса человека m2 = 70 кг.

120. От двухступенчатой ракеты массой 1 т при скорости 171 м/с отделилась ее вторая ступень массой 0,4 т. Скорость второй ступени при этом увеличилась до 186 м/с. Найти с какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты.

121. На вагонетку массой 800 кг, движущуюся по горизонтальному пути со скоростью 0,2 м/с, насыпали сверху 200 кг щебня. На сколько при этом уменьшилась скорость вагонетки?

122. Метеорит и ракета движутся под углом 90° друг к другу. Ракета попадает в метеорит и застревает в нем. Масса метеорита m = 1 т, масса ракеты m/2, скорость метеорита υ =100 м/с, скорость ракеты равна 2υ. Определить импульс метеорита и ракеты после неупругого удара.

123. Вагон массой 3 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном массой 2 т. С какой скоростью движутся вагоны после сцепления?

124. При горизонтальном полете со скоростью υ = 300 м/с снаряд массой 9 кг разорвался на две части. Большая часть массой m1= 7 кг получила скорость υ1=450 м/с в направлении полета снаряда. Определить модуль и направление скорости υ2 меньшей части снаряда.

125. Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т, движущуюся со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном направлению снаряда, и застревает в нем. Определить скорость, которую получит платформа от толчка.

126. Человек и тележка движутся навстречу друг другу. Масса тележки 32 кг, масса человека 64 кг. Скорость тележки 1,8 км/ч, скорость человека 5,4 км/ч. Человек прыгает на тележку и останавливается. Определить скорость тележки с человеком после его прыжка.

127. При упругом ударе нейтрона о ядро углерода он движется после удара в направлении, перпендикулярном начальному. Считая, что масса m ядра углерода в n = 12 раз больше массы нейтрона, определить, во сколько раз уменьшается энергия нейтрона в результате удара.

128. В деревянный шар массой 5 кг, подвешенный на нити, попадает горизонтально летящая пуля массой 5 г и застревает в нем. Найти скорость пули, если шар вместе с застрявшей в нем пулей поднялся на высоту 10 см.

129. Тележка движется по горизонтальному пути со скоростью 50 см/с. Ее догоняет вторая тележка, которая движется со скоростью 150 см/с. После удара обе тележки продолжают двигаться в том же направлении с одинаковой скоростью 100 см/с. Найти отношение масс этих тележек.

130. Движущийся шар массой 5 кг ударяется о неподвижный шар массой 0,5 кг. Кинетическая энергия обоих шаров непосредственно после удара равна 6 Дж. Определить кинетическую энергию первого шара до удара. Удар считать центральным и неупругим.

131. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m2=300 кг ударяет молот массой m1=8 кг. Определить КПД удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

132. Молотком, масса которого m1=1 кг, забивают в стену гвоздь массой m2=75 г. Определить КПД удара при данных условиях.

133. Четыре одинаковых тела равной массы, по m=20 г каждое, расположены на одной прямой на некотором расстоянии друг от друга. В крайнее тело ударяет такое же тело, имеющее скорость υ0=10 м/с и движущееся вдоль прямой, на которой расположены тела. Считая соударение тел неупругим, определить кинетическую энергию системы тел после прекращения соударений.

134. Два тела с массами m1=1 кг и m2=2 кг, имеющие импульсы ρ1=0,5 кг∙м/с и ρ2=0,25 кг∙м/с, движущееся во взаимно перпендикулярных направлениях. После соударения тела обмениваются импульсами. Определить выделившееся при ударе тепло.

135. Шар массой m1=2 кг налетает на покоящийся шар массой m2=8 кг. Импульс ρ1 движущего шара равен 10 кг∙м/с. Удар шаров центральный, упругий. Определить импульсы первого ρ1′ и второго ρ2′ шара непосредственно после удара, а также изменение импульса первого шара.

136. Движущееся тело массой m1=1 кг ударяется о неподвижное тело массой m2=3 кг. Считая удар упругим и центральным, определить, какую часть своей начальной кинетической энергии первое тело передает второму при ударе.

137. Теннисный мяч, летящий со скоростью υ1=10 м/с, отброшен ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью υ2=8 м/с. При этом его кинетическая энергия изменилась на ∆Е=5 Дж. Найти изменение количества движения мяча.

138. Пружина жесткостью κ=2 кН/м сжата на x1=5 см. Какую нужно совершить работу, чтобы сжатие пружины увеличить до x2=10 см?

139. Мяч падает с высоты Н=7,5 м на гладкий пол. Какую начальную скорость нужно сообщить мячу, чтобы после двух ударов о пол, он поднялся до первоначальной высоты, если при каждом ударе мяч теряет 40% своей энергии.

140. В пружинном ружье пружина сжата до x1=10 см. При взводе ее сжали еще до x2=20 см. С какой скоростью вылетит из ружья стрела массой 30 гЮ если жесткость пружины κ=144 Н/м.

141. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями κ1=400 Н/м и κ2=200 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на ∆l=4 см.

142. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на ∆l=2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h=6 см.

143. Ракета массой 650 г содержит 400 г взрывчатого вещества. На какую высоту может подняться ракета, если при горении вещества газы мгновенно вылетают со скоростью 400 м/с, а сопротивление воздуха уменьшает подъем в 5 раз.

144. Тело, масса которого m1=990 г, лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массой m2=10 г и застревает в нем. Скорость пули направлена горизонтально и равна 700 м/с. Какой путь S пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью κ =0,05?

145. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза (в направлении движения).

146. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью υ = 0,6 с. Во сколько раз замедляется течение времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя.

147. Электрон, скорость которого 0,97 с, движется навстречу протону, имеющему скорость 0,5 с (скорости заданы по отношению к неподвижному наблюдателю). Найти скорость их относительного сближения.

148. Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т = 1 ГэВ ( энергия покоя электрона Еое= 0,51 МэВ, а протона – Еор= 938 МэВ. 1 ГэВ = 109 эВ).

149. Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в n =3 раза превышает энергию покоя.

150. Альфа-частица с кинетической энергией Т = 10 ГэВ при торможении потеряла половину своей энергии. Определить, во сколько раз изменился импульс альфа-частицы ( энергия покоя α – частицы Е0 = 3733 МэВ; 1 ГэВ = 109 эВ = 103 МэВ).

151. Импульс ρ релятивистской частицы равен m0c. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько при этом возрастет кинетическая и полная энергия.

152. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в 4 раза.

153. Стержень массой m = 6 кг и длиной 40 см вращается вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно длине стержня. Угол поворота стержня изменяется со временем по закону φ = 3t3– t2 + 4t + 6. Определить вращающий момент М, действующей на стержень через t = 2 c после начала вращения.

154. Диск массой 5 кг и радиусом R = 0,4 м вращается, делая n = 180 об/мин. Через t = 20 с после начала торможения диск останавливается. Найти момент сил торможения.

155. К ободу диска массой m = 5 кг приложена постоянная касательная сила F = 2 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через 5 с после начала действия силы?

156. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной скоростью, соответствующей 5 об/с, равна 60 Дж. Найти момент количества движения этого вала.

157. Колесо, вращаясь, равнозамедленно, при торможении уменьшило за 1 мин частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса 2 кг ∙ м2. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) тормозящий момент; 3) работу сил торможения; 4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.

158. Фигурист вращается, делая 6 об/с. Как изменится момент инерции фигуриста, если он прижмет руки к груди и при этом частота вращения станет 18 об/с?

159. На краю горизонтальной платформы стоит человек массой m1 = 60 кг. Платформа, представляющая собой круглый однородный диск массой m2 = 120 кг, вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, делает n1 = 6 об/мин. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

160. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гантели массой 2 кг каждая, длина руки человека – 60 см. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью ω1 = 4 рад/с. С какой угловой скоростью ω2 будет вращаться скамья с человеком, если он опустит руки с гантелями вниз, вдоль оси вращения? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 5 кг ∙ м2. Гантели считать материальными точками.

161. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол φ повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку? Масса платформы m1 = 240 кг, масса человека m2 = 60 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

162. Обруч массой m = 160 г катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Найти скорость обруча, если его кинетическая энергия Т = 8 Дж.

163. С наклонной плоскости скатывается без скольжения диск. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м. начальная скорость диска равна нулю. Найти скорость центра тяжести диска у основания наклонной плоскости. Трением пренебречь.

164. Однородный стержень длиной l = 0,85 м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

165. Стержень массой 2 кг и длиной 1 м может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая перпендикулярно оси стержня со скоростью 500 м/с. Определить угловую скорость, с которой начнет вращаться стержень, если пуля застрянет в нем.

166. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

167. Зная среднюю скорость υ1 движения Земли вокруг Солнца (30 км/с), определить с какой скоростью движется вокруг Солнца малая планета, радиус орбиты которой в n = 4 раза больше радиуса орбиты Земли. Орбиты считать круговыми.

168. Какую скорость нужно сообщить ракете, чтобы она стартовав с Луны, ушла за пределы поля тяготения Луны.

169. Определить значение напряженности и потенциала гравитационного поля Земли на высоте h, равной радиусу Земли.

170. Во сколько раз кинетическая энергия искусственного спутника, движущегося по круговой орбите, меньше его гравитационной потенциальной энергии?

171. Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно 3,84 ∙ 108 м.

172. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой m = 30 кг. Определить работу А, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

173. Маятник старинных часов, который можно считать математическим маятником, отклоняется за 1 с на 10 см. период колебаний Т = 2 с. Определить длину маятника и его максимальную скорость.

174. Однородный диск радиусом R = 30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Определить период Т гармонических колебаний диска.

175. Груз массой m = 200 г подвешен к пружине с коэффициентом упругости k = 1 Н/м. Найти длину математического маятника, имеющего такой же период колебаний, как данный пружинный маятник.

176. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к их параллельному соединению. Колебания считать гармоническими.

177. Маятник совершает гармонические колебания по закону x = A cos (ω t + φ). Через сколько времени при первом колебании он отклонится от положения равновесия на расстояние, равное ½ амплитуды, если период колебания Т = 4 с, начальная фаза φ = π/2.

178. Гармоническое колебание точки имеет вид: x = A sin (2π/T ∙ t). Через какую долю периода скорость точки будет равна ее максимальной скорости?

179. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии для момента времени t = T/12 ∙ с, где Т – период колебаний, φ = 0.

180. Два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковой частотой и амплитудами А1 = 3 см и А2 = 5 см, складываются в одно колебание с амплитудой А = 7 см. найти разность фаз складываемых колебаний.

181. Два гармонических колебания с одинаковыми периодами и амплитудами А1 = 5 ∙ 10-2 м и А2 = 2 ∙ 10-2 м происходят вдоль одной прямой. Период колебаний Т = 1,2 с. Каков период результирующего колебания? Каковы максимальная и минимальная возможные амплитуды результирующего колебания и каким наименьшим разностям фаз они соответствуют.

182. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний А1 = 3 см и А2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания совершаются в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

183. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых имеют вид: x = sin (t/2), y = cos t. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

184. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x = sin π t, y = 4 sin (π t + π). Найти траекторию движения точки, построить ее с соблюдением масштаба.

185. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых: x = 3 cos t, y = 2 sin t. Найти траекторию точки, построить ее и указать направление движения точки.

186. Волна распространяется по прямой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях 12 м и 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз ∆φ = φ2 - φ1 = 0,75 π . Определить длину волны и период колебаний.

187. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l = λ/12, для момента t = T/6. Амплитуда колебания А = 0,05 м.

188. Определить скорость υ распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на ∆x = 15 см, равна π/2. Частота колебаний ν = 25 Гц.

189. Катер движется в море со скоростью 57 км/ч. Расстояние между гребнями волн 10 м, период колебаний частиц воды в волне 2 с. С какой частотой ударяются волны о корпус катера при его движении: 1) в направлении распространения волны; 2) навстречу волнам?

190. Волна распространяется в упругой среде со скоростью υ = 100 м/с. Наименьшее расстояние ∆x между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту колебаний.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

1) Идеальные газы подчиняются уравнению состояния. Менделеева – Клапейрона

где р—давление газа; V—его объем; Т—абсолютная температура; т - масса газа; μ — масса одного моля газа; R= 8,31 Дж/(моль К); R — газовая постоянная; m/μ - число молей.

2) Количество вещества однородного газа (в молях)

или

где N-число молекул газа; Na= 6,02• 1023 моль-1 - постоянная Авогадро,

В смеси нескольких газов количество вещества определится:

или

где , , , - соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-й компоненты смеси.

3) Молярная масса смеси газов:

где - масса i - го компонента смеси; - количество вещества i - ro компонента смеси; п — число компонентов смеси.

4) Массовая. доля ωi i-го компонента смеси газа (в долях единицы):

ωi=mi/m

где т — масса смеси

5) Концентрация молекул:

где N — число молекул, содержащихся в данной системе; ρ - плотность вещества; V — объем системы.

Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

6) Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (T = const, m = const - изотермический процесс) :

pV= const,

или для двух состояний газа:

p1V1=p2V2

б) закон Гей-Люссака (р = const, т = const - изобарический процесс) для двух состояний:

V1/T1=V2/T2

в) закон Шарля (V = const, т = const - изохорический процесс) для двух состояний:

г) объединенный газовый закон (m = const):

pV/T=const или p1V1/T1=p2V2/T2

где p1 , V1 , T1 - давление, объем и температура газа в начальном состоянии: p2 , V2 , T2 - те же величины в. конечном состоянии.

7) По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений:

р=р1+р2+…+рn

где п — число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое имел бы каждый газ, входящий в состав смеси, при условии, что при данной температуре он один заполнял бы весь объем.

8) Основное уравнение кинетической теории газов:

где n-число молекул в единице объема; - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; т - масса молекулы; - среднее значение квадрата скорости.

9) Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:

где К=R/Na=1,38•10-23 Дж/К - постоянная Больимана.

10) Средняя полная кинетическая энергия молекулы:

где i - число степеней свободы молекулы.

Для одноатомного газа i=3; для двухатомного газа i=5; для многоатомного газа i=6.

11) Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры: