Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
Филиал в г. Чистополе
МЕХАНИКА
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Методические указания для контрольных работ
Чистополь
2009 год.
УДК 53
Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Методические указания для выполнению контрольных работ по курсу физика /Смирнов.-Чистополь, филиал ИНЭКА. 2009.-51с.
Методические указания предназначены в помощь студентам при выполнении контрольных работ. В них изложены все необходимые сведения из теории. Приводится список литературы.
Список лит. 4 назв.
Рецензент: доцент: к. т.н. .
Печатается по решению научно-методического совета филиала Камской государственной инженерно-экономической академии от «______»___________________2009 года.
© Камская государственная инженерно-экономическая академия, 2009 г.
Литература
Савельев общей физики. Т. I – М.: Наука, 1982 Савельев физики. Т. I – М.: Наука, 1989.3. , Яворский физики. – М.: Высшая школа, 1989.
, Воробьев по физике. – М.: Высшая школа, 1981.ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
В данной брошюре приведено контрольное задание по разделу «Физические основы механики» и «Молекулярная физика и термодинамика»
Студенты должны решить из таблицы восемь задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра.
Перед выполнением контрольной работы студент должен проработать соответствующий материал по учебным пособиям разобрать примеры решения типовых задач, приведенных в данной брошюре и задачниках каждое контрольное задание выполняется в тонкой школьной тетради. На лицевой стороне обложки приводятся сведения о студенте: фамилия, имя, отчество, факультет, шифр, группа; для иногородних – почтовый адрес. Необходимо также указать номер контрольного задания.
Условия задач в контрольных работах переписываются полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя нужно оставлять поле и интервалы между задачами. В конце контрольной работы необходимо указать, каким учебным пособием пользовался студент (название учебника, автор, год издания).
Если контрольная работа не зачтена при рецензировании, ее следует направлять повторно на проверку после исправления ошибок.
Решения задач должны сопровождаться краткими, но исчерпывающими объяснениями, раскрывающими физический смысл использованных формул. Решения задач рекомендуется выполнять в следующей последовательности:
1. Ввести буквенные обозначения физических величин, если это не сделано в условии задачи. Выбрать систему отсчета.
2. Сделать (если это необходимо) чертеж, поясняющий содержание задачи.
3. Сформулировать физические законы, на которых базируется решение задачи.
4. Составить уравнение или систему уравнений, решая которую, можно найти искомую величины.
5. Решить уравнения в общем виде и получить расчетную формулу, в левой части которой стоит искомая величина, а в правой – величины, данные в условиях задачи.
6. Произвести вычисления. Для этого необходимо перевести все значения величин в одну систему единиц – СИ, а затем подставить их в расчетную формулу и выполнить вычисления. При решении задач, как правило, достаточно точности в 2…3 значащие цифры.
Студент обязан сдать на проверку выполненную им заочно контрольную работу до или после прибытия на сессию. Зачет по контрольной работе принимается преподавателем в процессе собеседования по предварительно проверенной и отрецензированной работе.
К экзамену студент допускается только после получения зачета по контрольным работам.
МЕХАНИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
Кинематическое уравнение движения материальной точки вдоль оси х:х = ƒ (t),
где ƒ (t) – некоторая функция времени.
Средняя скорость
где ΔS – путь, пройденный точкой за интервал времени Δt.
Мгновенная скорость
7. Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности
φ = f(t), r = R = const
Угловая скорость
, 
, 
,
где υ – линейная скорость; 
и 
– тангенциальное и нормальное ускорение; ω – угловая скорость; β – угловое ускорение; R – радиус окружности.
или 
и нормальным ускорениями 
где х – смещение; А – амплитуда колебаний; ω – круговая частота; φ – начальная фаза.
Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания
а) амплитуда результирующего колебания
;
б) начальная фаза результирующего колебания
,
) а) у = (А2/А1)·х (если разность фаз φ = 0);
б) у = - (А2/А1)·х (если разность фаз φ = ± π/2);
в) х2/А12 + у2/А22 = 1 (если разность фаз φ равна ± π/2)
,
где у – смещение любой из точек среды с координатой х в момент t; υ – скорость распространения колебаний в среде.
Связь разности фаз Δφ колебаний с расстоянием между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний:
где λ – длина волны.
Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью
где 
- сила, действующая на тело.
а) сила упругости
,
где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;
б) сила тяжести
в) сила гравитационного взаимодействия
,
где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);
г) сила трения (скольжения)
где f – коэффициент трения; N – нормального давления.
Закон сохранения импульса
или для двух тел (i = 2)
где 
и 
- скорости тел в момент, принятый за начальный;
и 
- скорости тел в момент времени, принятый за конечный
или 
а) упруго – деформированной пружины
где k – коэффициент жесткости пружины; х – абсолютная деформация:
б) гравитационного взаимодействия
где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки):
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h « R, где R – радиус Земли).
Закон сохранения механической энергии:
26. Работа А, совершаемая внешними силами:
27. Основное уравнение динамики, вращательного движения относительно неподвижной оси:
где 
- результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; 
- угловое ускорение; 
- момент инерции тела относительно оси вращения.
28. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:
а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню
;
б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра)
,
где R – радиус обруча (цилиндра);
в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
29. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z:
где 
- угловая скорость тела.
30. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси
где 
и 
- моменты инерции системы тел и угловые скорости вращения в моменты времени, принятые за начальный и конечный.
31. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
или 
Релятивистская механика
32. Зависимость длины и времени от скорости
; 
,
где v – скорость движущегося тела (частицы); с – скорость света в вакууме;
- скорость тела, выраженная в долях скорости света в вакууме; 
- длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится; 
- длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется; 
- «собственное время», т. е. измеренное по часам, движущимся вместе с телом;
t – время, измеренное в системе отсчета, относительно которой тело движется.
33. Релятивистский закон сложения скоростей
,
где u – скорость тела в движущейся системе отсчета; 
- скорость тела относительно неподвижной системы отсчета; v – скорость движения подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной.
34. Релятивистская масса
.
35. Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы
или 
где 
- энергия покоя частицы; - полная энергия;
, T - кинетическая энергия частицы.
36. Кинетическая энергия релятивистской частицы
или 
.
37. Импульс релятивистской частицы
или 
38. Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы:
39. Связь между кинетической энергией и импульсом релятивистской частицы:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Пример 1. Две материальные точки движутся по прямой согласно уравнениям: 
и 
, где 
; 
;
; 
; 
; 
. В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорения 
и 
этих точек в момент времени t = 3 с.
Решение. Мгновенная скорость есть производная от координаты по времени. Получим выражение для 
и 
:
(1)
(2)
Определим момент времени, в который 
, для этого приравняем правые части выражений (1) и (2):
откуда
(3)
Подставляя числовые значения в формулу (3), получим:
ускорение точки найдем, взяв производную от скорости по времени:
(4)
(5)
Из выражений (4) и (5) видно, что движение обеих точек происходит с постоянным ускорением:
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону:
где А=12 рад; B=18 рад/с; С= - 4 рад/с2
Определить нормальное и тангенциальное ускорение точки, расположенной на расстоянии r = 0.2 м от оси вращения в момент t = 2 с
Решение: Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:
, 
, (1)
где ω – угловая скорость тела; β – его угловое ускорение.
Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по времени
(2)
В момент времени t = 2 с угловая скорость
.
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
Подставляя значения β, ω, r в формулу (1), получаем:
Пример 3. Человек массой m = 60 кг стоит на тележке массой М = 20 кг. Найти скорость u тележки, если человек будет двигаться по ней с относительной скоростью v = 2 м/с (трением между тележкой и поверхностью, по которой она движется, пренебречь).
Решение: Выберем направление оси х совпадающим с направлением движения человека. Рассмотрим систему, состоящую из человека и тележки.
В горизонтальном направлении внешних сил нет, систему считаем замкнутой и закон сохранения импульса запишем в проекциях на ось х в системе отсчета, связанной с Землей:
(1)
где v – скорость человека относительно тележки, (v - u) – скорость человека относительно Земли.
Из выражения (1) находим:
(2)
Подставляя числовые данные в формулу (2), имеем
.
Пример 4. Тележка с песком, имеющая массу М = 40 кг, движется горизонтально со скоростью v = 5 м/с. Камень массой m = 10 кг попадает в песок и движется вместе с тележкой. Найти скорость тележки после попадания камня: а) падающего по вертикали; б) летящего горизонтально навстречу тележке.
Решение: а) Рассмотрим систему, состоящую из тележки и камня. Внешняя сила (сила тяжести) вертикальна, поэтому по отношению к вертикальному движению система не замкнута и закон сохранения импульса неприменим. В горизонтальном направлении внешних сил нет и закон сохранения импульса выполняется в проекции на направление движения. За положительное направление оси х примем направление движения тележки.
После вертикального падения камня скорость системы уменьшается только в связи с увеличением массы. Закон сохранения импульса для данного случая имеет вид:
(1)
откуда
(2)
после подстановки числовых значений в выражение (2), получим:
б) Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось х для случая, когда камень летит горизонтально со скоростью v1 = 10 м/с и застревает в песке:
(3)
откуда
(4)
Произведем вычисления u:
Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 10 г поднялась на высоту h = 10 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.
Решение: Система пуля – Земля (вместе с пистолетом) является замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы – силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия Е1 системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е2 в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.
Е1 = Е2 или Т1 + П1 = Т2 + П2 (1)
где Т1, Т2; П1, П2 – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.
Так как кинетические энергии пули и в начальном, и в конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид:
П1 = П2 (2)
Если потенциальную энергию в поле сил тяготения Земли на ее поверхности принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е.
,
а в конечном состоянии - потенциальной энергии пули на высоте h, т. е.
Подставив выражения П1 и П2 в формулу (2), найдем 
, откуда:
(3)
Подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:
Пример 6. Молот массой m = 5 кг, двигаясь со скоростью v = 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна М = 95 кг. Считая удар неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Определить КПД удара.
Решение: Считаем систему молот – изделие – наковальня замкнутой во время удара, когда силы ударного взаимодействия Fy значительно превышают равнодействующую R сил тяжести и силы давления N опоры:
R = N – (M + m)g. К такой системе можно применить закон сохранения импульса.
Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, поэтому энергия, затраченная на деформацию, Едеф равна разности значений механической энергии системы до и после удара:
(1)
где u – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Ее найдем на основании закона сохранения импульса
(2)
откуда
(3)
Подставив в формулу (1) значение u из выражения (3), определим Едеф
(4)
Так как полезной считается энергия, затраченная на деформацию, то КПД
(5)
Подставив числовые значения заданных величин в формулу (5), получим:
Из выражения (5) видно, что КПД удара тем больше, чем больше масса наковальни по сравнению с массой молота.
Пример 7. Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой n = 12 с-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент М и число оборотов N, которое сделает маховик до полной остановки.
Решение: Для определения тормозящего момента М применим основное уравнение динамики вращательного движения:
(1)
где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; Δω – изменение угловой скорости за промежуток времени Δt.
По условию задачи, Δω = - ω0, где ω0 – начальная скорость, так как конечная угловая скорость равна нулю (ω = 0).
Выразим начальную скорость через частоту вращения маховика
(2)
тогда
Момент инерции маховика будет рассматриваться как для обруча:
(3)
где m – масса маховика; R – его радиус.
После подстановки выражения (3) в формулу (1), получим:
откуда
(4)
Угол поворота φ за время Δt до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:
(5)
где β – угловое ускорение.
По условию задачи
; 
; 
Тогда выражение (2) может быть записано
Так как 
, 
, то число полных оборотов
(6)
Проверяя вычисления по формулам (5) и (6), имеем:
Пример 8. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n1 = 0.5 с-1. Момент инерции J0 человека относительно оси вращения равен 1.6 кг · м2. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m = 2 кг каждая. Расстояние между гирями l1 = 1.6 м. Определить частоту вращения n2 с человеком, когда он опустит руки и расстояние между гирями станет равным 0.4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.
Решение: Человек, держащий гири, составляет вместе со скамьей замкнутую систему (предполагается, что моменты всех внешних сил – сил тяжести и реакции, действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными, трением об ось пренебрегаем).
В замкнутой системе выполняется закон сохранения момента импульса, который запишется в виде:
(1)
где J1, ω1 – момент инерции человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J2, ω2 - момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками.
Отсюда
(2)
Выразив в этом уравнении угловые скорости ω1 и ω2 через частоты вращения n1 и n2 (ω = 2πn) и сократив на 2π, получим
(3)
Момент инерции системы равен сумме момента инерции тела человека J0 и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше их расстояния до оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки:
(4)
Следовательно,
;
; (5)
где m – масса каждой из гирь; l1, l2 – первоначальное и конечное расстояния между гирями.
Подставляя выражения (5) для J1 и J2 в уравнение (2), получим
(6)
Подставив числовые значения в формулу (6), найдем:
Пример 9. Протон имеет импульс р = 988 МэВ/с. Какую кинетическую энергию необходимо сообщить протону, чтобы его импульс возрос вдвое.
Решение: Сравнив импульс протона с его комптоновским импульсом
р0 = m0с = 938 МэВ/с, видим, что р > р0, т. е. для решения необходимо пользоваться формулами релятивистской механики.
Связь между полной энергией и импульсом частицы имеет вид:
(1)
где Е – полная энергия, Е = Е0 + Т; Е0 – энергия покоя; Е0 = m0c2; Т – кинетическая энергия частицы.
Определим Т из выражения (1)
(2)
По условию импульс частицы возрастает вдвое, т. е. р2 = 2р1.
Следовательно, протону необходимо сообщить дополнительную кинетическую энергию ΔТ = Т2 – Т1,
где
;
(3)
Так как значения р1, Е0 заданы во внесистемных единицах, то их необходимо перевести в систему СИ, учитывая, что 1 МэВ = 1,6 · 10-13 Дж, получим
р1с = 988 · 1.6 · 10-13 = 1.58 · 10-10 Дж
р2с = 2 · 1.58 · 10-10 = 3.16 · 10-10 Дж
Е0 = m0c2 = 938 МэВ = 1.5 · 10-10 Дж.
Подставляя числовые значения в формулу (3), имеем
Пример 10. С какой скоростью должна быть выброшена с поверхности Солнца частица, чтобы она могла уйти за пределы гравитационного поля Солнца.
Решение. Систему частица – Солнце, в которой действуют гравитационные силы (консервативные), можно считать замкнутой. Используем в решении закон сохранения механической энергии. В качестве инерциальной системы отсчета выберем систему отсчета, связанную с центром Солнца.
Запишем закон сохранения механической энергии:
Т1 + П1 = Т2 + П2 (1)
Где Т1, П1 и Т2 , П2 – кинетическая и потенциальная энергия системы частица – Солнце в начальном (на поверхности Солнца) и в конечном (на расстоянии r = ∞ ) состояниях.
В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Солнца равна нулю, поэтому Т1 – это начальная кинетическая энергия частицы:
(2)
Потенциальная энергия системы в начальном состоянии
(3)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
