Механика, молекулярная физика и термодинамика (стр. 3 )

р=nKT

12) Скорости молекул:

Средняя квадратичная

Средняя арифметическая

Наиболее вероятная

где mi - масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы:

где υ - скорость данной молекулы.

13) Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) позволяет найти число молекул , относительные скорости которых лежат в интервале от и до :

здесь - величина интервала относительных скоростей, малая по сравнению со скоростью и.

При решении задач на закон распределения молекул по скоростям удобно пользоваться табл. 3:

Таблица 3

№		и		и
0	0	0,9	0,81	1,8	0,29
0,1	0,02	1,0	0,83	1,9	0,22
0,2	0,09	1,1	0,82	2,0	0,16
0,3	0,18	1,2	0,78	2,1	0,12
0,4	0,31	1,3	0,71	2,2	0,09
0,5	0,44	1,4	0,63	2,3	0,06
0,6	0,57	1,5	0,54	2,4	0,04
0,7	0,68	1,6	0,46	2,5	0,03
0,8	0,76	1,7	0,36

Барометрическая формула дает закон убывания давления газа с высотой в поле силы тяжести:

где рh - давление газа на высоте h, р0 - давление на высоте h = 0; g - ускорение силы тяжести.

14) Связь между удельной с и молярной Сμ теплоемкостями:

Сμ=с

Удельная теплоемкость газа при постоянном объеме:

Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении:

15)  Внутренняя энергия газа (энергия теплового движения молекул).

16)  Средняя длина свободного пробега молекул газа:

где - средняя арифметическая скорость, - среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени; σ - эффективный диаметр молекулы; п — число молекул в единице объема.

17) Масса, перенесенная за время при диффузии:

где - градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке , D - коэффициент диффузии:

где - средняя скорость; λ - средняя длина свободного пробега молекулы.

18) Количество движения, перенесенное газом за время Δt, определяет силу внутреннего трения в газе:

где Δυ/ΔX — градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном к площади ΔS, η — коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость):

19) Количество тепли, переносимое за время в результате теплопроводности:

где — градиент температуры в направлении, перпендикулярном к площадке ΔS. К — коэффициент теплопроводности:

20) Первое начало термодинамики:

Q=ΔU+A

где Q - теплота, сообщенная системе; ΔU - изменение внутреннем энергии системы; А — работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

При изотермическом процессе:

При изобарическом процессе:

A=P(V2-V1)

При адиабатическом процессе:

где γ=Сp/CV показатель адиабаты.

21) Уравнение Пуассона, связывающее параметры идеального газа при адиабатическом процессе:

или Сonst

22)  Коэффициент полезного действия тепловой машины:

где Q1 - тепло, переданное рабочему телу; Q2 - тепло, отданное теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

Где Т1 -температура теплоотдатчика; Т2 — температура теплоприемника.

23) Разность энтропии двух состояний В и А:

24) Коэффициент поверхностного натяжении:

α=F/l или α=ΔE/ΔS.

где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур l. ограничивающий поверхность жидкости; ΔE — изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади ΔS поверхности этой пленки.

25) Формула Лапласа, выражающая давление, создаваемое сферической поверхностью жидкости:

где R – радиус сферической поверхности.

26) Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:

где θ-краевой угол (θ = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; θ = л при полном несмачивании) , R-радиус трубки; р — плотность жидкости; g—ускорение силы тяжести (g= 9,81 м/с2).

Высота подьема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями:

где d—расстояние между плоскостями.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1.

Определить количество вещества v и число N молекул углекислого газа массой m=200 г.

Решение.

Число N молекул, содержащихся в газе массой m, равно произведению постоянной Авогадро на количество вещества v:

N=vNa

Количество вещества v = m/μ, где μ молярная масса.

Определяем молярную массу CO2:

μ =12+16*2=44*10-3кг/моль;

N=4,5*6,02*1023=27,09 • 1023 молекул.

Пример 2.

Найти массу сернистого газа (SO2), занимающего объем 25 л при температуре 270С и давлении 101 кПа.

Решение.

Из уравнения Клапейрона — Менделеева масса газа находится:

Молярную массу сернистого газа определяем по данным таблицы Менделеева:

μ =32+16*2=64*10-3 кг/моль.

Вычисляем массу:

Пример 3.

В баллоне содержится m1=40 г кислорода и m2 = 240 г аргона. Давление смеси 2 МПа, температура 100 К. Определить объем баллона.

Решение.

По закону Дальтона давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих и смесь.

Парциальные давления кислорода Р1, и аргона P2 находятся из уравнения Клапейрона—Менделеева:

,

Давление смеси газов:

Отсюда объем баллона:

Молярные массы определяем по данным таблицы Менделеева:

μ=32*10-3кг/моль

μ=40*10-3 кг/моль

Вычислим объем:

Пример 4.

В баллоне объемом4 V=10 л находится гелий под давлением P1=1 МПа и при температуре T1 = 300 К. После того, как из баллона выпущено m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление P2 гелия, оставшегося в баллоне.

Решение.

Применим уравнение Клапейрона — Менделеева к конечному состоянию газа:

где т2 - масса гелии в баллоне в конечном состоянии; μ — молярная масса гелии; R — молярная газовая постоянная. Из этого уравнения выразим искомое давление:

Масса гелия m2 определится:

m2=m1-m,

где m1 масса гелия в начальном состоянии; m— масса гелия, взятого из баллона.

Масса гелия т1, находится из уравнения Клапейрона--Менделеева, записанного для начального состояния:

Окончательно искомое давление выразится:

Проверим размерность искомой величины. Для этого подставим в правую часть единицы измерения величин. Первое слагаемое дает единицу давления. Для второго слагаемого:

С учетом значения μ=4*10-3 кг/моль вычислим давление P2^

Пример 5.

Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы углекислого газа при температуре 400 К и кинетическую энергию вращательного движения всех молекул углекислого газа, находящихся в 20 г.

Решение.

На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <ε> = 1/2 КТ, где К—постоянная Больцмана; Т — температура газа. Так как для трехатомной молекулы углекислого газа три степени свободы приходятся на поступательное движение и три степени свободы на вращательное движение, поэтому средняя энергия вращательного движения одной молекулы:

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа:

Число молекул газа n=vNa, где Nа – постоянная Авогадро; υ - количество вещества.

С учетом того, что получаем N=Na(m/μ). Полная кинетическая энергия вращения всех молекул, таки образом определяет:

Учитывая, что для углекислого газа μ=44*10-3кг/моль, произведем вычисления:

<εвращ>=3/2KT=3/2*1,38*10-23*400 Дж=8,28*10-21Дж

Пример 6.

Чему равны удельные теплоемкости сv и cp некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/м3?

Решение.

Удельные теплоемкости выражаются

Из уравнения Клапейрона —.Менделеева выражаем μ:

PV=m/ μ RT и μ=mRT/PV=ρRT/p

так как плотность газа ρ= m/v.

Подставляя молярную массу в формулы для теплоемкости, имеем:

Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомного газа число степеней слободы i = 5, а при нормальных условиях давление P= 1,01 • !05 Па и T = 273 К.

Пример 7.

В цилиндре под поршнем находится водород массой т= 0,02 кг при температуре T = 300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив объем в 5 раз, а затем изотермически сжался, уменьшив объем в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом в этих процессах.

Решение.

В адиабатном процессе температура и объем газа связаны соотношением:

TVγ-1= const, то есть Т2/Т1=( V1/V2) γ-1

где γ- отношение теплоемкостей газов (γ=Cp/Cv).

Конечная температура T2,, отсюда определится:

T2=T1*( V1/V2) γ-1.

Работа при адиабатном расширении определится:

где Сv- молярная теплоемкость газа при постоянном объеме:

Работа при изотермическом процессе определится:

Проведем вычисления, учитывая, что для водорода, как двухатомного газа, i=5,

γ= 1,4, μ=2*10-3кг/моль;

Здесь знак «минус» означает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.

Пример 8.

Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т1 = 600 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 теплоприемника, если за счет каждого килоджоуля теплоты, получаемой от тепло-отдатчика, совершается работа А = 250 Дж.

Решение.

Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля тепла, полученного от теплоотдатчика, затрачивается на совершение механической работы, и определяется:

где Q1 — количество тепла, получаемое от теплоотдатчика; А — механическая работа, совершаемая рабочим телом тепловой машины.

С другой стороны, КПД цикла Карно определяется температурами теплоотдатчика и теплоприемника:

Отсюда температура теплоприемника:

Произведем вычисления:

η = 250/ 1000 = 0,25;

T2 = 600 (1—0,25)K = 450 К.

Пример 9.

Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d=10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение.

Пленка мыльного пузыря имеет внешнюю и внутреннюю сферические поверхности и обе оказывают давление на воздух, включенный внутри пузыря. Диаметры обеих поверхностей можно считать одинаковыми, так как толщина пленки мала. Добавочное давление поэтому определится:

P=2(2α/r),

Где α – коэффициент поверхностного натяжения; r – радиус пузыря; r=d/2.

Окончательно: P=8 α/d

Работа, затрачиваемая на увеличение поверхности пленки на величину ΔS запишется:

А= α ΔS= α(S-S0),

Где S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; S0 – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, имевшейся до выдувания пузыря, которой в задаче можно пренебреч. Поэтому:

А= α S= απd2.

Произведем вычисления:

Пример 10.

Найти изменение энтропии при превращении 10 г льда при -200С в пар при 1000С.

Решение.

Изменение энтропии определяется формулой

где. S1, и S2 — значения энтропии в первом и во втором состоянии соответственно.

В данном случае общее изменение энтропии складывается из изменении ее в отдельных процессах.

1) Нагревание массы т льда от температуры Т1 до температуры Т2. При этом,

dQ=mc1dT

где c1 — удельная теплоемкость льда.

Таким образом:

2) Плавление массы m льда при температуре Т2. Здесь

m

где λ — удельная теплота плавления. Определяем

ΔS=λm/T2.

3)Нагревание массы m поды от T2 до T3:

где с2 — удельная теплоемкость воды.

4)Испарение массы m поды при температуре Е3:

ΔS4=rm/T3,

Где r – удельная теплота парообразования.

Общее изменение энтропии:

Произведем вычисления, имея в виду, что с1 = 2,1*IО3 Дж/кг. К, Т1 = 253 К. Т2= 273К, Т3 = 373 К, λ = 3,35*I05 Дж/кг, с2= 4,19*103 Дж/(кгК), r = 2,26*106 Дж/кг.

ΔS = 88 Дж/К.

Пример 11.

Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от объема в 10 л при температуре 80°С к объему в 40 л при температуре 300 °С.

Решение.

Имеем изменение энтропии

Но

Учитывая уравнение Клапейрона — Менделеева

имеем:

или

После вычислений получаем

S2— S1=5,4 Дж/К.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

201.  Определить количество молей v и число N молекул азота массой m = 0,1 кг.

202.  Определить молярную массу М и массу m одной молекулы озона O3, углекислого газа СО2 и метана СН4.

203.  За время t = 10 суток из стакана полностью испарилось m= 100 г. воды. Сколько в среднем молекул вылетело с поверхности воды за 1 с?

204.  Каков должен быть наименьший объем баллона, вмещающего 6,4 кг кислорода, если его стенки при температуре 20 0С выдерживают давление 15,7 МПа.

205.  Идеальный газ при давлении 1,33 кПа и температуре 15°С занимает объем 2 л. Каким будет его давление, если температура газа увеличится в 2 раза, а объем уменьшится на 0,25 первоначального.

206.  В дизеле в начале такта сжатия температура воздуха 400С, а давление 78,4 кПа. Во время сжатия объем уменьшается в 15 раз, а давление возрастает до 3,5 МПа. Определить температуру воздуха в конце такта сжатия.

207.  Альпинист при каждом вдохе поглощает 5 г воздуха, находящегося при нормальных условиях. Найти объем воздуха который должен вдыхать альпинист в горах, где давление ниже атмосферного, а при температуре - 13 °С составляет 79,8 кПа?

208. Определить температуру газа, находящегося в закрытом сосуде, если давление газа увеличивается на 0,4% первоначального давления при нагревании газа на 1 °С.

209. Из баллона со сжатым кислородом, находящимся при постоянной температуре, израсходовано столько кислорода, что его давление упало от p1 = 9,8 МПа до р2 = 7,84 МПа. Какая часть первоначальной массы кислорода израсходована?

210. Баллон, содержащий 1 кг азота, при испытании взорвался при температуре. 350 0С. Какое количество водорода можно хранить в этом баллоне при 20°С, имея пятикратный запас прочности. Считать прочность баллона не зависящей от температуры.

211.  В баллоне при 27°С и давлении 4,05 МПа находится ацетилен. Каким станет давление в баллоне после расхода половины массы газа, если температура при этом понизится до 12°С.

212.  7 г некоторого газа, заключенного в баллон при температуре 27°С, создает давление 49 кПа. В том же объеме 4 г водорода при температуре 60°С создают давление 0,435 МПа. Определить молярную массу неизвестного газа и назвать его.

213.  До какой температуры при нормальном давлении нужно нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности aзотa при нормальных условиях?

214.  12 г газа занимают объем 4 л при температуре 7°С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной 0,6*103 кг/м3. До какой температуры нагрели газ?

215.  Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7°С и давлении 93 кПа.

216.  Сосуд емкостью 2V= 200 см3 разделен пополам полупроницаемой перегородкой. В одну половину введено т1= 2 мг водорода и т2= 4 мг гелия. Через перегородку может диффузировать только гелий. Во время процесса поддерживается постоянная температура. Т = 27°К. Какие давления р1 и р2 установятся в обеих частях сосуда?

217.  Два баллона вместимостью 3 л и 7 л наполнены соответственно кислородом под давлением 200 кПа и азотом под давлением 300 кПа при одинаковой температуре. В баллонах после соединения образуется смесь газов с той же температурой. Определить давление смеси.

218. Смесь водорода и азота общей массой m = 300 г при температуре T=580°К и давлении р = 2,5 МПа занимает объем V=25 л. Определить массу m1 водорода и массу т2 азота.

219.  Современная техника позволяет создать вакуум до 0,1 нПа. Сколько молекул газа остается при таком вакууме в 1 см3 при температуре 300 К?