3 Лекция
Математические основы дискретных систем
Поскольку значения решетчатой функции известны только для дискретных значений аргумента, то для изучения поведения таких функций методы дифференциального и интегрального исчисления оказываются непригодными. Для оценки свойств решетчатой функции используется аппарат конечных разностей и конечных сумм, позволяющий оценивать свойства числовых последовательностей (функций дискретного аргумента). Для исследования динамики дискретных импульсных СУ используются разностные уравнения. Их решение, так же как и дифференциальных, представляет известные трудности. В связи с этим, в теории дискретных (импульсных) САУ широко используются операционные методы.
3.1 Z – преобразование. Модифицированное Z – преобразование. Обратное Z – преобразование.
Метод Z – преобразования нашел широкое применение при исследовании импульсных и цифровых систем управления. Если поведение системы достаточно полно описывается только в дискретные моменты времени, то наиболее удобным математическим аппаратом для анализа и синтеза является аналог преобразования Лапласа – дискретное преобразование Лапласа или т. н. Z – преобразование.
Z – преобразованием решетчатой функции 
называется функция комплексного аргумента Z, определяемая выражением
, (1)
Это выражение может быть получено следующим образом. Если предыстория системы относительно 
учитывается соответствующими граничными условиями, то допустимо полагать, что непрерывная функция времени 
при t<0. В этом случае, как известно, функция 
может быть заменена изображением по Лапласу (одностороннее преобразование)
(2)
Взяв конечный интервал времени равным периоду дискретности (
) и представив текущее время в виде последовательности 
можно в выражении (2) интеграл заменить суммой, а величину dt периодом квантования :
. (3)
Выражение (3) представляет собой дискретное преобразование Лапласа. Предел этого выражения при 
даст преобразование Лапласа непрерывной величины (2).
Если обозначить 
, то
(4)
(Обозначив 
)
Комплексное
переменное
При этом Z-преобразование, как следует из формулы (1), отличается от дискретного преобразования Лапласа только множителем Т, т. е.
.
Итак, преобразование Лапласа для дискретной функции привело к бесконечной сумме. Бесконечная сумма является функцией комплексного переменного .
Операция суммирования носит название прямого дискретного преобразования Лапласа (или Z-преобразования) для решетчатой функции в функцию комплексного переменного Z. Эта операция кратко обозначается как 
И указывает, что 
есть Z – изображение решетчатой функции или, короче, 
. Соответственно является оригиналом . Изображение существует, если (1) сходится.
На основе выражения (1) получены таблицы Z-преобразований различных функций времени. В таблице 3.1 приведены выражения Z-преобразований для некоторых функций времени.
Очевидно, что все функции времени, имеющие одинаковые значения в точках t=nT оси времени, обладают одинаковыми Z-преобразованиями . Это означает, что связь между функцией времени 
и соответствующим ей Z-преобразованием не является взаимно однозначной. Функция характеризует только последовательность чисел , но не позволяет судить о поведении оригинала внутри интервалов.
Таблица 3.1
|
| Изображение по Лапласу | Z-изображение
|
|
|
|
|
|
| 1 | 1 |
t | nT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модифицированное Z-преобразование.
Если значение Z-изображений необходимо знать не только в дискретные моменты времени t=nT, но и в любые другие моменты времени, смещенные на s по отношению к моментам квантования, то можно использовать модифицированное Z-преобразование:
(5)
где s - действительный независимый параметр, принимающий произвольное значение от нуля до единицы. Модифицированное Z-изображение решетчатой функции либо определяется из формулы (5), либо следует использовать таблицы для модифицированного Z-преобразования.
Обратное Z-преобразование позволяет определить решетчатую функцию-оригинал или 
по ее Z-преобразованию и сокращенно записывается в виде
или 
При заданной существует три способа нахождения решетчатой функции: в виде бесконечного ряда, разложением на элементарные дроби и при помощи интеграла обратного преобразования.
Первый метод позволяет непосредственно получить числовую последовательность . Если представляет собой рациональную функцию, т. е. отношение двух многочленов, то разделив многочлен числителя на многочлен знаменателя, получим бесконечный ряд Лорана. Числовые значения коэффициентов членов ряда определяют дискреты решетчатой функции 
. Указанный способ позволяет определять сколь угодно большое число значений n. При выполнении операции деления многочлены числителя и знаменателя следует записывать по возрастающим степеням (
).
Пример 1.
Дано:
Определить:
Решение:
Путем непосредственного деления получим
Отсюда
; 
Второй метод основан на разложении функции 
на элементарные дроби и использовании таблицы преобразования. Непосредственно функция 
на элементарные дроби не раскладывается, так как фигурирующие в таблице функции от z имеют в числителе множитель z.
Пример 2.
Дано:
Определить:
.
Решение:
Разложим на элементарные дроби:
Из таблицы соответствия получим:
Третий метод нахождения решетчатой функции основан на интеграле обратного преобразования:
или
В этом случае интегрирование ведется по окружности 
, где с – абсцисса абсолютной сходимости. Окружность, по которой ведется интегрирование, охватывает все особые точки подынтегрального выражения. Формулы обратного преобразования мало применяются.
Использование аппарата Z-преобразования позволило развить теорию линейных дискретных САУ, до некоторой степени аналогичную теории линейных систем непрерывного действия.
3.2 W – преобразование. Определение и свойства.
Для анализа и синтеза непрерывных САУ широко применяется частотный метод, основанный на построении логарифмических частотных характеристик. Простота и наглядность логарифмического частотного метода исследования непрерывных САУ вызывает естественное стремление использовать метод ЛЧХ для анализа и синтеза дискретных систем. Последнее возможно на основе w-преобразования.
Комплексная переменная w связана с комплексной переменной 
соотношением
(6)
Соотношение заданное в форме (6), получило название w-преобразование. Рассмотрим это преобразование подробнее, для чего запишем его в форме
(7)
изменяя переменную р вдоль мнимой оси плоскости Р т. е. полагая 
, найдем
Правая часть этого равенства – величина мнимая, поэтому и левая часть будет мнимой величиной. Вводя обозначение 
, получим
или 
(8)
Переменную 
называют псевдочастотой, так как это безразмерная величина. Реальная частота 
связана с псевдочастотой соотношением
(9)
Для исследования импульсных и цифровых систем в ряде случаев более удобна размерная псевдочастота l, которая связана с псевдочастотой зависимостью
(10)
Тогда
(11)
Переменную l называют абсолютной псевдочастотой. Из выражения (10) следует, что при 
<<2 абсолютную псевдочастоту l в расчетах и при построении ЛЧХ можно заменять действительной частотой .
Соотношение (6) может быть представлено с учетом (11):
(12)
Поясним смысл преобразования (6). Использование подстановки при замене р на 
позволяет отобразить левую полуплоскость плоскости Р внутрь круга единичного радиуса плоскости Z. Функция 
является периодической функцией с периодом 
, поэтому для обхода всей окружности единичного радиуса достаточно изменять частоту в интервале 
или в интервале 
. При этом отрезок мнимой оси от 
до 
преобразуется в окружность единичного радиуса (рис.1, а, б). С помощью соотношения (6) возможно отображение всех точек Z-плоскости, расположенных внутри круга единичного радиуса, в соответствующие точки левой полуплоскости W. Подобные отображения получили название конформных отображений (рис.1, б, в).
При изменении частоты в интервале 
абсолютная псевдочастота принимает все значения, принадлежащие интервалу 
. На рис.2 представлен график значений псевдочастоты. Операция W-преобразования в виде
конформно отображает левую полуполосу - 
, Re q<0 плоскости q (иначе р) на левую полуплоскость плоскости W, причем мнимая положительная полуось плоскости W является образом отрезка мнимой положительной полуоси плоскости q длиной . Начало этого отрезка находится в начале координат.
Понятие псевдочастоты позволяет строить так называемые логарифмические псевдочастотные характеристики дискретных САУ.
|
|
|
Im
=+- p/T 1 u 0
0
Re =0 Re Re
-
а) б) в)
Рис.1
-3 -2 - 0 2 3
-
Рис.2
