Математика в одной задаче

Дзержинский район

МБОУ СОШ № 000

Математика в одной задаче.

Автор:

ученица 9 «А» класса

МБОУ СОШ № 000

Черепанова Анастасия

Руководитель:

учитель математики

МБОУ СОШ № 000

высшей категории

Иванова

Лидия Себастьяновна

Новосибирск – 2011

Оглавление

Введение ………………………………………………………………..3

1.  Способы решения задач …………………………………… 4-10

2.  Решение задачи разными способами ………………………….11-12

3.  Исследования среди одноклассников …………………………….. 13

Заключение ……………………………………………………………...14

Список литературы ……………………………………………………..15

Приложение …………………………………………………………… 16

Введение.

«Математика является символом мудрости науки, образцом научной строгости и простоты, царицей всех наук». Математика – самая важная наука в мире. Людям, увлекающимся математикой идти по жизни легко и интересно. Эти люди рассуждают логично и редко делают ошибки, так как принимают решения только после, того, как рассмотрят все варианты. Люди, умеющие решать нестандартные задачи, очень часто становятся предпринимателями или занимают руководящие должности.

Решение задач по математике определяется выбором способа ее решения. Как правило, на уроках рассматривается лишь один способ решения задачи. Причем, часто способ решения задачи громоздкий, нерациональный. Намного полезнее для математического развития учеников решить одну задачу несколькими способами, нежели несколько однотипных задач одним и тем же способом. Затем ученик будет иметь возможность выбрать наиболее рациональный и красивый, на его взгляд, способ решения задач.

Учитывая актуальность данной темы, мной проведена данная исследовательская работа.

Цель исследования – решить задачу разными способами, применяя знания, полученные при изучении математики. Выбрать самый рациональный способ решения задачи.

Предмет исследования – рассмотреть различные способы решения задач.

Гипотеза исследования – знание типов задач, и умение переводить условие задачи на умение ее решать.

Задачи исследования – изучить теоретический материал по данной теме, рассмотреть различные способы решения задач на примере одной, проанализировать результаты исследований по вопросу какой способ решения задачи является самым рациональным среди учащихся моего класса.

1.Способы решения задач.

Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными способами.

Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче. Возможность решения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах действий или вытекающих из них правил.

При решении задач различными способами ученик привлекает дополнительную информацию, поскольку он непроизвольно выполняет в большем числе выборы суждений, хода мысли из нескольких возможных; рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения. При этом полнее используется активность учащихся, прочнее и сознательнее запоминается материал. Как правило, различными способами решается те из задач, где этого требует вопрос, поэтому такая работа носит эпизодический характер.

В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.

Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга одним или несколькими действиями или количеством действий, также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий.

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях этой задачи.

Но надо отметить, что в начальных классах алгебраический способ не применяется для решения задач.

Опираясь только на чертёж, легко можно дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим.

До настоящего времени вопрос о графическом способе решения арифметических задач не нашёл должного применения в

школьной практике. Графический способ даёт возможность более тесно установить связь междуарифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей.

Следует отметить, что благодаря применению графического способа в начальной школе можно сократить сроки, в течение которых ученик научится решать различные задачи. В то же время умение графически решать задачу – это важное политехническое умение.

Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую дети ещё не могут решить арифметическим способом и которую можно предлагать во внеклассной работе.

 В начальных классах используются различные формы записи решения задач по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением.

Решение задач различными способами – дело непростое, требующее глубоких математических знаний, умения отыскивать наиболее рациональные решения.

Понятие “решение задачи” можно рассматривать с различных точек зрения: решение как результат, т. е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата. С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который в свою очередь, тоже можно рассматривать с различных точек зрения во-первых, как способ нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, который входят в тот или иной способ.

Рассмотрим способы решения задач на примерах.

Задача

Десять апельсин разложили по 2 на несколько тарелок. Сколько понадобилось тарелок?

Учащиеся могут решить эту задачу, не имея никакого представления о делении и о записи этого действия, а только опираясь на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 10. Для этого они отсчитывают 10 апельсин, положат 2 на одну тарелку, затем 2 на другую и т. д. пока не разложат все. Посчитав количество тарелок, они ответят на поставленный вопрос. Такой способ и называется практическим или предметным. Его возможности ограничены, так как учащийся может выполнить предметные действия только с небольшим количеством предметов. Усвоив смысл действия деления и его запись, можно решить эту задачу уже

не практическим, а арифметическим способом, записав равенство

10 : 2 = 5.

Для решения можно применить алгебраический способ, рассуждая при этом так: “Число тарелок неизвестно, обозначим их буквой Х. На каждой тарелке 2 апельсина, значит число всех апельсин - это 2х. Так как в условии известно, что число всех апельсин 10, то можно записать уравнение 2х = 10 и решить его х = 10 : 2, х = 5”.

Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие, называются простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действий, то такие задачи называются составными. Составную задачу, так же как и простую можно решить, используя различные способы.

Например.

В магазин привезли 12 кг фруктов. Из них 3кг яблок, 5кг груш, остальные мандарины. Сколько кг мандаринов привезли в магазин?

Практический способ.

Обозначим каждый кг фрукта кругом. Нарисуем 12 кругов и обозначим фрукты буквами: я - яблоки, г - груши.

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество кг мандаринов соответствует тем кругам, которые не обозначены (их 4).

Арифметический способ.

Этот способ также называют «способом решения задач по вопросам».

Например:

Задача: катер проплыл по озеру за 2 часа 52 километров, а против течения реки за 2 часа он проплыл 46 километров. Какова скорость течения реки?

Возникает вопрос. Сколько катер проплывет за час по озеру?

Выполняется действие:

1) 52:2=26 (км/ч) скорость катера по озеру.

Возникает вопрос. Сколько катер проплывет против течения реки? Выполняется действие:

2) 46:2=23 (км/ч) скорость катера против течения реки.

Раз, у нас есть скорость катера по озеру (то есть скорость катера в стоячей воде) и скорость катера против течения реки, значит, мы можем найти скорость течения реки. Выполняется действие:

3)26-23=3 (км/ч) скорость течения реки. Пишется ответ:

Ответ: 3 (км/ч).

Алгебраический способ.

Это способ решения задач уравнением.

Например:

Задача(с одной переменной): папа старше Вани в 6 раз, а дедушка старше Вани в 10 раз. Вместе им 102 года. Найдите возраст каждого?

Нужно составить уравнение. Чтобы это сделать, надо написать

условие составление уравнения.

Пишем:

Пусть х возраст Вани, тогда 6х возраст папы и 10х возраст дедушки. Зная, что им вместе 102 года составим и решим уравнение.

Составляем и решаем уравнение:

х+6х+10х=102

17х=102

х=102:17

х=6

Мы нашли возраст Вани. Но этого нам мало, нужно найти возраст дедушки и папы. Найдя это, мы сможем решить задачу.

Зная, что возраст папы в 6 раз больше возраста Вани,

Выполняем действие:

1) 6*6=36 (лет) возраст папы

Зная, что возраст дедушки в 10 раз больше возраста Вани, Выполняем действие:

2) 6*10=60 (лет) возраст дедушки.
Пишем ответ:

Ответ: 6 лет Вани, 36 папе и 60 лет дедушке.

Задача(с несколькими переменными):

В трех районах города проживает 12000 человек. Сколько человек живет в каждом районе, если известно, что 2/3 числа жителей первого района равны 1/2 числа жителей второго района и 2/5 числа жителей третьего района?

Обозначим число жителей первого района х, второго района – у, а третьего района – z. Тогда по условию:

2/3х=1/2у=2/5z ó20х=15у=12z.

Из этих равенств следует, что у=20х/15=4/3х, а z=20х/12=5/3х.

Значит: х+у+z=12000 ó х+4/3х+5/3х = 12000ó 12х=36000ó х=3000.

Итак, в первом районе проживает 3000 человек. Чтобы найти число жителей остальных двух районов, надо 3000 умножить соответственно на 4/3 и 5/3:

3000*4/3=4000(чел.) – во втором районе.

3000*5/3=5000(чел.) – в третьем районе.

Ответ: 3000,4000,5000 человек.

Графический способ.

Рисуется чертеж.

Например:

Задача: на гору ведут 5 дорог. Сколькими способами можно выбрать маршрут для того, чтобы подняться в гору и затем спуститься с нее? (обратите внимание: подниматься и опускаться можно по одной и той же дороге.)

Делаем чертеж:

Поскольку мы знаем, что на гору и с горы ведут 5 дорог.

На гору с горы

Считаем, сколько получилось путей. Получилось 25. Пишем ответ. Ответ: 25 маршрутов.

 Существует много способов решения задач. Одни из них знакомы и нам. Это арифметический, алгебраический и графический способы. Но есть и еще один - табличный.

Табличный способ.

Такой способ очень похож на таблицу умножения.

Например:

 Задача. У Пети 15 конфет, а у Димы 12. Сколько у них вместе конфет?

Составляем план таблицы:

План таблицы.

Сверху будет количество конфет у Пети, а слева конфет у Димы.

Чертим таблицу:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

Сверху находим 15. Слева находим 12. Ведем, пока не пересекутся. Пересеклись в точке 27.

Значит и ответ будет 27. Пишем ответ: Ответ: 27 конфет.

Комбинаторный способ, то есть чертежом.

Например:

На почте продаются 5 видов поздравительных открыток. Катя хочет купить две различные поздравительные открытки. Сколькими способами она может выбрать две открытки из пяти?

1 и 2 2 и 3 3 и 4 4 и 5

1 и 3 2 и 4 3 и 5

1 и 4 2 и 5

1 и 5

Ответ: 10 способами.

Способ подбора или рассуждения.

Например:

В стаде верблюдов есть одногорбые и двугорбые. На вопрос сколько в стаде одногорбых и сколько двугорбых верблюдов хозяин ответил, что всего в стаде 72 головы и 104 горба. Сколько в стаде одногорбых и двугорбых верблюдов?

Рассуждаем так:

Каждый верблюд имеет по одному горбу, значит 72 горба. Из 104 вычитаем 72, получаем 32 горба, т. е. 32 верблюда двугорбые, тогда из 72 вычесть 32 получим 40 одногорбых верблюдов.

Ответ: 40 одногорбых и 32 двугорбых

70 туристов разместились в 33 байдарках, среди которых были двухместные и трехместные. Сколько было одноместных байдарок и сколько трехместных?

Рассуждаем так:

Если посадим по 2 туриста в 33 байдарки, получим 66 туристов. Вычтем изтуристов, остается 4 туриста, и эти 4 туриста рассаживаем в трехместные байдарки. Значит, было 4 трехместных байдарок и 33 – 4 = 29 байдарок двухместных.

Ответ: 29 байдарок, 4 байдарки.

2.Решение задачи разными способами.

Теперь рассмотрим решение одной задачи разными способами.

Задача

На заводе ПО «Север» слесарь шестого разряда изготавливает в час на 20 деталей больше, чем слесарь третьего разряда. Сколько деталей изготовит каждый слесарь за один час, если известно, что за 3 часа они изготовят 280 деталей, при этом слесарь третьего разряда имел получасовой перерыв?

Арифметический способ

1) 20*3=60(д.) - настолько больше деталей изготовит слесарь 6

разряда

2) 280-60=220(д.) – осталось изготовить слесарям с одной и той же

производительностью труда

30 минут=0,5часа

3) 3-0,5=2,5(ч) – работал слесарь 3 разряда

4) 3+2,5=5,5(ч) – работали слесари вместе

5) 220:5,5=40(д.) – изготовит слесарь 3 разряда

6) 40+20=60(д.) – изготовит слесарь 6 разряда

Ответ: 40,60 деталей.

Алгебраический способ (с одной переменной)

а) Пусть х деталей в час изготовит слесарь 3 разряда.

(х+20) деталей в час изготовит слесарь 6 разряда.

30 минут = 0,5 ч

3-0,5=2,5ч работал слесарь 3 разряда.

2,5х + 3(х+20) =280

2,5х+3х+60=280

5,5х+60=280

5,5х=220

х=220:5,5

х=40

40+20=60(д)- слесарь 6 разряда

Ответ: 40,60 деталей.

б) Пусть х деталей в час изготовит слесарь 6 разряда.

(х-20) деталей в час изготовит слесарь 3 разряда.

30 минут = 0,5 ч

3-0,5=2,5ч работал слесарь 3 разряда.

3х + 2,5(х-20) =280

3х+2,5х-50=280

5,5х-60=280

5,5х=330

х=330:5,5

х=60

60-20=40(д)- слесарь 3 разряда

Ответ: 40,60 деталей

Алгебраический способ (с двумя переменными)

а) Пусть х деталей в час изготовит слесарь 3 разряда,

у деталей в час изготовит слесарь 6 разряда.

3-0,5=2,5ч работал слесарь 3 разряда.

Получим математическую модель

у-х=20,

2,5х+3у=280.

Решим способом подстановки.

Выразим у=20+х, подставим во второе уравнение

2,5х+3(20+х)=280

2,5х+3х+60=280

5,5х+60=280

5,5х=220

х=220:5,5

х=40

40+20=60(д)- слесарь 6 разряда

Ответ: 40,60 деталей.

б) Пусть х деталей в час изготовит слесарь 3 разряда,

у деталей в час изготовит слесарь 6 разряда.

у=20+х,

2,5х+3у=280.

Ответ: 40,60 деталей.

в) Пусть х деталей в час изготовит слесарь 6 разряда,

у деталей в час изготовит слесарь 3 разряда.

х=у-20,

2,5х+3у=280.

Ответ: 40,60 деталей.

г) Пусть х деталей в час изготовит слесарь 6 разряда,

у деталей в час изготовит слесарь 3 разряда.

х-у=20,

3х+2,5у=280.

Ответ: 40,60 деталей.

Решение задачи составлением выражения

(*3):(3-0,5))+20=60 деталей изготовит слесарь 6 разряда

60-20=40 деталей изготовит слесарь 3 разряда

Ответ: 40,60 деталей.

3.Исследования среди одноклассников.

Я провела исследования в своем классе. Попросила ребят решить рассматриваемую мной задачу наиболее удобным рациональным для них способом. В исследовании участвовало 25 человек. Результаты исследования можно рассмотреть на диаграмме ( Рис.1). По рисунку видно, что 10 человек (или 40% учащихся) решили задачу по действиям т. е. арифметическим способом, 10 человек (или 40% учащихся) решили задачу уравнением с одной переменной т. е. алгебраическим способом, 3 человека (или 12% учащихся) решили задачу уравнением с двумя переменными, 2 человека (или 8% учащихся) решили задачу составлением выражения).

Несмотря на то, что последний способ на первый взгляд кажется наиболее рациональным, каждый ребенок выбирает для себя наиболее удобный именно для него способ решения задач.

Заключение.

Я рассмотрела различные способы решения задач, проанализировала результаты исследований среди одноклассников и пришла к выводу, что нельзя однозначно сказать какой способ решения задач является самым рациональным для учащихся. Каждый ученик выбирает сам наиболее понятный ему способ решения задач. Более того, отыскивая различные способы решения математической задачи, ученик развивает свои творческие возможности, формирует познавательный интерес, вырабатывает исследовательские навыки, применяя глубокие математические знания.

Решение задач различными способами способствуют повышению математической культуры учеников!

Список литературы.

1. Россия. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. — Лениздат, 1991.

2. , Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4—8 кл. сред. шк. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 1988.

3. , Л.Г. Петерсон «Математика» 5 класс. М.: Ювента, 2010 г.

4. Сайт www. *****

5. «История математики в школе».М.:Просвещение 1964г.

Приложение.

Рис. 1. Результаты исследований.