Пространственное квантование. Опыт Штерна - Герлаха. Гипотеза Гаудсмита - Уленбека. Спин электрона (стр. 2 )

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

Принцип неразличимости тождественных частиц. Симметрия волновой функции и ее связь со спином и статистикой тождественных частиц. Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна и их сравнение с классической статистикой Максвелла-Больцмана. Вырождение в квантовой статистике.

Статистическая физика изучает свойства систем, состоящих из большего числа частиц (электронов, фотонов, атомов, молекул и т. д.). Ранее мы исхо­дили из предположения о классическом характере законов движения частиц сис­темы и изучили два статистических распределения таких частиц: по скоростям (импульсам, кинетическим энергиям) и по координатам (потенциальным энергиям) - распределения Максвелла и Больцмана. Эти два распределения могли быть вы­ражены в виде единого распределения Максвелла-Больцмана по полной энергии классических частиц системы. Теперь мы учтем влияние квантовых закономернос­тей движения и поведения частиц на особенности их статистического поведения.

Важнейшими для статистической физики являются следующие два положения квантовой механики: 1) существование дискретных состояний системы; 2) принцип неразличимости тождественных частиц.

В классической механике даже одинаковые частицы (например, электроны) можно было различить, хотя бы по пространственно-временной определенности, ибо можно было проследить за их движением, носящим индивидуально-траекторный характер. Поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принци­пиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

В квантовой механике состояние движения задается с помощью волновой фу­нкции, и в случае пространственного перекрытия волновых функций для несколь­ких тождественных частиц, различить их становится невозможным. Такие ситу­ации возникают, например, при соударениях частиц. Из этого следует, что два состояния, отличающиеся перестановкой двух тождественных частиц систе­мы, фактически являются одним и тем же состоянием. На языке волновых функ­ций это означает, что плотность вероятности двух состояний с переставленны­ми местами тождественными частицами, должна быть одинаковой: , где х1 и х2 - соответственно совокупности про­странственных и спиновых координат первой и второй частицы.

Из записанного равенства вытекают две возможности для волновой функции:

, из которых следует возможность существования двух разных ти­пов симметрии волновой функции системы тождественных частиц. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется си­мметричной, если же меняет – антисимметричной. Эти свойства симметрии вол­новой функции системы тождественных частиц не меняются со временем и, как показал Паули (1940 г), они тесно связаны со значением спина частиц системы. Волновая функция системы тождественных частиц с «целым спином» (спиновым квантовым числом s) является симметричной. Такими частицами являются фотоны (s = 1), p-мезоны, a - частица (s = 0), а также ядра и атомы с четным числом нуклонов и электронов, соот­ветственно.

Волновая функция системы частиц с «полуцелым спином» оказывается антисим­метричной. К таким частицам относятся электроны, протоны, нейтроны (s = 1/2), а также ядра и атомы, состоящие из нечетного числа нуклонов (протонов и нейтронов) и электронов, соответственно.

Основная задача статистической физики в квантовой статистике состоит в нахождении функций распределения частиц системы по тем или иным параметрам – координате, импульсу, энергии и т. д., а также в отыскании средних значений этих параметров, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц в целом.

Для системы тождественных частиц с целым и полуцелым спином получаются различные функции статистического распределения, называемые соответствен­но, распределениями Бозе-Эйнштейна (1924 г.) и Ферми-Дирака (1926 г.). Соответственно, частицы с целым спином называются бозонами, а с полуцелым спином - фермионами. Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки коорди­нат (перестановки частиц). Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых квантовых, состоя­ниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной, Это свойство фермионов формулируется в виде принципа запрета Паули. Таким образом, числа заполнения фермионами квантовых состояний могут принимать лишь значения 0 или 1. Для бозонов же числа заполнения могут принимать про­извольные целые значения.

Для идеального Ферми-газа, то есть системы из невзаимодействующих фер­мионов, функция распределения частиц по энергиям имеет следующий вид:

, где - среднее число фермионов в состоянии с энергией Ei, m - химический потенциал системы фермионов.

При Еi = m, = 0,5, то есть химический потенциал в квантовой статис­тике численно равен значению энергии состояния, вероятность заполнения которого равна 50 %. Химический потенциал может быть определен из своего рода условия нормировки функции распределения, то есть условия равенства суммы всех средних чисел фермионов полному их числу в системе. Химический потен­циал не зависит от значения энергии, а определяется только температурой сис­темы и плотностью числа ее частиц.

Для системы из невзаимодействующих бозонов (идеального Бозе-газа) функция распределения частиц по энергиям имеет вид: - распределение Бозе-Эйнштейна.

Выражения для функций распределения фермионов и бозонов имеют очень сходный вид и их можно объединить единой формулой квантовой статистики , где + и - отвечают фермионам и бозонам, соответственно.

Так же, как законы квантовой механики являются фундаментальными законами движения частиц, включающими в себя законы классической механики, как первое приближение, так и квантово-статистические распределения должны в некотором пределе-приближении переходить в классическое распределение Максвелла-Больцмана. Изобразим на графике зависимости, выражаемые классическим и двумя квантовыми законами (функциями) распределения.

Различие между тремя рассматриваемыми распределениями исчезает, если выполняется неравенство >> 1. При этом условии оба квантовые распределения переходят в одно классическое распределение Максвелла-Больцмана <Ni> = А×.

Для всех обычных газов отличие квантовой статистики от классической при низких температурах и высоких плотностях оказывается незначительным. От­сутствие в этом случае какого-либо различия между статистиками Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака станет понятным, если учесть, что среднее число <Ni> час­тиц в отдельном квантовом состоянии по порядку величины оценивается следу­ющими соотношениями .

В невырожденном газе при высокой температуре и малой плотности газа плотность заполнения частицами состояний очень мала. В каждом отдельном со­стоянии в среднем находится гораздо меньше одной частицы, поэтому не играет роли, могут ли в одно состояние попасть две и более частицы или нет, все равно они практически никогда не попадают в него даже попарно.

Вырождение газа имеет место, если в поведении его сказываются квантовые законы. Обычно вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Температурой вырождения Tо называют температуру, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеаль­ного газа, обусловленные тождественностью частиц. Вырождение в квантовой механике заключается в том, что какая-либо физическая величина, характеризующая систему, имеет одинаковое значение для ра­зных состояний системы. Число таких различных состояний, которым отвечает одно и то же значение величины, называется кратностью вырождения данной ве­личины.

В результате взаимного квантовомеханического влияния частиц идеального газа заполнение ими уровней энергии зависит от наличия на данном уровне других частиц. Влияние тождественности частиц сказывается тем существеннее, чем меньше среднее расстояние между частицами по сравне­нию с длиной волны де Бройля частиц . Поскольку средняя скорость частиц газа связана с температурой, температура вырождения T0 тем выше, чем меньше масса частиц газа и чем больше его плотность. Поэтому темпера­тура вырождения особенно велика (То » 0 К) для электронного газа в металле (масса электронов очень мала, а их плотность, в металле велика.). Поэтому электронный газ в металлах вырожден при всех температурах, при которых ме­талл остается в твердом состоянии. Для обычных же атомных и молекулярных газов То близка к нулю, так что они во всей температурной области своего существования (до температуры сжижения) практически всегда обладают свойс­твами классического газа.

У Ферми-газа при полном вырождении (при То = 0 К) заполнены все нижние энергетические уровни вплоть до некоторого максимального, называемого уровнем Ферми. При повышении температуры лишь малая, часть фермионов, находящихся на уровнях, близких к уровню Ферми, переходит на свободные уров­ни с большей энергией, освобождая уровни ниже фермиевского.

Поглощение и излучение (спонтанное и вынужденное) света атомами. Оптические квантовые генераторы (лазеры).

Атом является квантовой системой. Движение электронов в нем пространственно ограничено, и их энергия (а с нею и энергия атома в целом) квантуется, то есть принимает дискретный ряд значений.

Под действием внешнего электромагнитного излучения (света) атом может совершить вынужденный переход "вверх" - в возбужденное состояние с повышенной, энергией. При этом происходит поглощение атомом кванта падающего на него света, частота n которого должна отвечать условию (правилу) частот Бора: , где Em и En - энергии конечного и начального состояний атома. Вероятность подобных вынужденных переходов атома "вверх" (по шкале энергии) пропорциональна интенсивности воздействующего на него излучения, то есть числу фотонов в нем.

Возбужденное состояние атома с повышенной энергией является нестабильным, и спустя довольно малое время атом избавляется от избытка ("груза") энергии, переходя в энергетически более "выгодное" (более низкое) состояние. Такой переход "вниз" обычно сопровождается излучением кванта света, фотона, и он может осуществляться двумя различными способами.

Первый способ, называемый спонтанным (самопроизвольным), реализуется случайным образом, в отсутствие внешних воздействий. Для любого возбужденного состояния атома существует некоторое статистически усредненное время жизни, по истечении которого атом самопроизвольно переходит в одно из нижележащих энергетических состояний. Частота излучаемого при таком переходе фотона должна удовлетворять правилу частот Бора. Начальная же фаза, поляризация и направление распространения у разных таких фотонов, излучаемых разными атомами, оказываются совершенно независимыми, то есть случайными. Поэтому в целом такое излучение, называемое спонтанным, является некогерентным и неполяризованным.

Второй способ квантового перехода атома "вниз", называемый стимулированным или вынужденным осуществляется под действием внешнего электромагнитного излучения определенной частоты, удовлетворяющей правилу частот Бора. Такое излучение может стимулировать, ускорять переходы атомов из возбужденных состояний. Особенностью этих переходов является то, что порождаемый в их результате вторичный фотон является по всем своим характеристикам полностью идентичным породившему его первичному фотону внешнего излучения. При определенных условиях, реализуемых, например, в оптических квантовых генераторах (ОКГ), называемых лазерами, вторичное вынужденное излучение в отличие от спонтанного, получается высоко когерентным, поляризованным и узконаправленным.

Наряду с вынужденным излучением, параллельно с ним происходит и конкурирующий процесс поглощения фотонов веществом. Поэтому для осуществления условий усиления падающего на вещество излучения необходимо, чтобы число вынужденно излучаемых фотонов (оно пропорционально заселенности атомами возбужденных состояний) превышало число поглощаемых атомами фотонов (оно пропорционально заселенности основного, нижнего состояния).

В системе атомов, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, заселенность энергетических уровней атомами осуществляется в соответствии с распределением Больцмана , где n – концентрация атомов в состоянии с энергией Е. При этом нижележащие уровни энергии оказываются более заселенными, и большая часть атомов находится в основном состоянии с наименьшей энергией, то есть nо > n. При прохождении света через такое вещество доминировать будут переходы атомов снизу вверх, с поглощением света, в результате чего интенсивность J света будет экспоненциально ослабляться в соответствии с законом поглощения Бугера: , где a - коэффициент поглощения среды, х – расстояние, проходимое светом в веществе.

Чтобы система атомов (вещественная среда) усиливала падающее на нее электромагнитное излучение, необходимо создать неравновесное состояние с инверсией (переворачиванием) заселенности уровней, в котором число n2 атомов в каком-либо возбужденном состоянии больше, чем их число n1 в более низком по энергии состоянии (им может быть и основное состояние). Процесс создания инверс­ной населенности уровней называется накачкой среды. Ее можно осуществить методами оптического, электрического и др. воздействия на атомы среды.

С позиций распределения Больцмана , неравновесному состоянию с инверсной заселенностью (n2 > n1 или n > nо) уровней, соответствует отрицательная абсолютная температура среды, которую, в этом случае, называют активной. В ней вынужденное излучение может превышать поглощение, и проходящий через такую среду, вещество свет, будет усиливаться. С позиций закона поглощения света – закона Бугера, при увеличивающейся интенсивности J света по сравнению с начальной Jо, такой среде соответствует отрицательный коэффициент поглощения a. Отрицательные температура Т и коэффициент поглощения a характеризуют неравновесное состояние вещества, которое, однако, может быть стационарным состоянием. Отрицательная абсолютная температура оказывается «более горячей» чем бесконечно большая положительная температура.

Прямые методы перевода атомов с нижнего энергетического уровня на верхний не могут обеспечить длительного и тем более стационарного существования инверсной заселенности уровней. Вследствие спонтанного излучения ("скатывания вниз"), а также и действия самой накачки, возбужденные атомы переходят на нижние уровни, восстанавливая ситуацию с преобладанием заселенности основного, энергетически низшего состояния. Поэтому использование двухуровневой системы накачки неэффективно для создания инверсной заселенности уровней, необходимой для усиления и генерации когерентного монохроматического света. Обычно в квантовых генераторах света используется трех - и более уровневая схема накачки. Одним из этих трех уровней должен быть так называемый метастабильный уровень, отличающийся повышенным временем жизни.

Эффект усиления света, основанный на индуцированных переходах атомов, можно усилить путем многократного прохождения света через один и тот же слой активной среды. Например, это может быть достигнуто путем помещения слоя активной среды (кювета с газом или кристалл) в устройство, называемое резонатором. Обычно это два плоских зеркала, установленные параллельно друг другу. Одно из зеркал делается обычно полупрозрачным для вывода излучения. Любой фотон, возникший в активной среде за счет спонтанного излучения возбужденных накачкой атомов среды, может служить "затравочным" для начала лавинообразного нарастания их числа, для генерации света. С помощью зеркал реализуется положительная обратная связь, необходимая в любом генераторе. В лазере эта связь селективно - резонансная по частоте. Расстояние L между зеркалами подбирается в расчете на длину, генерируемой лазером волны: L = nl/2 - условие стоячей волны. Эта классическая резонансность дополняет квантовую, в соответствии с которой eф = hс/l = Еm – Еn.

Один из первых генераторов когерентного света, работающих по трехуровневой схеме накачки с твердым телом в качестве активной среды, был создан в 1960 году Мейманом (США). Это был рубиновый (Al2O3 + 0,05 % Сr) лазер, активным веществом в котором являются ионы хрома Cr+3. Энергетическая схема уровней Cr+3 содержит две ближайшие к основному уровню C широкие энергетические полосы А и двойной метастабильный уровень В, переходы с которого на основной уровень С, соответствуют длинам волн 692,7 и 694,3 нм красного света (цвет рубина). Таким образом, в рубине для генерации и усиления света существенно наличие трех уровней, включая один метастабильный, то есть долгоживущий, обладающий повышенным временем жизни (с пониженной вероятностью спонтанных переходов).

При интенсивном облучении рубина зеленым светом мощной неон - криптоновой лампы наблюдается переход ионов хрома на уровни широкой полосы А, откуда наиболее вероятным является безызлучательный переход ионов на двойной уровень В с передачей избытка энергии кристаллической решетке рубина. Таким образом, можно создать условия, при которых населенность ионами двойного уровня В будет превышать заселенность основного уровня С, то есть уровни В и С будут заселены инверсно. Это и позволяет получить квантовый генератор света на линиях 692,7 и 694,3 нм.

В одном из газовых оптических квантовых генераторов света усиливающей (активной) средой служит плазма высокочастотного газового разряда, полученная в смеси гелия с неоном. Вследствие соударений с электронами в первую очередь возбуждаются (на уровень Е3) более легкие атомы гелия. Затем возбужденные атомы гелия при столкновениях с атомами неона возбуждают их, то есть переводят на один из верхних энергетических уровней, близко расположенных к соответствующему уровню гелия. Переход атомов неона с этого метастабильного уровня на один из нижних уровней E2 сопровождается излучением с длиной волны l » 0,63 мкм.

Элементы физики твердого тела.

Твердое тело. Строение. Дефекты кристаллической решетки.

Твердым телом (твердотельным состоянием вещества) называют низкотемпературное состояние вещества, характерным для которого является способность сохранять не только объем (как жидкости), но и форму, размеры. Это объясняется тем, что структурные элементы вещества (атомы, молекулы, ионы) в твердом теле очень плотно "упакованы", то есть находятся на малых расстояниях друг от друга, близких к их собственным размерам.

В зависимости от характера взаиморасположения структурных элементов в твердом теле различают кристаллы и аморфные тела. В кристаллах структурные элементы расположены упорядоченно как на малых, так и на больших расстояниях, то есть находятся в узлах правильной пространственной решетки, называемой кристаллической. В этих узлах структурные элементы в кристаллах могут лишь совершать колебания относительно устойчивых положений равновесия.

Физические свойства (механические, электрические, оптические и др.) кристаллических твердых тел зависят от направления в кристалле; эту особенность кристаллов называют анизотропией.

В аморфных твердых телах порядок во взаиморасположении структурных элементов наблюдается лишь на малых расстояниях, в так называемом приближении "ближайших соседей". На расстояниях же много больших межатомных (в приближении "дальних соседей") этот порядок не сохраняется, и поэтому аморфные тела являются изотропными. Их часто называют переохлажденными жидкостями (пример - стекло). Аморфное состояние твердого тела является метастабильным, термодинамически неустойчивым. Ему соответствует повышенное, в сравнении с кристаллом значение энергии, и потому, хотя и с большим временем, но аморфное тело постепенно переходит (релаксирует) к кристаллическому состоянию.

В реальном твердом теле состав и структура, которые и определяют физические свойства тел, могут нарушаться наличием разного рода дефектов. Ими могут быть: 1) примеси чужеродных атомов в разных конфигурациях (точечные, линейные, поверхностные, объемные) и расположениях относительно узлов кристаллической решетки (примеси внедрения в междоузлия и примеси замещения атомов в узлах решетки), 2) дефекты в расположении собственных атомов (отсутствие атома в узле, называемое вакансией или наличие лишних атомов внедрения в пространстве между узлами решетки).

Элементы зонной теории кристаллов: уравнение Шредингера для кристалла, возникновение энергетических зон.

Твердое тело представляет собой многочастичную систему микрообъектов, поэтому его теоретический анализ должен основываться на принципах статистической физики и квантовой механики.

В электрическом отношении твердые тела делят на три класса, называемые металлами (проводниками), диэлектриками (изоляторами) и полупроводниками. Такое подразделение может быть выведено с помощью так называемой зонной теории твердых тел. В ее основе лежит применение основного уравнения квантовой механики - уравнения Шредингера к кристаллу как многочастичной системе. Кристалл макроскопических размеров представляет собой совокупность огромного числа ядер (ионов) и электронов, взаимодействующих друг с другом посредством электромагнитных сил. Поскольку кристалл представляет собой строгую периодическую структуру из ионов, то требуется дать адекватное описание поведения электронов в соответствующем периодическом электрическом поле.

В нерелятивистском приближении для стационарного состояния гамильтониан (оператор полной энергии) системы электронов и ядер (ионов) можно записать в следующем виде:

где индексы i, j и k – нумеруют соответственно электроны и ядра, а и - радиус – векторы электронов и ядер соответственно.

В записанном выражении для гамильтониана кристалла первые два слагаемых выражают собой кинетическую энергию электронов и ядер, соответственно, а последние три - потенциальную энергию, соответственно – попарного взаимодействия электронов, попарного взаимодействия ядер и взаимодействия электронов с ядрами.

Решение уравнения Шредингера для собственных значений En и собственных функций yn гамильтониана позволило бы полностью раскрыть свойства твердого тела. Однако, очевидно, что точное решение практически неосуществимо, ибо имеем громадное число взаимодействующих между собой частиц. Поэтому необходимо использовать упрощающие приближения, и первое из них - так называемое адиабатное[2] приближение. Оно вытекает из резкого различия масс ядер и электронов. Так как скорости ядер много меньше скорости электронов, при рассмотрении движения электронов, ядра можно условно считать неподвижными и электронную плотность - адиабатно следующей за движением ядер. Таким образом, собственные волновые функции электронов, движущихся в поле неподвижных ядер, удовлетворяют в адиабатном приближении следующему уравнению Шредингера:

.

Здесь пренебрегли кинетической энергией медленных ядер.

В адиабатном приближении собственные функции и собственные значения энергии электронов зависят от координат ядер R, как от параметров: и , и уравнение Шредингера можно записать в виде:

Полученное уравнение для электронной подсистемы требует дальнейших упрощений. Обычно используется так называемое одноэлектронное приближение, при котором рассматривается поведение одного электрона в некотором эффективном (самосогласованном) периодическом электрическом поле всех остальных электронов и ядер (метод Хартри - Фока).

Введение самосогласованного поля позволяет заменить потенциальную энергию взаимодействия электронов (сумму ) суммой , каждый член которой зависит от координат одного электрона. Потенциальную же энергию взаимодействия электронов с ядрами можно представить в виде суммы , где - потенциальная энергия i - ого электрона в электрическом поле всех ядер. И уравнение Шредингера в одноэлектронном приближении может быть записано в виде:

.

Поскольку оператор Гамильтона не сдержит энергии взаимодействия электронов, то волновую функцию системы электронов можно представить в виде произведения волновых функций отдельных электронов:

Полная энергия системы электронов равна сумме энергий отдельных электронов:

Соответственно, вместо уравнения Шредингера можно записать систему уравнений:

, и т. д.

Таким образом, введение самосогласованного поля позволило свести задачу многих частиц
к задаче одного электрона. Обозначив потенциальную энергию электрона в кристалле через , запишем уравнение Шредингера для одного электрона в кристалле:

,
где = , и - параметр трансляции. Полученное уравнение, называемое в математике уравнением Хилла (частный случай уравнения Матье), тоже не может быть точно и строго решено. Существует два диаметрально противоположных модельных подхода к решению этого уравнения, но приводящие практически к одному и тому же результату (крайности сходятся, как говорят философы). Эти подходы - приближения исходят либо из модели свободных электронов в кристалле (приближение слабой связи электронов), либо из модели связанных электронов (приближение сильной связи электронов с атомами).

В модели свободных электронов энергия U их взаимодействия с решеткой (с ионами) и друг с другом считается много меньшей их кинетической энергии E. Это и позволяет трактовать электрон как свободный, движущийся в периодическом потенциальном поле решетки.

В простейшем, одномерном случае линейной цепочки атомов с межатомным расстоянием а, потенциальная энергия U периодична:

U(x) = U(x + na), где n = 1, 2, 3,… N (N – число атомов в цепочке).

Соответствующее одномерное уравнение Шредингера решают при циклических граничных условиях: . Общее решение, полученное впервые Блохом и получившее название блоховской функции, имеет вид: - плоская бегущая волна, промодулированная периодичностью решетки; k = 2p/l - волновое число.

Задав конкретный вид потенциального периодического рельефа решетки в виде простейшей прямоугольной периодической модели, называемой моделью Кронига - Пенни, получим дисперсионную зависимость E(k) в виде функции, близкой к параболической, но разрывной.

Решение для энергии получается в виде чередующихся разрешенных и запрещенных полос значений, называемых зонами - разрешенными и запрещенными энергетическими зонами. Разрывы энергии наступают при значениях волнового числа, равных или - условие брэгговского отражения (для рентгеновских лучей) от атомных плоскостей. При этом условии бегущая по кристаллу блоховская волна, моделирующая движение электрона, превращается в стоячую волну, не переносящую энергию. Такая волна состоит из двух, бегущих в противоположные стороны волн, записываемых в виде и . Эти волны дают два решения уравнения Шредингера, например для n = 1: и Þ |y1(х)|2 = sin2 kх и |y2(х)|2 = сos2 kх. Этим двум решениям соответствуют разные значения энергии, разделенные значением DE ширины запрещенной зоны.

В альтернативной модели - связанных электронов - исходят из условия достаточно сильной связи электронов со своими атомами, при которой они основное время находятся в своих атомах. Таким образом, здесь рассматривается вся большая совокупность изолированных атомов, каждый из которых обладает собственной системой дискретных энергетических уровней, и прослеживается, что происходит с этими уровнями по мере сближения атомов и образования из них кристалла. В основу метода сильной связи кладутся волновые функции изолированных атомов (связанных электронов), и из них строятся волновые функции электронов кристалла.

По мере сближения атомов взаимодействие между ними растет, и при этом происходит уменьшение, как высоты, так и ширины потенциального барьера, препятствующего переходу электрона от одного атома кристалла к другому. Поэтому электроны за счет туннельного эффекта приобретают способность переходить от одного атома к другому, то есть обобществляться. Волновые функции наружных (валентных) электронов при сближении атомов в кристалле перекрываются настолько, что дают электронное облако практически равномерной плотности. Это соответствует состоянию полного обобществления валентных электронов, которые образуют "газ" квазисвободных электронов. Внутренние электроны атомов, более сильно связанные со своими атомами, остаются разделенными высокими и широкими потенциальными барьерами и не обобществляются. Их энергетические уровни остаются практически не возмущенными взаимодействием, то есть узкими (линейчатыми). Энергетические же уровни обобществленных за счет туннельного эффекта внешних электронов, расширяются в полосы - энергетические зоны. Туннельный эффект в кристалле доводит среднее время пребывания электрона при определенном узле (атоме) решетки до . В соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга энергия электрона становится неопределенной, то есть "размывается" в интервал (зону) значений шириной . Таким образом, энергетический уровень валентных электронов, имеющий в изолированном атоме естественную ширину порядка 10-7 эВ, превращается в кристалле за счет межатомного взаимодействия и туннелирования в энергетическую зону шириной в единицы эВ. К такому же результату приводил и метод слабой связи.