Пространственное квантование. Опыт Штерна - Герлаха. Гипотеза Гаудсмита - Уленбека. Спин электрона (стр. 3 )

На рис. показано схематически изменение энергетических уровней атомов натрия по мере их сближения, уменьшения расстояния d между ними. За а обозначено характерное расстояние между атомами в кристалле натрия. Энергетические уровни 3S валентных электронов и 3Р - возбужденного состояния атома при межатомном расстоянии а расширяются настолько, что перекрываются.

Общим фундаментальным выводом обоих подходов (приближений) слабой и сильной связи в квантовомеханическом анализе поведения электронов в кристалле является зонный характер их энергетического спектра, то есть наличие в нем разрешенных и запрещенных полос, интервалов энергий. Каждая зона содержит определенное число уровней и может разместить конечное число электронов.

Металлы. Диэлектрики. Полупроводники.

Каждый энергетический уровень Еnl совокупности N изолированных атомов при их сближении и объединении в кристалл расщепляется за счет межатомного взаимодействия на N(2l + 1) тесно расположенных подуровней, образующих полосу, называемую разрешенной зоной энергии. В соответствии с принципом Паули (принципом запрета для фермионов) на каждом таком подуровне может разместиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами.

Так как число электронов, содержащихся в кристалле, хотя и очень велико, но всегда ограничено, они смогут заполнить лишь часть разрешенных энергетических зон с наиболее низкими значениями энергии.

По характеру заполнения энергетических зон электронами все твердые тела можно разделить на три класса.

Первый класс содержит только полностью заполненные электронами зоны и расположенные над ними полностью свободные от электронов зоны разрешенных значений энергии. На рис. занятые электронами зоны заштрихованы, свободные оставлены пустыми.

У второго класса тел над полностью заполненными нижними зонами располагается зона, заполненная электронами лишь частично;

У третьего класса тел полностью заполненная зона перекрывается с расположенной над ней свободной (незанятой электронами) зоной.

К первому классу относят, в первую очередь, химические элементы, атомы которых содержат только полностью заполненные электронные слои, как, например атомы инертных элементов (He, Ne, Xe), а также многие химические соединения, например, NаСl.

Ко второму классу твердых тел относятся химические элементы, атомы которых имеют незавершенные электронные слои валентных электронов, например атомы щелочных (одновалентных) металлов: Na, K и др.

Примерами тел, относящихся к третьему классу, являются химические элементы второй группы таблицы Менделеева. Например, у магния все электронные оболочки укомплектованы полностью и, казалось бы, он должен относиться к первому классу тел, однако, вследствие перекрытия зон 3S и 3Р каждая из них оказывается заполненной лишь частично.

Согласно зонной теории твердых тел, электроны внешних энергетических зон имеют практически одинаковую свободу движения во всех телах независимо от того, являются ли они металлами или диэлектриками. Это движение можно представлять себе как туннельное просачивание электронов сквозь узкие потенциальные барьеры, разделяющие соседние атомы кристаллической решетки. В твердых телах с полностью заполненными энергетическими зонами внешнее электрическое поле не может вызвать результирующего направленного перемещения электронов, то есть появления электрического тока, несмотря на наличие "свободных" электронов, способных двигаться, скажем, в тепловом движении по всему пространству кристалла. Внешнее электрическое поле не способно ускорить электроны, повысить скорость их направленного перемещения, так как для этого надо повысить их энергию, а все энергетические уровни в пределах зоны в кристалле заняты. Перебросить же электрон через запрещенную зону, внешнее поле не в состоянии. Для этого нужны чрезвычайно высокие значения напряженности. Поэтому в телах с полностью заполненными электронами зонами внешнее электрическое поле может вызывать лишь перестановку электронов местами без нарушения симметрии их распределения по скоростям. Таким образом, твердые тела с полностью заполненными электронами энергетическими зонами не проводят электрический ток и являются диэлектриками (изоляторами).

В кристаллах с частично заполненными энергетическими зонами внешнее электрическое поле способно вызывать ускоренное движение электронов, переводя их на свободные вышележащие энергетические подуровни в пределах данной зоны. Такие тела являются проводниками электрического тока. Внешняя энергетическая зона, заполненная электронами лишь частично и обусловливающая электропроводность кристалла, называется зоной проводимости.

Электропроводность кристалла возникает также и в случае, когда имеет место перекрытие полностью заполненной электронами энергетической зоны с вышележащей свободной, не занятой электронами зоной. Пример такого перекрытия был приведен выше (атом магния). Перекрывающиеся у него зоны, образованные из атомных уровней 3S и 3Р, образуют общую (гибридную) зону, способную вместить значительно больше электронов, чем их содержится в полностью заполненной зоне 3S.

Если верхняя энергетическая зона кристалла полностью заполнена электронами, но отделена от выше лежащей свободной зоны сравнительно узкой запрещенной зоной, то при абсолютном нуле температуры такой кристалл является диэлектриком. При повышении же температуры некоторое число электронов с "потолка" верхней зоны может забрасываться тепловым движением через узкую запрещенную зону на свободные энергетические уровни вблизи дна вышележащей разрешенной зоны. Эта зона станет частично заполненной электронами, а в ранее целиком заполненной зоне появятся дырки - свободные от электронов места. Для тел, у которых ширина запрещенной зоны не превышает 1 эВ, уже при комнатной температуре в свободной зоне оказывается достаточное число электронов, а в валентной зоне - дырок, чтобы обусловить заметную электропроводность. С повышением температуры число носителей тока в таких проводниках резко увеличивается. Такие тела называют полупроводниками.

Динамика электронов в кристаллической решетке.

Квантовомеханический анализ характера движения электрона по кристаллу основывается на представлении электрона в виде волны, точнее, волнового пакета. Если электрон локализован в пределах области Dx, его волновая функция может быть представлена волновым пакетом из суммы (суперпозиции) плоских волн вида eikr, значения волновых чисел k которых, заключены в пределах Dk ~ 1/Dх.

При небольшом (узком) интервале Dk максимум амплитуды результирующей волны (волнового пакета) перемещается с групповой скоростью - и это и есть скорость электрона в кристалле.

Т. к. , то .

Рассмотрим характер движения электрона в условиях приложения внешнего электрического поля с напряженностью e. Кроме сил, создаваемых электрическим полем решетки, на электрон действует внешняя сила F = qеe, которая за время dt совершает над электроном работу , идущую на приращение энергии электрона в кристалле: .

Продифференцировав по времени групповую скорость:

,

получим нетривиальный результат о пропорциональности ускорения электрона в кристалле внешней силе F = qеe. Его нетривиальность связана с тем, что ускорение должно быть пропорционально результирующей силе, действующей на электрон, равной сумме сил qеe + Fкрист. И только своеобразие силы Fкрист, действующей на электрон со стороны периодического электрического поля решетки, приводит к тому, что при пропорциональности ускорения электрона сумме сил имеет место также пропорциональность его слагаемому этой суммы, а именно внешней силе qеe. Выражение же , являющееся коэффициентом пропорциональности между ускорением и силой, играет роль массы по отношению к внешней силе F = qеe, называемой эффективной массой m* электрона в кристалле. Эффективная масса электрона в кристалле может сильно отличаться от фактической массы m электрона, в частности, она может быть и бесконечной, и отрицательной. Это связано с тем, что в действительности уравнение второго закона Ньютона имеет вид: , а , то есть m и m* - разные вещи.

Введение эффективной массы позволяет, абстрагируясь от взаимодействия электрона с решеткой, определить характер его движения под действием электрического поля внешних сил (считая электрон свободным).

В случае периодического поля .

Итак, воздействие решетки на движение электрона
в кристалле можно учесть, заменив в уравнении движения, включающем только внешнюю силу qe, истинную массу m эффективной массой m*.

Исследуем зависимость эффективной массы то "местоположения" электрона внутри разрешенной энергетической зоны. Вблизи дна зоны (точки A и A¢) ход дисперсионной кривой E(k) мало отличается от такового для свободных электронов (параболический ход кривой) и там эффективная масса близка к истинной: m* » m. В точке перегиба и . Это означает, что на движение электрона, находящегося в состоянии с энергией EB, внешнее поле не может оказать никакого воздействия.

Вблизи потолка разрешенной зоны (точка С) с ростом k уменьшается, а , то есть эффективная масса оказывается отрицательной. Это означает, что под совместным действием сил qe и Fкрист, электрон, находящийся в состоянии с энергией Ec, получает ускорение, противоположное по направлению внешней силе qe.

На потолке зоны (в точке D) скорость электрона обращается в нуль; электрон останавливается, несмотря на то, что его импульс достигает максимального значения. Здесь электрон испытывает отражение от решетки, его волновой вектор меняется от до и он появляется в точке D¢.

Можно привести механическую аналогию динамики электрона в кристалле при наличии внешнего электрического поля - падающий в жидкости с переменной плотностью шарик, плотность которого лежит между крайними значениями плотностей жидкости: .

На шарик действуют две силы: сила тяжести и архимедова сила:

FS

Одна, сама по себе, сила тяжести сообщает шарику ускорение , откуда эффективная масса шарика . Сначала и m* > 0, затем и m* = ¥, и, наконец, и - шарик начинает двигаться вверх, хотя сила тяжести все время действует вниз.

Электропроводность металлов. Сверхпроводимость.

Строгий квантовомеханический анализ показывает, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости, распространяясь по кристаллу в виде электронных волн, не испытывают при своем движении никакого сопротивления, рассеяния, и электропроводность идеального металла должна была быть бесконечной. Однако совершенно идеальной решетка быть не может. В ней всегда имеется то или иное количество каких либо дефектов, нарушений состава и структуры (строения). Наиболее распространенные ее дефекты - это примеси, вакансии, а также хаотические (тепловые) колебания ее собственных узлов (ионов), которые вносят заметный вклад в рассеивание электронных волн, в электросопротивление кристалла. Соответственно удельное электросопротивление металла представляют в виде двух составляющих , обусловленных примесями и тепловыми колебаниями самой решетки. Очевидно, что чем чище металл и ниже температура, тем меньше удельное электросопротивление кристалла.

Слагаемое, обусловленное примесями, при их небольшой концентрации не зависит от температуры и образует так называемое остаточное (при уменьшении температуры) сопротивление металла. Слагаемое же уменьшается с понижением температуры и стремится к нулю с понижением температуры до нуля.

Получим выражение для удельной электропроводности металла. Пусть в единице объема образца имеется n свободных электронов. Назовем среднюю скорость этих электронов дрейфовой скоростью: .

В отсутствие внешнего электрического поля дрейфовая скорость равна нулю, и электрический ток в металле отсутствует. При наложении внешнего поля с напряженностью дрейфовая скорость становится отличной от нуля - в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома, дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной приложенной к телу внешней силе .

Из механики (гидродинамики) известно, что скорость установившегося движения оказывается пропорциональной приложенной к телу внешней силе в том случае, когда кроме силы на тело действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости тела. Примером такой силы является сила Стокса, действующая на падающий в вязкой среде шарик: , где r – коэффициент сопротивления среды.

Уравнение движения электрона в такой "вязкой" среде запишется в виде:

, где m* - эффективная масса электрона. Для нахождения коэффициента r рассмотрим переходный процесс - выключение внешнего поля .

Закон убывания дрейфовой скорости найдем из уравнения движения при E = 0:

, где - время релаксации (время убывания в е = 2,72 раз), характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушаемого действием внешнего электрического поля .

Итак, сила трения .

Установившееся значение дрейфовой скорости найдем из условия стационарности состояния, при котором внешняя сила уравновешивает силу трения:

.

Установившееся же значение плотности эклектического тока, определяемое дрейфовой скоростью, равно: , где - удельная электропроводность материала.

В классической теории электропроводности металлов (теории Друде – Лоренца) для удельной электропроводности получалось подобное же выражение . Но там - было средним временем свободного пробега. Так как средняя скорость свободных электронов (электронного газа), согласно классической статистике Максвелла, пропорциональна корню квадратному из температуры, то среднее время свободного пробега, а с ним и удельная электропроводность материала, оказываются обратно пропорциональными корню квадратному из температуры: и .

В квантовом же подходе среднему времени свободного пробега соответствует время релаксации. В отличие от классической теории, в которой m = const, , в квантовом подходе и s ~ 1/Т.

При классическом рассмотрении предполагалось, что все электроны металла возмущаются внешним эклектическим полем; при квантовомеханическом подходе выясняется, что возмущаться внешним полем и изменять свою скорость могут лишь электроны, занимающие энергетические уровни (состояния) вблизи уровня Ферми. Электроны же находящиеся на более глубоких (энергетически низко лежащих) уровнях, внешним электрическим полем не возмущаются и вклада в электропроводность (как и в теплоемкость) не вносят. Они как бы "заморожены", и про такой металл говорят, что он вырожден.

В 1911 г. Камерлинг - Оннес (Голландия) обнаружил явление исчезновения электросопротивления металлической ртути при понижении ее температуры до значения около 4 К. Это явление, названное сверхпроводимостью, в последние годы открыли и при комнатных температурах (так называемая высокотемпературная сверхпроводимость), правда, в сложных керамических соединениях.

Экспериментально сверхпроводимость можно получать (возбуждать) и наблюдать двумя способами:

1) Включением в общую электрическую цепь звена из сверхпроводника.

В момент перехода этого звена в сверхпроводящее состояние разность потенциалов на его концах обращается в нуль, и это легко регистрируется.

2) Помещением сверхпроводника в виде кольца в перпендикулярное к нему магнитное поле. Охладив кольцо до низкой температуры и выключив магнитное поле (создав переменный магнитный поток сквозь поверхность кольцевого сверхпроводника), создают и наблюдают в сверхпроводящем кольце индуцированный электрический ток, циркулирующий в нем без затухания годами.

Кроме отсутствия электросопротивления (равенства нулю его значения) для сверхпроводника характерно выталкивание внешнего магнитного поля (эффект Мейснера), не проникновение внешнего магнитного поля в толщу сверхпроводника, что формально соответствует нулевому значению магнитной проницаемости. Поэтому сверхпроводник представляет собой идеальный диамагнетик. Но достаточно сильное внешнее магнитное поле способно разрушить сверхпроводящее состояние (также и сильный ток через сам сверхпроводник).

Сверхпроводимость является макроскопическим квантовым эффектом. Теория сверхпроводимости была разработана лишь в 1957 году Бардиным, Купером и Шриффером (теория БКШ). Согласно этой теории, электроны в металле, кроме кулоновского взаимного отталкивания, испытывают особый вид взаимного притяжения, которое у сверхпроводников преобладает над кулоновским отталкиванием. В результате электроны проводимости объединяются в так называемые куперовские пары. Расстояние между электронами в этих парах ~10-4, то есть - микроскопично, и спины электронов - разнонаправлены. Такие пары будут уже не фермионами (частицами с полуцелым спином), а бозонами - частицами с целым спином, и для них не действует принцип запрета Паули. Они способны накапливаться в основном энергетическом состоянии, из которого их сравнительно трудно перевести в возбужденное состояние (существует энергетическая щель, зазор, разделяющие основное и возбужденное состояния). Следовательно, куперовские пары, придя в согласованное движение, остаются в нем неограниченно долго. Такое согласованное движение пар и есть ток сверхпроводимости, или, чуть иначе - электрон, движущийся в металле, деформирует (поляризует) кристаллическую решетку положительных ионов. В результате этой "деформации" электрон оказывается окруженным "облаком" положительного заряда, перемещающимся вслед за электроном по решетке. Электрон и окружающее его облако представляют собой положительную систему, к которой и будет притягиваться другой электрон. Таким образом, ионная решетка играет роль промежуточной среды, наличие которой приводит к притяжению между электронами.

На квантовомеханическом языке притяжение между электронами объясняется как результат обмена между ними квантами возбуждения решетки - фотонами. Электрон, возмущает решетку, возбуждает фотоны, которые поглощаются другими электронами. В результате возникает притяжение между электронами.

Вырожденный газ в металлах.

Согласно квантовой теории, "свободные" электроны металла, стремясь занять состояния с наименьшей энергией, заполняют попарно энергетические уровни, начиная со "дна" некоторой потенциальной ямы. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх по " энергетической лестнице". Число занятых уровней имеет тот же порядок, что и концентрация свободных электронов в металле. Из рисунка видно, что работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от "дна" ямы, как в классической теории, а от верхнего из занятых энергетических уровней - уровня Ферми.

Свободные электроны в металле можно рассматривать как идеальный ферми - газ, среднее число частиц которого, обладающих энергией Е, определяется распределением Ферми-Дирака: .*

Для электронов, как фермионов, среднее число частиц в квантовом состоянии совпадает с вероятностью заселенности состояния, так как в одном квантовом состоянии не может быть больше одного фермиона, то есть <N> = f(E).

Из * следует, что при T = 0 K функция распределения <N> = 1 для E < m0.

При T = 0 K все нижние по энергиям квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = m0 полностью заполнены электронами, а все состояния с энергией E > m0 свободны. Следовательно, m0 есть максимальная кинетическая энергия свободных электронов в металле при T = 0 K, называемая энергией Ферми: m0 = Eф. Уровень Ферми, очевидно, тем выше, чем больше плотность электронного газа:

.

В металле и . Средняя энергия электронного газа приближенно равна ~3 эВ - огромная величина, которой соответствует температура ~25000 К классического газа. При обычных (комнатных) температурах Т = 300 К, энергия kТ @ 0,025 эВ, то есть kT << Eф. При повышении температуры функция распределения Ферми-Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой энергетической области порядка kТ в окрестности Eф. Таким образом, лишь небольшая часть электронов, с энергией близкой к энергии Ферми, возбуждается тепловым движением при комнатной температуре и соизмеримых с ней. Можно сказать, что квантовое распределение Ферми-Дирака является слабо чувствительным к температуре.

Химический потенциал свободных электронов в металле слабо зависит (убывает) от температуры: . При .

Распределение свободных электронов в металле по энергиям и импульсу.

Из соотношений неопределенности Гейзенберга , которые можно переписать в виде , следует существование наименьшей клеточки фазового (координатно-импульсного) шестимерного пространства объемом 3. Именно такой фазовый объем приходится на одно квантовое состояние.

При рассмотрении свободных электронов в металле предполагается, что их потенциальная энергия одинакова во всех точках образца, вследствие чего распределение электронов в обычном пространстве (в объеме V образца) является равномерным. В этом случае вместо 6-мерного фазового пространства можно пользоваться 3-х мерным пространством импульсов px, py, pz, разбив его на элементарные ячейки (клеточки) размером 3/V. Каждой такой ячейке соответствует одно квантовое состояние.

Для единицы объема (V = 1) число ячеек z в элементе импульсного пространства равно: . Вероятность заполнения этих ячеек определяется распределением Ферми-Дирака fF. В каждой из них может разместиться, согласно принципу Паули, не более двух электронов (с противоположными спинами). Число электронов в единице объема, компоненты импульса которых лежат в интервалах от px до px + dpx, от py до py + dpy, от pz до pz + dpz, будет равно:

Определим число электронов в единице объема, энергия которых заключена в интервале от Е до Е + dE. Для этого построим в пространстве импульсов две концентрические сферы с радиусами p и p + dp. Этим сферам соответствуют энергии E и E + dE. Объем шарового слоя между сферами равен . В нем разместится z элементарных ячеек .

Так как p2 = 2mE и и , то.

*

В равных интервалах энергии dE ячеек тем больше, чем выше Е. Иначе говоря, энергетические уровни сгущаются с ростом Е.

Если в формулу * вместо Е и dE подставить, соответственно, и то получим распределение электронов по импульсам: .

где dn(p) - число электронов в единице объема металла, импульс которых заключен в интервале от p до p + dp.

Электропроводность полупроводников.

У полупроводников валентная зона полностью заполнена электронами, а ширина DE запрещенной зоны отделяющей ее от следующей свободной зоны, невелика (особенно у собственных полупроводников - не более 1 эВ).

По значению электропроводности полупроводники занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками. Однако характерным для них является не столько численное значение электропроводности, сколько характер ее зависимости от температуры; у полупроводников электропроводность растет с ростом температуры, а у металлов - уменьшается.

Различают собственные (химически чистые) и примесные полупроводники. При рассмотрении электропроводности в полупроводниках большое значение имеет понятие "дырка". Тепловое возбуждение при температуре Т > 0 К "забрасывает" часть электронов из валентной зоны (последней, высшей из полностью заполненных электронами, зон) в следующую, свободную зону, называемую зоной проводимости. При этом возникают носители тока двух типов: электроны в зоне проводимости и "дырки" в валентной зоне. Дырки представляют собой квазичастицы - вакантные (освобожденные) от электронов места в валентной зоне.

При нулевой абсолютной температуре Т = 0 К сумма скоростей всех электронов полностью заполненной электронами валентной зоны равна нулю: . Выделим из этой суммы скорость к - го электрона: Þ

Если этот к - ый электрон в валентной зоне отсутствует, сумма скоростей оставшихся электронов окажется равной . Следовательно, все эти электроны создадут ток, равный . Таким образом, возникший ток оказывается эквивалентным току, которых создавала бы частица с зарядом +qе, имеющая скорость отсутствующего электрона, то есть дырка.

К понятию дырок можно прийти и следующим образом. Вакантные уровни образуются у потолка валентной зоны, где эффективная масса электрона оказывается отрицательной. Отсутствие частицы с отрицательным зарядом - qе и отрицательной массой m* эквивалентно наличию частицы с +qе и m*, то есть дырки.

Движение дырки не есть перемещение какой то реальной частицы. Представление о дырках отображает характер движения всей многоэлектронной системы в полупроводниках.

Собственная электропроводность полупроводников возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число свободных электронов, занимающих энергетические уровни вблизи дна зоны проводимости. Одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест на верхних уровнях (вблизи потолка валентной зоны), представляющих собой дырки.

Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости описывается функцией квантовой статистики Ферми-Дирака. Это распределение можно показать на графике:

Значение уровня Ферми, которому соответствует 50 % вероятность, отсчитанное от потолка валентной зоны, выражается формулой: . Обычно второе слагаемое мало и , то есть уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны. Следовательно, для электронов, перешедших в зону проводимости, величина , и вероятность заполнения этими электронами уровней на "хвосте" функции распределения f(E) можно находить по формуле: .

Пропорциональным этой вероятности будет количество электронов, перешедших в зону проводимости, а, следовательно, и количество образовавшихся в валентной зоне дырок.

Так как удельная электропроводность пропорциональна числу (концентрации) носителей тока, то она должна быть пропорциональна плотности вероятности, то есть функции f(E), то есть: , где .

Так как , то на графике - будет прямой линией. По наклону этой прямой можно определять ширину запрещенной зоны DE полупроводника.

Типичными собственными полупроводниками являются элементы 4-ой группы таблицы Менделеева - германий и кремний. Они являются четырехвалентными и образуют кристаллическую решетку типа алмаза. В ней каждый атом связан ковалентными (парно электронными) связями с четырьмя своими соседями.