Факультет прикладной математики и кибернетики

[Оставьте этот титульный лист для дисциплины, закрепленной за одной кафедрой]

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет прикладной математики и кибернетики

Программа дисциплины «алгебра и геометрия»

для специальности 010400.62 (прикладная математика и информатика)

Автор программы:

Юрий Юрьевич Кочетков, доктор физ.-мат. наук, профессор, *****@***ru

Одобрена на заседании кафедры высшей математики ___ ____________ 2012 г.

Зав. кафедрой

Рекомендована учебно-методической комиссией ФПМиК ___ ____________ 2012 г.

Председатель

Утверждена учёным советом ФПМиК ___ _____________2012 г.

Учёный секретарь ________________________

________________________ [подпись]

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов специальности 010400.62 (прикладная математика и информатика);

Программа разработана в соответствии с:

·  Образовательным стандартом ФГОС

·  Образовательной программой 010400 (прикладная математика и информатика);

·  рабочим учебным планом университета по специальности 010400.62 (прикладная математика и информатика), утвержденным в 2012 году.

2  Цели освоения дисциплины

- знакомство с понятиями линейной алгебры как основы значительной части математического аппарата дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин;

– освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;

- развитие способности интерпретации формальных алгебраических структур, развитие четкого логического мышления.

3  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  Знать базовые понятия дисциплины

·  Понимать доказательства ключевых теорем курса

·  Иметь навыки использования математического аппарата дисциплины в дальнейшей учебной и профессиональной деятельности

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

владеть навыками работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-11);

использовать в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными и компьютерными технологиями (ОК-14);

способность к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и мастерства (ОК-16);

способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);

способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);

способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3).

4  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественно-научного цикла дисциплин.

5  Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Бинарные операции, моноиды, изоморфизм, ассоциативность.	8	4		2	2
2	Группы: циклические, абелевы, конечно-порожденные. Группы малых порядков. Группы вычетов. Группа диэдра.	24	12		6	6
3	Перестановки, матричные группы, сложение точек на кубической кривой	16	8		4	4
4	Кольца и идеалы. Кольца многочленов. Многообразия и решение систем. Базис Гребнера. Дискриминант.	24	12		6	6
5	Кольца главных идеалов и разложение на простые множители.	8	4		2	2
6	Поля. Характеристика. Конечные поля и их классификация.	16	8		4	4
	Итого:	96	48		24	24

1  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля
1	2
Домашнее задание	6	12	Письменная работа
Промежу­точный	Зачет	*		Письменный
Итоговый	Экзамен		*	Устный

5.1  Критерии оценки знаний, навыков

На контрольной работе студент должен применять математический аппарат к решению конкретных задач.

В домашней работе студент должен самостоятельно применять изученные методы к решению поставленных задач и приготовить отчет по результатам выполненной работы.

На зачете студент должен продемонстрировать знание основных понятий и их логических связей, умение применять различные методы к решению задач курса.

На экзамене студент должен уметь выявлять сущность математических проблем, логически верно и аргументировано излагать доказательства теорем, понимать связи между различными понятиями курса.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

6.2 Порядок формирования оценок по дисциплине

Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: ,активность студентов при обсуждении фундаментальных понятий курса, правильность решения задач и ответов на вопросы преподавателя на семинаре. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: оценивается правильность выполнения домашних заданий, которые выдаются на практических занятиях, знание определений изучаемых понятий. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.

Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Онакопленная= Отекущий

где Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма всех форм текущего контроля, предусмотренных в РУП

Отекущий = Одз ;

Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится в пользу студента.

Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:

1.  За один модуль:

Орезульт = 0,2* Онакопл + 0,8*·Оэкз/зач

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета производится в пользу студента.

2.  За несколько модулей –как среднее арифметическое результирующих оценок за каждый модуль

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

На зачете студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.

На экзамене студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.

В диплом выставляет результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:

Орезульт =0,5·Онакопл + 0,5Оитоговый

Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине: в пользу студента.

ВНИМАНИЕ: оценка за итоговый контроль блокирующая, при неудовлетворительной итоговой оценке она равна результирующей.

6  Содержание дисциплины

Изложение строится по разделам и темам. Содержание темы может распределяться по лекционным и практическим занятиям.

1. Бинарные операции и моноиды. Изоморфизм моноидов. Перечисление конечных моноидов. Свойства бинарных операций: коммутатив - ность, ассоциативность, существование единицы и обратного элемента.

Аудиторная работа – 6 часов.

Самостоятельная работа-2 часа:

-подготовка к лекциям и практическим занятиям

-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.

Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.

2. Группы. Группы порядков 2, 3 и 4. Порядок элемента. Циклические и абелевы группы. Конечно-порожденные группы. Группа диэдра, как пример неабелевой группы. Группы вычетов. «Зоопарк» групп малых порядков.

Аудиторная работа – 18 часов.

Самостоятельная работа-6 часов:

-подготовка к лекциям и практическим занятиям

-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.

Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.

3.  Примеры интересных групп. Группа перестановок. Матричные группы $SL_n(Z)$ -- бесконечные конечно-порожденные группы. Сложение точек на кубической кривой.

Аудиторная работа –12 часов.

Самостоятельная работа - 4 часа:

-подготовка к лекциям и практическим занятиям

-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.

- выполнение задания по текущему контролю: домашняя работа 1

Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.

4. Кольца и идеалы. Кольца многочленов. Конечно-порожденные идеалы. Теорема Гильберта. Базис идеала. Лексикографическое упорядочение в кольцах многочленов. Алгоритм деления с остатком. Базис Гребнера и алгоритм его построения. Многообразия и решение полиномиальных систем.

Аудиторная работа-18 часов.

Самостоятельная работа-6 часов:

-подготовка к лекциям и практическим занятиям

-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.

Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.

5. Кольца главных идеалов и разложение на простые множители. Разложение на простые множители в кольцах многочленов. Лемма Гаусса.

Аудиторная работа-6 часов.

Самостоятельная работа-2 часа:

-подготовка к лекциям и практическим занятиям

-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.

- выполнение задания по текущему контролю: домашняя работа 2 часть 1.

Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.

6. Поля. Характеристика поля. Построение конечных полей. Мультипликативная группа конечного поля.

Аудиторная работа-12 часов.

Самостоятельная работа-4 часов:

-подготовка к лекциям и практическим занятиям

-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.

- выполнение задания по текущему контролю: домашняя работа 2 часть 2.

Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.

Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.

7  Образовательные технологии

При реализации различных видов учебной работы используются активные формы проведения занятий - разбор практических задач, обсуждение фундаментальных понятий курса и их взаимосвязей, выявление связей с другими математическими дисциплинами, построение математических моделей практических задач.

8  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1  Тематика заданий текущего контроля

Домашняя работа 1: ассоциативность 3-моноида, изоморфизм 3-моноидов, цикличность группы $Z_n^*$, порядок подгруппы в $S_n$.

Домашняя работа 2 часть 1: деление с остатком в $Q[x, y]$, построение базиса Гребнера в $Q[x, y]$ и решение полиномиальной системы.

Домашняя работа 2 часть 2: вычисление обратного и нахождение порядка элемента из конечного поля $F_q$.

8.2  Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.

1.  Бинарные операции и моноиды. Свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, существование единицы и обратного элемента. Изоморфизм моноидов. 2-моноиды их изоморфизм и ассоциативность.

2.  Группы. Группы порядков 3 и 4. Порядок элемента в группе. Подгруппы и теорема Лагранжа. Циклические и абелевы группы. Группы диэдра. Группы $Z_n$ и $Z_n^*$. Цикличность групп $Z_n^*$. Прямые суммы и «зоопарк» групп малых порядков.

3.  Конечно-порожденные группы. Группа рациональных чисел по сложению не является конечно-порожденной. Конечная порожденность групп $SL_n(Z)$.

4.  Группа перестановок. Цикловая форма записи. Перечисление перестановок разных типов.

5.  Сложение точек на кубической кривой. Ассоциативность сложения. Группа рациональных точек на кубической кривой над $Q$.

6.  Кольца и идеалы. Конечно-порожденные идеалы. Идеалы в кольцах многочленов и теорема Гильберта. Базис идеала. Идеалы и многообразия.

7.  Лексикографическое упорядочение. Алгоритм деления с остатком. Базис Гребнера и алгоритм его построения. Решение полиномиальных систем.

8.  Дискриминант и его вычисление по коэффициентам многочлена.

9.  Области целостности и кольца главных идеалов. $Z$ и $k[x]$ -- кольца главных идеалов. $Z[x]$ и $k[x, y]$ не есть кольца главных идеалов. Обратимые и необратимые элементы кольца. Однозначность разложения на простые множители в кольцах главных идеалов. Пример неоднозначного разложения на простые множители.

10.  Многочлены с целыми коэффициентами и лемма Гаусса.

11.  Целые гауссовы числа – кольцо главных идеалов. Простые гауссовы числа.

12.  Поля. Конечное кольцо без делителей нуля – поле. Характеристика поля. Конечные поля $Z_p$. Поле $F_4$. Неприводимые многочлены в $Z_p[x]$ и их перечисление. Построение полей $F_q$. Свойства полей $F_q$.

9  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

9.1  Основная литература

. Курс алгебры. М., «Факториал Пресс», 2002.

Кострикин в алгебру. М. Физматлит, 2001.

Курош высшей алгебры. М. Физматлит, 1971.

9.2  Дополнительная литература

Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М. Мир, 2000.

9.3  Программные средства

Для успешного освоения дисциплины, студент использует следующие программные средства:

программа TheMatrix приведения матрицы к ступенчатому виду;

программа Sl умножения матриц, нахождения определителя и обратной матрицы, решения системы линейных уравнений;

программа умножения матриц в Excel’е.

Эти программы можно найти на сайте http://kirill-andreyev. *****

Приложение

Методические рекомендации по формированию оценок по дисциплине

Данные методические рекомендации составлены на основании Положения об организации контроля знаний, утвержденного УС НИУ ВШЭ от 01.01.2001, протокол №26.

1)  Структура оценки по дисциплине согласно положению об организации контроля знаний:

 

2)  Таблица 1. Формирование оценки по дисциплине: если дисциплина читается 1 этап (модуль)

Элемент оценки	Накопленная оценка	Итоговая оценка за экзамен/ зачет	Результирующая оценка за дисциплину (Выставляется в диплом)
Текущий контроль	Аудиторная работа (Лекции, практические занятия, семинарские занятия)	Самостоятельная внеаудиторная работа студентов
Действия преподавателя	1	Выставление оценки в 10-балльной системе по каждой форме текущего контроля (эссе, контрольная работа, домашнее задание, реферат, коллоквиум)	Выставление оценки Оауд по 10-балльной шкале за аудиторную работу студента. ВАЖНО: в НИУ ВШЭ в рамках аудиторной работы не оценивается посещение лекций, семинарских занятий и практических занятий, а только работа студента. (Оценка выставляется только при решении преподавателя оценивать данный вид деятельности студента)	Выставление оценки Осам. работа по 10-балльной шкале за аудиторную работу студента. (Оценка выставляется только при решении преподавателя оценивать данный вид деятельности студента)	Выставление оценки за итоговый контроль (зачет/экзамен) в 10 балльной системе	1	Определение весов q1 и q2 (ВНИМАНИЕ, Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑qi = 1, при этом, 0,2 ≤ qi ≤ 0,8)
2	Определение весов ni (ВНИМАНИЕ, сумма ni =1)
2	Орезульт = q1·Оитог. контроль + q2·Онакопленная
3	Расчет оценки за текущий контроль Отекущий = n1·Оэссе + n2·Ок/р + n3·Ореф + n4·Окол + n5·Одз
Определение весов k1 k2 k3 (ВНИМАНИЕ, сумма ki =1, в случае, если преподаватель не учитывает аудиторную и самостоятельную внеаудиторную работу студентов, то k2 и k3 равны 0 (нулю), а k1=1).
Расчет накопленной оценки Онакопленная= k1* Отекущий + k2* Оауд + k3* Осам. работа
Что получается в результате	Онакопленная*	Оитог. контроль	Орезультирующая*

3)  Формирование оценки по дисциплине, если она читается несколько этапов (модулей) поясним на примере дисциплины читаемой 3 этапа (таблица 2).

Таблица 2.Формирование оценки по дисциплине: если дисциплина читается несколько этапов (модулей)

	Промежуточная оценка за 1 этап	Промежуточная оценка за 2 этап	Накопленная оценка 3 (за 3 тап)	Итоговая оценка за экзамен/ зачет	Результирующая оценка за дисциплину (Выставляется в диплом)
Элемент оценки	Накопленная оценка 1	Оценка за экзамен/ зачет (по окончанию этапа 1) (ВАЖНО! Не является блокирующей)	Накопленная оценка2	Оценка за экзамен/ зачет (по окончанию этапа 2) (ВАЖНО! Не является блокирующей)
Текущий контроль	Аудиторная работа	Самостоятельная внеаудиторная работа студентов	Текущий контроль	Аудиторная работа	Самостоятельная внеаудиторная работа студентов	Текущий контроль	Аудиторная работа	Самостоятельная внеаудиторная работа студентов
Действия преподавателя	действия преподавателя в рамках каждого этапа соответствуют действию преподавателя по формированию оценки, если дисциплина читается один этап (модуль) (таблица 1)	действия преподавателя в рамках каждого этапа соответствуют действию преподавателя по формированию оценки, если дисциплина читается один этап (модуль) (таблица 1)	действия преподавателя (таблица 1)	Выставление оценки за итоговый контроль (зачет/экзамен) в 10 балльной системе	Определение весов q1 и q2 (ВНИМАНИЕ, Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑qi = 1, при этом, 0,2 ≤ qi ≤ 0,8)
Орезульт итог = q1·Оитог. контроль + q2·Онакопленная
Результат	этап	Опромежуточная 1*	Опромежуточная 2*	Онакопленная 3*	Оитог. контроль	Орезультирующая Итог*
ИТОГ	Онакопленная Итоговая= (Опромежут 1+ Опромежут 2+ Онакопленная 3):кол-во модулей Среднее арифметическое от суммы оценок.

* способ округления оценки должен быть указан в программе учебной дисциплины