МОУ Влазовичская СОШ
Суражского района Брянской области
Методическая разработка по математике
Структурные схемы доказательства теорем,
изучаемых в 7 классе
Учитель математики 1 квалификационной категории:
Влазовичи – 2010
Методическая разработка по математике
Структурные схемы доказательства теорем,
изучаемых в 7 классе
Автор: , учитель математики МОУ Влазовичская СОШ, I квалификационная категория
Научный руководитель: , кандидат пед. наук, доцент кафедры методики обучения математике и информационных технологий БГУ им.
Тираж: 20 экз.
Отпечатано на принтере Влазовичской СОШ, 12.г.
 |
Рис. 16
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой (Рис. 16).
 |
|
a
|
 |
 |
|
| |
 | |
 | |
23
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
22
Уважаемые коллеги!
Успешность обучения учащихся математике во многом зависит от уровня развития их речи. Мало понять учебный материал, нужно еще его и воспроизвести, а для этого необходимо владеть своей речью. Однако на практике мы часто встречаемся с тем, что школьники понимают материал, а вот воспроизвести его без помощи учителя становится проблематично.
На уроках математики проблема развития речи вообще и математической речи, в частности, стоит достаточно остро и давно обсуждается методистами и учителями-практиками. Это во многом связано со спецификой предмета (специальные термины, понятия, точные формулировки, доказательность и строгая логичность в изложении).
Одним из средств развития математической речи на уроках геометрии является доказательство теорем, так как оно представляет собой цепочку взаимосвязанных рассуждений.
Цель данного пособия – оказание методической помощи учителям математики в работе над проблемой развития математической речи учащихся при доказательстве теорем.
В брошюре представлены:
1.Классификация теорем, изучаемых в 7 классе.
2. Примеры оформления доказательств теорем.
3. Структурные схемы теорем.
Надеюсь, что это пособие поможет учителям математики при работе над теоремами. Автор 3
1.Классификация теорем, изучаемых в 7 классе
№ п/п | Формулировка теоремы | теорема- свойство | теорема- признак | терема единственности | обратные теоремы | утверждение |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
1 | Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. | + | ||||
2 | Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. | + | ||||
3 | В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. | + | ||||
4 | В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию является медианой и высотой | + | ||||
5 | Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны | + |
4
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и катету другого, то такие треугольники равны (Рис. 15).
 |
21
Рис. 14
Рис. 13
Рис. 15
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (Рис. 14).
|
| ||
 | |||
|
|
дп
 |
20
6 | Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. | + | ||||
7 | Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. | + | + | |||
8 | Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. | + | ||||
9 | Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. | + | + | |||
10 | Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. | + | ||||
11 | Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 | + | + | |||
12 | Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 | + | ||||
13 | Сумма углов треугольника равна 180 | + | ||||
14 | В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. | + |
5
15 | Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. | + | ||||
16 | Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. | + | ||||
17 | Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. | + | ||||
18 | Если катет, и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. | + | ||||
19 | Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. | + | ||||
20 | Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. | + | ||||
21 | Вертикальные углы равны | + | ||||
22 | Сумма смежных углов равна 180 | + | ||||
23 | Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 | + |
6
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (Рис. 12).
 |
|
 |
|
 |  |
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона (Рис. 13).
Схема для первой части теоремы:
 |
 |
|
|
|
ДП ДП
 | |
 |  |
 |
19
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 
(Рис. 9).
Рис. 11
Рис. 12
Сумма углов треугольника равна 180 (Рис. 11).
|
 | |
 | |
| |
|
ДП
18
2. Примеры оформления доказательств теорем
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
Дано: а, b – прямые;
с – секущая;
1= 2.
Доказать: а||b
Доказательство
1.Если 1 и 2 прямые, то а
АВ и вАВ, поэтому а||b.
2.Если 1 и 2 не прямые, то:
а) Из О (АО=ОВ) проведем ОНа;
б) ВН1=АН;
в) АО=ОВ 3=4 Н, О, Н1
а
АН=ВН1 
ОНА=ОН1В 5=6 6 - прямой
1= 2.
г) аНН1 и bНН1, поэтому а||b.
7
Если при пересечении двух прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180 , то прямые параллельны.
Дано: а, b – прямые;
с – секущая;
1+4=180
Доказать: а||b.
Доказательство.
1. 1+4=180 (по условию), 1=3
3+4=180 (как смежные).
2. 1 и3 – накрест лежащие а||b.
Если две параллельные прямые пересечены секущей,
то соответственные углы равны.
Дано: a||b,
с – секущая
Доказать: 1=2
Доказательство.
Так как a||b,1=3 (как накрест лежащие). 2. 2=3 (как вертикальные).
3. Из 1 и 2 следует, что 1=2.
8
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны (Рис. 10).
предположение
противоречие
Д
П
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны (Рис.9).
 |
17
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 , то прямые параллельны (Рис. 9).
 |
16
3. Структурные схемы теорем, изучаемых в 7 классе
Рис. 1
Вертикальные углы равны. (Рис. 1)
|
 |
|
|
| ||
 |
9
Рис. 2
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (Рис. 2)
 |
 |
|
|
|
| |
| |
 |
В
А О С
Рис. 3 Рис.4
10
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны (Рис. 9).
 |
15
Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (Рис. 8).
 |
|
ДП
14
Сумма смежных углов равна 180 . (Рис. 3)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис. 4)
|
А1В1
|
11
Рис. 5 Рис. 6
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно
равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.5)
|
|
|
 |
 |
|
|
 |
|
|
|
 |
12
а) б) в)
Рис. 7
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис. 6 и 7)
Схема для 1 случая (рис. 7,а)
 |
 |
|
ДП
| |
 | |
| |
 | |
 |
|
 |
 |
13
