Программа курса лекций «Математический анализ»
3-ий семестр учебный год.
1. Неявная функция заданная одним уравнением: постановка задачи, пример, теорема о существовании, единственности и дифференцируемости решения функционального уравнения.
2. Вычисление частных производных функции, неявно заданной одним функциональным уравнением.
3. Теорема о существовании, единственности, непрерывности и дифференцируемости неявных функций, определяемых системой уравнений (без доказательства); вычисление частных производных решения системы уравнений.
4. Условный экстремум: постановка задачи, пример; необходимые условия существования условного экстремума.
5. Метод множителей Лагранжа; достаточные условия существования условного экстремума.
6. Равномерное по одной переменной, стремление функции двух переменных к пределу по другой переменной: определения поточечной и равномерной сходимостей; теорема о равномерной сходимости, критерий Коши, интегрируемость и непрерывность предельной функции, признак Дини, дифференцируемость и непрерывность предельной функции (утверждения 1-5).
7. Собственные интегралы, зависящие от параметра: определение, интегрируемость и дифференцируемость по параметру.
8. Интегралы, зависящие от параметра с переменными границами интегрирования: непрерывность и дифференцируемость по параметру.
9. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1-го рода: определение, поточечная и равномерная сходимость, критерий Коши, признак Вейерштрасса.
10. Предельный переход под знаком равномерно сходящегося интеграла и следствие (непрерывность предела).
11. Признак Дини. Признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
12. Интегрирование по параметру в конечных пределах.
13. Интегрирование по параметру в бесконечных пределах.
14. Вычисление 
.
15. Вычисление 
.
16. Г-функция: определение, область существования интегрального представления, дифференцируемость, формула приведения, связь с факториалом, продолжение на отрицательную полуось, график.
17. В-функция: определение, симметричность, формула приведения, связь с Г-функцией.
18. Формула Стирлинга.
19. Двойной интеграл по прямоугольнику: определение, теория Дарбу, критерий интегрируемости.
20. Интегрируемость непрерывных и разрывных функций.
21. Квадрируемые области, множество площади «ноль», критерий квадрируемости (без доказательства).
22. Двойной интеграл по произвольной квадрируемой области: определение, свойства.
23. Сведение двойного интеграла к повторному интегрированию (прямоугольник).
24. Сведение двойного интеграла к повторному интегрированию (произвольная область).
25. Кратные интегралы: кубируемые области, критерий кубируемости, определение n-кратного интеграла, критерий интегрируемости, классы интегрируемых функций.
26. Замена переменных в n-кратном интеграле (линейный случай).
27. Основные классы множеств: полукольцо, кольцо, s-кольцо и s-алгебра; предел монотонной последовательности множеств, монотонный класс; теорема о монотонном кольце.
28. Порождённые классы множеств: определения; теорема о структуре минимального кольца, порождённого полукольцом.
29. Теорема о кольце, являющемся минимальным классом.
30. Основные классы функций множеств.
31. Меры. Элементарные свойства мер.
32. Теоремы о непрерывности меры.
33. Продолжение меры с полукольца P на кольцо 
.
34. Внешняя мера. Теорема о внешней мере, индуцированной мерой на кольце.
35. 
-измеримость. Эквивалентность двух определений измеримости.
36. Теорема Каратеодори.
37. Полные меры; теорема о полных мерах.
38. Теорема об измеримости элементов исходного кольца.
39. Мера Лебега: мера Лебега на прямой, измеримость борелевских множеств; мера Лебега на 
; мера Лебега-Стилтьеса на прямой.
40. Измеримые отображения: определение, критерий измеримости (теорема 5.1), следствие.
41. Суперпозиция измеримых отображений: теорема и следствие.
42. Свойства измеримых функций (теорема 5.3).
43. Свойства измеримых функций (теорема 5.4).
44. Критерий измеримости отображений в терминах простых функций.
45. Эквивалентные функции; теорема 5.6.
46. Сходимость почти всюду; теорема 5.7.
47. Сходимость по мере; теорема Лебега (теорема 5.8).
48. Последовательности функций фундаментальные по мере: определение и замечание.
49. Теорема 5.9 и следствие (Ф. Рисса).
50. Определение интеграла Лебега (три части).
51. Элементарные свойства интеграла Лебега.
52. Счётная аддитивность интеграла Лебега.
53. Другие свойства интеграла Лебега.
54. Теорема 6.2 о предельном переходе под знаком интеграла для монотонной последовательности неотрицательных измеримых функций.
55. Теорема 6.3 о предельном переходе под знаком интеграла для монотонной последовательности интегрируемых функций.
56. Теорема Фату.
57. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
58. Сравнение интегралов Римана и Лебега на отрезке прямой.
59. Критерий интегрируемости функции по Риману.
