Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей Псковской области
«Псковский областной центр развития одаренных детей и юношества»
Областной конкурс «Юные дарования» 2012/2013
«Юный знаток математики»
Очный тур
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
1. В равенстве ТИХО + ТИГР = СПИТ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы — разными цифрами так, чтобы ТИГР был бы как можно меньше (нулей среди цифр нет). Объясните, почему ещё меньше ТИГР быть не может.
Ответ: 1386 + 1345 = 2731
Чтобы ТИГР был как можно меньше, нужно сначала сделать как можно меньше цифру Т, потом — цифру И, потом — цифру Г, а потом — Р. Нулей в этом ребусе нет, поэтому Т = 1. Тогда С — это 2 или 3.Причем, если С = 3, то И не меньше, чем 5. Если же С = 2, а И = 3,то ТИГР получится меньше. Тогда П — это 6 или 7. Возьмём Г = 4,а Р = 5 (в этом случае ТИГР будет меньше, чем в других) и попробуем подобрать оставшиеся цифры. Из равенства 13ХО + 1345 = 2П31 получим, что О = 6, Х = 8, П = 7.
2. Путешественник в первый день прошёл 20% всего пути и 2 км. Во второй - прошёл 50% остатка и ещё 1 км. В третий день – 25% оставшегося пути и ещё 3 км. Остальные 18 км пути он прошёл в четвертый день. Какова длина пути, пройденного путешественником?
Если S км – весь путь путешественника, то в первый день он прошёл 
км, во второй день он прошёл 
в третий день - 
,
в четвёртый 18 км, поэтому:
Откуда находим 
.
Ответ: 75 км.
3. Найти все пятизначные числа 
, делящиеся на 36 и такие, что 
.
Так как 
, то каждое из искомых чисел делится на 4 и на 9.
По признаку делимости на 4 двузначное число 
кратно 4, а ввиду очевидных неравенств 
оно может быть равно только 48,56 или 68. Разберём эти три случая:
1) Если = 48, то 
(других возможностей нет), а число 12348 удовлетворяет условиям задачи.
2) Если = 56, то по признаку делимости на 9 и с учетом неравенств 
имеем: 
.
3) Равенство = 68 для искомого числа выполняться не может, так как соотношения
показывают, что сумма 
не может быть кратна 9.
Ответ: 12348 и 12456
4. Разрежьте «мальтийский крест» (см. рисунок) на 6 частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Нарисуйте как проведены линии разрезов, и как сложен из разрезанных частей квадрат.
Ответ. 
5. У Винни - Пуха есть 8 горшков меда весом 1, 2, 3,..., 8 кг (на каждом горшке написан его вес), причем в один из горшков ему подложили кусочек сыра весом 1 кг. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь найти горшок с сыром?
Первым взвешиванием Винни - Пух может проверить равенство 3 + 4 + 8 = 7 + 6 + 2; поставив на чаши соответствующие горшки. Если весы показывают равенство, сыр содержится в одном из двух оставшихся горшков. Тогда поставим на одну чашу весов горшки по 1 кг и 4 кг, а на другую чашу - горшок 5 кг. Если перевесил горшок в 5кг, то сыр в нем; если горшки по 1 и 4 кг - сыр в килограммовом горшке; равновесие невозможно, поскольку из-за сыра вес одного из горшков мы учитываем неверно.
Если в первом взвешивании перевесила левая чаша, сыр содержится в одном из горшков весом 3, 4 или 8 кг. Тогда вторым взвешиванием мы проверим равенство 3 + 5 = 8 в случае равновесия сыр находится в четырех килограммовом горшке; если перевесила правая чаша - сыр в горшке весом 8 кг; если левая - в горшке весом 3 кг.
Наконец, если в первом взвешивании перевесила правая чаша, сыр содержится в одном из горшков весом 2, 6, 7 кг. Вторым взвешиванием мы можем проверить равенство 2 + 5 = 7 в случае равновесия сыр находится горшке весом 6 кг; если перевесила правая чаша - сыр в горшке весом 7 кг; если левая - в горшке весом 2 кг.
Каждая задача оценивалась в 7 баллов, максимально за работу – 35 баллов
