I (школьный) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011 – 2012 уч. году. 5 класс

I (школьный) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011 – 2012 уч. году. 5 класс

1.  Кот в Сапогах поймал четырех щук и ещё половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах? (2 балла)

2.  Три слога в слове. Первый слог —

Большой снеговика кусок.

Осуществляют слог второй

Слоны, придя на водопой.

А третий слог зовётся так,

Как прежде звался твёрдый знак.

Соедини все три как надо —

Получишь ЭВМ в награду! (2 балла)

3.  В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте. (3 балла)

4.  Найти целое число, которое в 9 раз больше цифры его единиц. (4 балла)

5.  Двенадцативедерная бочка наполнена керосином. Нужно разлить его на две равные части, пользуясь пустыми пятиведёрной и восьмиведёрной бочками. (5 баллов)

I (школьный) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011 – 2012 уч. году. 6 класс

1.  У Змея Горыныча 2000 голов. Сказочный богатырь отрубил ему одним ударом 139 голов. На сколько голов теперь у Змея Горыныча больше, чем у богатыря? (2 балла)

2.  Среднее арифметическое шести чисел равно 17. После того, как одно из шести чисел удалили, среднее арифметическое оставшихся пяти чисел оказалось равно 19. Чему было равно удалённое число? (3 балла)

3.  Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 1000 метров? (3 балла)

4.  Вася живёт на 9 этаже дома, в котором на каждом этаже по 6 квартир. Петя живёт на 7 этаже дома, в котором на каждом этаже по 7 квартир. Номера квартир у обоих друзей одинаковые. Каждый из друзей живёт в первом подъезде. Найдите номер квартиры друзей. (4балла)

5.  Четыре белки съели 1999 орехов, каждая не меньше, чем 100. Первая белка съела больше всех. Вторая и третья вместе съели 1265 орехов. Сколько орехов съела первая белка? (5 баллов)

I (школьный) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011 – 2012 уч. году. 7 класс

1.  Расставьте знаки арифметических действий и скобки там, где считаете нужным, чтобы получилось верное равенство:2 4 6= балла)

2.  Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равнобалла)

3.  На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г краски. Сколько

ещё нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте обосновать ответ. (3 балла)

4.  В забеге участвовал 41 спортсмен. Число спортсменов, прибежавших раньше Васи, в 4 раза меньше числа тех, кто прибежал позже него. Какое место занял Вася? (4 балла)

5.  Четыре белки съели 1999 орехов, каждая не меньше, чем 100. Первая белка съела больше всех. Вторая и третья вместе съели 1265 орехов. Сколько орехов съела первая белка? (5 баллов)

I (школьный) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011 – 2012 уч. году. 8 класс

1. Для четырёх чисел составили шесть попарных сумм. Четыре меньших из них оказались равны 1, 5, 8 и 9. Найдите две оставшиеся.  (2 балла)

2. Зная, что найдите . (2 балла)

3. ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А. Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол ? (3 балла)

4. Автомобиль ехал из пункта A в пункт B со средней скоростью 50 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость? (4 балла)

5. По дороге на Новогодний праздник несколько мальчиков помогли Деду Морозу донести подарки. Каждый из мальчиков донес по три подарка, а остальные 142 подарка Дед Мороз сам довез на санях. Все эти подарки Дед Мороз разделил поровну между всеми этими мальчиками и 14 девочками. Сколько было мальчиков? (5 баллов)

I (школьный) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011 – 2012 уч. году. 9 класс

1.  Решите уравнение: (2 балла)

2.  В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке M. Известно, что AM = 1, BM = 2, CM = 4. При каких значениях DM четырехугольник ABCD является трапецией? (2 балла)

3.  Сравните числа и . (3 балла)

4.  В хоре число девочек относилось к числу мальчиков как 4:3. После того как в хор пришли двое новеньких, это соотношение стало 3:2. Сколько мальчиков было в хоре вначале? (4 балла)

5. По дороге на Новогодний праздник несколько мальчиков помогли Деду Морозу донести подарки. Каждый из мальчиков донес по три подарка, а остальные 142 подарка Дед Мороз сам довез на санях. Все эти подарки Дед Мороз разделил поровну между всеми этими мальчиками и 14 девочками. Сколько было мальчиков? (5 баллов)

I (школьный) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011 – 2012 уч. году. 10 класс

1.  Имеется 150 г 70%-ой уксусной кислоты. Сколько воды надо в неё добавить, чтобы получить 5%-ый уксус? (2 балла)

2.  Схематически постройте график функции: (2 балла)

3.  Найти все решения уравнения (3 балла)

4.  Пусть АМ - медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая из вершины прямого угла А. P и Q – точки касания окружности, вписанной в треугольник АВМ, с его сторонами АВ и ВМ соответственно. Известно, что . Найдите углы треугольника АВС. (4 балла)

5.  Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения лежат по разные стороны от единицы. (5 баллов)

I (школьный) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011 – 2012 уч. году. 11 класс

1.  Постройте график функции ( 2 балла)

2.  Имеется 150 г 70%-ой уксусной кислоты. Сколько воды надо в неё добавить, чтобы получить 5%-ый уксус? (2 балла)

3.  Решите уравнение . (3 балла)

4.  Пусть АМ - медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая из вершины прямого угла А. P и Q – точки касания окружности, вписанной в треугольник АВМ, с его сторонами АВ и ВМ соответственно. Известно, что . Найдите углы треугольника АВС. (4 балла)

5.  Докажите, что . (5 баллов)

Ответы к заданиям для 5 класса

Максимальный балл выставляется за ответ с обоснованием или приведённым решением.

1. 8

2. Ком пьют ер

3. Предположим, что ошибся кот Матроскин. Тогда д. Фёдору не больше 10 лет, но тогда ошибся и Шарик, что противоречит условию: ошибся ровно один из них. Значит, д. Фёдору больше 10-ти лет, но не больше 11. Ответ: 11.

4. 45

5. 12 → 8 → 5. Оставшиеся 3 ведра в пустую посуду. 5 ведер выливаем в 12-ти ведедерн. Там – 9 ведер Наливаем 8-ведерный. Из него – в 5-тиведерн. Осталось 3 ведра. Доливаем к 3 ведр. Остальное – к оставш в 12-тиведер. 6 и 6

Ответы к заданиям для 6 класса

Максимальный балл выставляется за ответ с обоснованием или приведённым решением.

1. 1860

2. 7

3. 144

4. 49

5. 1999 орехов съели четыре белки вместе, 1265 орехов съели вторая и третья белки, значит, 1999 – 1265 = 734 орехов съели первая и четвертая белки, причем, четвертая съела не меньше 100, значит, первая съела не больше, чем 734 – 100 = 634 орехов

а так как первая съела больше всех, то вторая и третья белки должны были съесть 632 и 633 орехов соответственно (иначе, если одна съест меньше, то второй придется съесть больше, чем осталось орехов для первой белки) то есть первая белка должна съесть не меньше, чем 634 ореха.

Ответ: не меньше 634 орехов

Ответы к заданиям для 7 класса

Максимальный балл выставляется за ответ с обоснованием или приведённым решением.

1. Может быть несколько. Например, такие: а); б) ; в) 2+4–6=3 – 3:3

2. 555

Решение: Произведение трех цифр может быть равно 3 только, если это цифры 1,1 и 3. Рассмотрим все возможные трехзначные числа, которые можно из них составить – это 113, 131, 311. Их сумма равна 555.

3. 45 г

4. Ответ. Девятым. Решение. Число спортсменов, прибежавших раньше Васи, примем за одну часть, тогда число спортсменов, прибежавших позже Васи, составляет 4 части. 40 спортсменов разделим на 5 равных частей, получим, что одна часть составит 8 спортсменов. Значит, Вася прибежал девятым.

5. СМ. №5 6 класса

Ответы к заданиям для 8 класса

Максимальный балл выставляется за ответ с обоснованием или приведённым решением.

1.  Ответ: 12; 16.

2.  Ответ: 1. Упростить выражение, значение которого нужно найти.

3.  Ответ: 900

4. 37,5

5. Ответ: 6, 11, 36, или 86. Отдадим из 142 подарков, привезенных Дедом Морозом, 42 подарка девочкам  по 3 каждой. Тогда у всех детей будет по 3 подарка, и оставшиеся 100 подарков должны разделиться между ними поровну. Отсюда общее число детей  делитель числа 100, больший 14, т. е. одно из чисел 20, 25, 50, или 100.

Ответы к заданиям для 9 класса

Максимальный балл выставляется за ответ с обоснованием или приведённым решением.

1.  Ответ: (1; 2). Группировка.

2.  Ответ: Четырехугольник ABCD является трапецией, если DM равно 8 или 0,5. Возможны два варианта: основаниями трапеции являются стороны AB и CD или AD и BC. Рассмотрим первый случай: ∆ АМВ должен быть подобен ∆ СМD, откуда AM : MC = BM : DM, DM = 8. Во втором случае подобными треугольниками будут AMD и BMC. Тогда AM : MC = BM : DM, откуда DM = 0,5.

3.  Тк. выражения положительны, сравним их квадраты. Составим разность

4.  Ответ: 12 мальчиков. Было: Д. – 4х, М – 3х. Пришло 2, стало всего 4х + 3х + 2 = 7х + 2. - девочек, - мальчиков. Подбором находим х.

5.  См. №5 в 8 классе

Ответы к заданиям для 10 класса

Максимальный балл выставляется за ответ с обоснованием или приведённым решением.

1.  1950 г

2. 

3.  Ответ:

4.  Ответ: . Находим корни, составляем систему: меньший корень меньше 1, больший – больше и дискриминант больше нуля.

5.  Ответ 600, 300. Доказать, что PQ – средняя линия треугольника АВМ.

Ответы к заданиям для 11 класса

Максимальный балл выставляется за ответ с обоснованием или приведённым решением.

1.  Прямая у = 4. Преобразовать подкоренные выражения.

2.  1950 г

3.  – 1. Метод оценки левой и правой части

4.  Ответ 600, 300. Доказать, что PQ – средняя линия треугольника АВМ.

5.  Раскрыть скобки, сгруппировать и т. д.