Программа курса «Математические методы анализа в социологии»
Лекции, четвертый семестр
Лекция 1. Особенности и перспективы применения математических методов в социологических исследованиях. Методологические принципы анализа социологической информации. Многомерность социологических данных. Проблема их сжатия. Необходимость введения комплексных чисел. Примеры представления социологических данных на комплексной плоскости.
Лекция 2. Отношения и способы их представления. Свойства бинарных отношений. Тернарные отношения. Операции. Групповые свойства операций. Примеры.
Лекция 3. Отношение толерантности, частичного порядка и эквивалентности. Операция транзитивного замыкания. Разбиение множества на попарно непересекающиеся классы эквивалентных элементов. Примеры.
Лекция 4. Измерение в социологии. Признаки и их типы. Матрица объект - признак. Допустимые преобразования и шкалы. Виды шкал. Построение оценочной шкалы методом парных сравнений.
Лекция 5. Средние величины. Средние по Коши и по Колмогорову. Степенные средние. Виды степенных средних: арифметическое, геометрическое и гармоническое. Соотношение между ними. Особенности использования средних величин для обработки социологических данных в различных шкалах.
Лекция 6. Отношение средней арифметической и средней гармонической величин как показатель степени изменчивости (различия) признака в шкале отношений. Обобщение на совокупность признаков. Показатель изменчивости для матрицы объект-признак. Анализ данных на основе максимизации и минимизации меры различий.
Лекция 7. Применение различных средних величин для обработки социологической информации. Метод агрегирования данных в шкале отношений. Задача определения рейтинга студентов.
Семинары
Семинар 1. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая и показательная формы. Корни из единицы. Простейшие преобразования на комплексной плоскости. Линейная функция, инверсия.
Семинар 2. Бинарные отношения и их свойства. Примеры отношений толерантности, порядка, эквивалентности. Отношение эквивалентности – как результат транзитивного замыкания отношения толерантности.
Семинар 3. Типы шкал: номинальная, порядковая, интервальная, абсолютная. Шкала отношений. Допустимые преобразования в шкалах. Построение оценочной шкалы методом парных сравнений.
Семинар 4. Контрольная работа №1.
Лекции, пятый семестр
Лекция 1. Крайние точки конечного множества на комплексной плоскости. Метод и алгоритм их определения. Метод построения дискриминантной функции. Приложение к обработке социологических данных в порядковых шкалах.
Лекция 2. Метод наименьших квадратов для комплексных чисел. Линейная регрессия комплексных переменных. Частные случаи для регрессии действительных чисел. Связь с множественной регрессией. Пример использования регрессии для заполнения пропусков в данных.
Лекция 3. Группы преобразований. Примеры. Корни из единицы как группа поворотов комплексной плоскости. Их применение в методе наименьших квадратов. Кусочно-линейная регрессия. Примеры.
Лекция 4. Знаковые графы. Баланс в малых группах. Математическая модель малой группы. Связь с социоматрицей. Теорема Харари о балансе.
Лекция 5. Метод количественной оценки статуса личности в малой группе. Метод оценки оптимальной численности малой группы.
Лекция 6. Использование знаковых и взвешенных графов в качестве средства моделирования сложных социальных систем. Элементы когнитивного анализа.
Лекция 7. Расстояние и близость между объектами. Свойства. Примеры. Кластеры. Расстояние между кластерами. Алгоритм иерархической кластеризации.
Лекция 8. Дихотомические признаки. Процедура дихотомизации для количественного представления качественных признаков. Матрица объект-признак. Матрицы связи объектов по одному и нескольким качественным признакам. Матрица связи как матрица бинарного отношения.
Лекция 9. Расстояния между матрицами. Метод наименьших квадратов для аппроксимации системы матриц матрицами отношений. Постановка задачи. Метод и алгоритм решения в классе отношений эквивалентности. Приложение к классификации качественных данных.
Лекция 10. Метрическое и неметрическое многомерное щкалирование. Постановка задачи. Основная идея метода. Примеры.
Лекция 11. Метод многомерного инверсного шкалирования. Оцифровка номинальных и ранговых признаков.
Лекция 12. Математические основы контент - анализа и его применение в социологических исследованиях.
Семинары
Семинар 1. Крайние точки конечного множества комплексной плоскости. Алгоритм их определения. Метод построения дискриминантных функций. Примеры.
Семинар 2. Задача линейной регрессии на комплексной плоскости. Частные случаи. Регрессии действительных переменных. Связь с множественной регрессией. Примеры восстановления пропущенных данных. Группы преобразований комплексной плоскости. Корни из единицы и их таблица умножения.
Семинар 3. Знаковый граф как модель отношений в малой группе. Построение социоматрицы. Критерий сбалансированности малой группы. Вычисление социометрических индексов. Метод определения оптимальной численности малой группы.
Семинар 4. Контрольная работа №2.
Семинар 5. Примеры использования знаковых и взвешенных графов для моделирования сложных социальных систем. Построения когнитивной карты. Методы их анализа.
Семинар 6. Примеры вычисления мер близости и расстояния между объектами.
Алгоритм иерархической кластеризации. Кластеризация на основе бинарного отношения эквивалентности.
Семинар 7. Матрицы связи объектов и методы их построения в различных шкалах. Быстрый алгоритм кластеризации данных, представленных матрицей связи объектов. Подготовка к контрольной работе.
Семинар 8. Контрольная работа №3
ЛиТЕРАТУРА
Робертс математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам.— М.: Наука, 1986. Принятие решений. Метод анализа иерархий. — М.: Радио и связь, 1993. , Фролова методы в социологии. М.: Издательство ЛКИ, 2007. Толстова многомерного шкалирования. М.: КДУ, 2006. Миркин качественных признаков и стуктур. М.: Статистика, 1980.Контрольные работы
Контрольная работа № 1
Определите шкальные веса признаков по матрице парных сравнений
вычислить моду, медиану, среднее квадратическое, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое. 3. При сравнении 5 объектов социального значения по некоторой совокупности
критериев были получены следующие оценки:
— объект 5 лучше, чем объект 4, 5 лучше, чем 2, 5 лучше, чем 1,
— объект 4 лучше, чем объект 2, 4 лучше, чем 1,
— объект 3 лучше, чем объект 2, 3 лучше, чем 1,
— объект 2 лучше, чем объект 1.
Постройте матрицу и граф данного бинарного отношения. Какими свойствами обладает данное отношение сравнения, является ли такое сравнение порядком?
4. Проверить свойства бинарного отношения, заданного таблицей
A | B | C | D | |
A | 1 | 1 | 1 | 1 |
B | 0 | 0 | 0 | 1 |
C | 1 | 1 | 1 | 1 |
D | 0 | 0 | 0 | 1 |
Является ли оно эквивалентностью, толерантностью или порядком? Построить граф отношения.
Какие из следующих преобразований будут допустимыми преобразованиями порядковой шкалы, определенной на множестве действительных чисел?
Рассмотреть тот же вопрос для интервальной шкалы и шкалы отношений
Контрольная работа № 2
Найти крайние точки множества
, где 
Промежуточные результаты представить графически. Показать, что множество преобразований комплексной плоскости 
есть группа с операцией композиции. Составить таблицу умножения. Заполнить пропуски в таблице данных, используя метод линейной регрессии на комплексной плоскости 1 | 2 | 3 | 1 |
2 | 1 | 1 | 3 |
2 | 2 | ? | ? |
построить знаковый граф и проверить его сбалансированность.
Контрольная работа № 3
Построить знаковый граф для выбора одного из вариантов поездок в г. Москве (личный или общественный транспорт) с учетом факторов:a) - стоимость автомобиля;
b) – использование автомобиля;
c) – комфорт и преимущества использования автомобиля;
d) – свобода выбора при поездках;
e) – скорость.
Найти контур (если он имеется) усиливающий отклонение и контур (если он имеется), противодействующий отклонению. Дать объяснение полученным результатам. Проверить сбалансированность графа.
На множестве положительных чисел задана функция двух переменных
. Проверить справедливость свойств расстояний. На её основе построить меру близости и проверить её свойства.
|
|
|
|
| |
1 | + | + | А | + | Б |
2 | + | - | Б | + | В |
3 | + | - | В | + | А |
4 | - | - | А | + | А |
5 | - | + | В | - | В |
6 | - | + | В | - | А |
