Брянский государственный университет имени академика
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по курсу (дисциплине) Теория вероятностей и математическая статистика
для студентов физико-математического факультета
3 курса, специальность физико - математическое образование, математика и физика, учебный год.
Общий объём учебного курса 64 часа, из них лекций 32 часа, практических 32 часа.
Программу разработал
Утверждаю:
Зав. кафедрой
______________________
Тема (раздел) курса | Кол-во часов | Деление темы (раздела) на | Тех. ср. и др. наг. | Межпредметные связи (дисциплина, тема или раздел) | Вынесено на самост. работу | Формы контроля за усвоением темы | |||
лекции | Кол-во часов | Семинарские, практические, лабораторные | Кол-во часов | ||||||
32+ 32 | 1. Введение в теорию вероятностей. События и операции над ними. Пространство и полная группа событий. Совместимые, зависимые элементарные события. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности, опирающееся на понятия верхних и нижних пределов. Теоремы о сложении и умножении вероятностей. Обобщения на любое число событий. 2. Геометрическое определение вероятности, опирающееся на понятие мер Лебега в Евклидовых пространствах произвольной размерности. Решение задач на геометрическую вероятность. Числовые функции без повторений, их основные свойства. 3. Числовые функции с повторениями, их основные свойства, связь с числовыми функциями без повторений. Полиномиальная формула Ньютона. Круговые перестановки, их свойства. 4. Формула полной вероятности и формула Байеса для системы гипотез зависимых событий с использованием условных вероятностей. 5. Схема Бернулли с 2-мя исходами. Формула Бернулли. Решение задач с использованием аппроксимативных оценок. Свойства вероятностей Бернулли. Различные примеры. 6. Схема Бернулли с m исходами с использованием числовых функций с повторениями данного состава с изучением их свойств. Комбинаторные преобразования числовых функций. 7. Система редких событий. Предельная теорема Пуассона. Аппроксимативные оценки. Решение задач. Локальная теорема Лапласа и её приложение к вычислению вероятностей. 8. Интегральная теорема Лапласа, её приложение к решению задач, некоторые оценки с учётом системы редких событий. Функции Лапласа, их свойства и некоторые особенности. 9. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Понятие закона распределения. Закон биномиального распределения и закон пуассоновского распределения. Закон равномерного распределения. Решение задач. 10. Закон геометрического и гипергеометрического распределений. Некоторые свойства дискретных распределений с конечной и счётной структуры. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин. Свойства независимых и зависимых случайных величин. Решение задач. Вычисление. 11. Дисперсия для независимых случайных величин, свойства. Коэффициент корреляции дисперсии для зависимых случайных величин. Квадратичные свойства. Построение законов с заданной дисперсией. Среднеквадратичное отклонение. Различные свойства числовых характеристик с использованием зависимых и независимых случайных величин. Свойства линейных операторов. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и её свойства: невозрастающая, непрерывная слева, ограниченная на всей числовой прямой. 12. Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Плотность вероятности, её свойства. Интегральная функция. Последовательности независимых случайных величин. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли для относительных частот. Теорема Бернштейна. 13. Математическое ожидание и дисперсия основных законов дискретных и непрерывных величин. Характеристическая функция и её свойства. 14. Моменты нормальные, абсолютные, центральные, их свойства, связь с характеристической функцией. Значение производных в нуле. Связь с абсолютными моментами. Формула обращения с использованием характеристической функции. 15. Абсолютная суммируемость характеристической функции и вычисление плотности вероятности через характеристическую функцию в интегральной форме – обратное преобразование Фурье. Биективность плотности, характеристической функции и функции распределения. 16. Прямая предельная теорема о функциях, сходящихся в основном к характеристической функции. Обратная предельная теорема о сходимости характеристической функции к функции распределения и её непрерывность. Биективная тройка функций. | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 1. Введение в теорию вероятностей. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. 2. Числовые функции без повторений, их основные свойства. Решение классических вероятностных задач с использованием числовых функций. Числовые функции с повторениями, их основные свойства, связь с числовыми функциями без повторений. 3. Полиномиальная формула Ньютона. Круговые перестановки, их свойства. Формула полной вероятности и формула Байеса для системы гипотез зависимых событий с использованием условных вероятностей. Решение задач на применение этих формул. 4. Схема Бернулли с 2-мя исходами. Формула Бернулли. Решение задач с использованием аппроксимативных оценок. Свойства вероятностей Бернулли. Различные примеры. 5. Схема Бернулли с m исходами с использованием числовых функций с повторениями данного состава с изучением их свойств. Комбинаторные преобразования числовых функций. 6. Система редких событий. Предельная теорема Пуассона. Аппроксимативные оценки. Решение задач. Локальная теорема Лапласа и её приложение к вычислению вероятностей. Интегральная теорема Лапласа, её приложение к решению задач. 7. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Понятие закона распределения. Решение задач. 8. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин. Свойства независимых и зависимых случайных величин. Решение задач. Вычисление. Дисперсия для независимых случайных величин, свойства. Коэффициент корреляции дисперсии для зависимых случайных величин. Квадратичные свойства. Построение законов с заданной дисперсией. Среднеквадратическое отклонение. 9. Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Плотность вероятности, её свойства. Интегральная функция. Достаточное условие функции распределения. Закон нормального распределения, соответствующая дифференциальная функция, её свойства. Теоремы нормального распределения для подсчёта вероятностей. 10. Закон равномерного распределения. Дифференциальная и интегральная функция, их свойства. Последовательности независимых случайных величин. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли для относительных частот. Решение задач. 11. Контрольная работа №1. 12. Математическое ожидание и дисперсия основных законов дискретных и непрерывных величин, их использование при решении задач теории вероятностей. Характеристическая функция и её свойства. 13. Моменты нормальные, абсолютные, центральные, их свойства, связь с характеристической функцией. Значение производных в нуле. Связь с абсолютными моментами. Формула обращения с использованием характеристической функции. 14. Абсолютная суммируемость характеристической функции и вычисление плотности вероятности через характеристическую функцию. Вычисление характеристической функции по определению, с использованием определения и дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 15. Вычисление плотности вероятности, если характеристическая функция абсолютно интегрируема на прямой – обратное преобразование Фурье. Вычисления интегралов с параметрами в комплексной области. Вычисление плотности вероятности и соответствующей интегральной функции с использованием формулы обращения, когда характеристическая функция абсолютно интегрируема на действительной прямой. 16. Контрольная работа №2. | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | Контрольная работа №1. Контрольная работа №2. зачет |
