При перемещении во внешнем магнитном поле катушки с током Iк работа сил магнитного поля выразится следующей зависимостью
, где
, (5)
Ф1; и Ф2 - магнитные потоки, пронизывающие катушку в начальном и конечном положениях. Формула (5) справедлива в предположении, что в процессе перемещения сила тока 
остается постоянной. Это возможно при очень медленном движении проводника, когда ЭДС электромагнитной индукции несущественна.
В начальном положении поток, пронизывающий Nк витков плоской катушки, 
, причём в зависимости от 
следует 
. В положении устойчивого равновесия поток 
. Подставляя выражения потоков Ф1 и Ф2 и учитывая (1), можно определить работу при повороте катушки
.
Если 
, то
; если
, то 
.
5.3. Работа внешних сил при медленном перемещении катушки из центра соленоида в середину его оснований равна работе сил поля, взятой с обратным знаком. При этом внешние силы совершат положительную работу, так как в направлении от центра соленоида к основанию интуиция магнитного поля уменьшается. На виток в таком неоднородном поле действуют, как видно из рис.15.8, силы 
и
, втягивающие его в соленоид.
Индукция поля в середине основания длинного соленоида (на торце)
(6)
Следовательно, при перемещении катушки из центра внутри соленоида в середину его основания поток изменяется от 
до 
Работа внешних сил определится зависимостью вида
(7)
Подставим выражения для потоков 
и 
с учетом индукций (1) и (6) в (7):
Ответ: N= 0,5ּ10-6 Нּм; A1= 2,5ּ10-7 Дж; 
= 10,5ּ10-7 Дж; А*= 32,5ּ10-8 Дж.
Задача 6. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому протекает ток Iп= 5 А, расположена прямоугольная рамка ( 20×10 см), по которой протекает ток Ip= 0,4А. Длинные стороны рамки параллельны току прямого провода. Ближайшая находится от него на расстоянии x0= 5 см, ток в ней имеет одинаковое направление с In . Определить: 1) силы взаимодействия провода прямого тока с каждой из сторон рамки и 2) работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку на угол 
вокруг дальней длинной стороны.
Анализ и решение: прямоугольная рамка с током находится в неоднородном магнитном поле прямого тока (рис.15.9), индукция которого
, (1)
где r - расстояние от бесконечно длинного проводника до рассматриваемой точки.
6.1 Сила, с которой действует поле на каждую из сторон рамки, может быть найдена суммированием (интегрированием) элементарных сил Ампера
, (2)
Каждая из сторон рамки - прямолинейный проводник. Вектор 
перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому в пределах одной стороны элементарные силы параллельны друг другу и их результирующая
i=1,2 (3)
где l - длина соответствующей стороны рамки.
Стороны 
и 
параллельны прямому току и находятся от него на расстояниях соответственно r=x0 и r=x0+l2, где l2 - короткая сторона рамки (
, ). Подставив индукцию от провода 
по (1) в (3), и, интегрируя по длине проводника 
с учётом неизменности 
вдоль линии, получим
Из векторного произведения (2) следует, что силы 
и 
направлены в противоположные стороны, и вычисления дали разные значения. Силы 
и 
, действующие на стороны 
и
равны по модулю и противоположны по направлению. Вдоль каждой из этих сторон индукция непрерывно изменяется из-за переменной r=x и dl=dx. Следовательно
.
6.2 Работа внешних сил при медленном повороте рамки равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:
A*=-A=-Ip(Ф2-Ф1), (4)
где Ф1 и Ф2 - потоки сквозь площадь рамки до и после поворота. Вследствие неоднородности поля прямого тока
, (5)
где вектор 
совпадает по направлению с положительной нормалью к плоскости рамки.
Дня расчета потока (рис. 15.9 ) следует выбрать элементарную площадку dS=l1dx в виде узкой полоски, расположенной параллельно прямому току. В пределах такой полоски индукция остается постоянной.
При расчете магнитного потока по определению (5) следует учитывать, что в первом положении решки (до поворота) направления и нормали 
совпадают ( угол 
) и переменная x изменяется в пределах от x0 до x0+l2.Во втором положении (после поворота) угол 
, а переменная x изменяется в пределах от x0+l2 до x0+2l2. Следовательно,
(6)
Таким образом, подставив (6) в (4), можно вычислить работу;
Ответ: F1= 1,6 мкН; F2=F4= 0,44 мкН; F3= 0,54 мкН; А= 0,128 мкДж.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
Задача 4. На железном кольце (тороиде) имеется обмотка, содержащая 
витков. Наружный диаметр тороида 
, внутренний 
. По обмотке идет ток 
силой 
. Определить напряженность 
и индукцию 
магнитного поля внутри тороида: 1) на внутренней окружности кольца тороида; 2) на средней линии тороида.
Анализ и решение: для определения напряженности магнитного поля внутри тороида воспользуемся законом полного тока
,
В качестве контура интегрирования при вычислении циркуляции вектора 
удобно взять линии напряженности поля тороида„
Из условия симметрии следует, что линии напряженности тороида представляют собой окружности и во всех точках этой линии напряженности одинаковы. Если направление обхода контура сопоставить с направлением силовой линии то для любого элемента контура
.
. Поэтому в выражения циркуляции напряженность 
можно вынести за знак интеграла
; 
; 
Выполнив вычисления, получим :
а) для точек внутренней окружности кольца тороида (
)
;
б) для точек средней линии тороида (
).
Сердечником тороида является ферромагнетик (железо), магнитная проницаемость 
которого не постоянна, а является функцией напряженности магнитного поля. Поэтому определить по формуле 
невозможно. Величину индукции находим по
графику зависимости от для железа (рис. 16.1). Получим 
, 
Поле внутри тороида неоднородно.
Задача 5. Средняя длина окружности железного кольца 
. В нём сделан прорез 
(рис. 16.6). На кольце имеется обмотка с 
витками. Когда по обмотке идет ток 
индукция поля в прорезе равна 
. Определить магнитную проницаемость железа при этих условиях, приняв, что площадь сечения магнитного потока в прорезе в 
раза больше площади сечения кольца.
Анализ и решение: в данной задаче учитывается рассеяние магнитного потока в воздушном
зазоре. Поэтому нельзя принять, что индукция поля в прорезе равна индукции поля в железе. Для последовательной магнитной цепи
магнитный поток во всех сечениях
одинаков
где - магнитная индукция в железе,
- сечение тороида, 
- магнитная индукция в зазоре, 
сечение магнитного потока в зазоре. По условию
. Подставив в формулу (1), найдем магнитную индукцию в железе
(2)
Для определения магнитной проницаемости необходимо знать напряженность магнитного поля в железе. На основании закона полного тока имеем
(3)
Напряженность 
в прорезе (
) равна
. (4)
Подставив (4) в (3) и выполнив преобразования, получим
Магнитная проницаемость, железа
.
Произведя вычисления, получим
Задача 6. Длина железного сердечника тороида 
, длина воздушного зазора 
. Число витков в обмотке тороида 
. Найти напряженность магнитного поля в воздушном зазоре при силе тока 
в обмотке тороида. Рассеянием магнитного потока в зазоре пренебречь.
Анализ и решение: учитывая факт непрерывности нормальных составляющих вектора на границе раздела двух различных магнетиков можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре 
равна индукции поля в железе
, (1)
Для определения напряженности поля применим теорему о циркуляции вектора 
. Интегрируя вдоль линии напряженности, получим
(2)
где - напряженность магнитного поля в тороиде; 
- напряженность магнитного поля в воздушном зазоре, которую можно выразить через величину магнитной индукции в зазоре (
)
. (3)
После подстановки (3) в (2) имеем
. (4)
Уравнение (4) связывает две неизвестные величины и . Для получения полной системы необходимо второе уравнение связи и . Соотношение, выражающее эту зависимость, задано графически в виде кривой намагничивания железа (рис. 16.1) . Следовательно, надо применить графический метод решения системы двух уравнений. На графике функции 
строят прямую линию в соответствии с уравнением (4). Координаты точки пересечения двух линий укажут искомые величины.
|
Так для построения прямой по уравнению (4) находим значения и
при 
: 
,
при 
: 
.
По двум точкам строим прямую. Искомая точка пересечения дает 
.
Тогда для воздушного зазора
Задача 7. По обмотке электромагнита, имеющего 
витков проходит ток 
. Определить напряженность магнитного поля в зазоре 
, если сечение сердечника одинаково на всех участках, магнитная проницаемость материала 
. Форма сердечника показана на рис. 16.8, где 
; 
.
Анализ и решение: в данной задаче мы имеем дело с разветвленной магнитной цепью. Для ее решения воспользуемся правилами Кирхгофа для магнитных цепей.
Первое правило Кирхгофа для узла В запишем в виде
где 
- магнитной поток, входящий в узел В, и 
- магнитные потоки, выходящие из узла.
Второе правило Кирхгофа применим к замкнутым контурам ABEFA и ACDFA . Выбрав направления обходов контуров против часовой стрелки, получим еще два уравнения
(2)
(3)
где 
- магнитные сопротивления участков цепи BAFE, BE BCDE соответственно, 
- магнитодвижущая сила, действующая на участке BE .
; (4)
; 
; 
где - площадь поперечного сечения тороида. Напомним, что длины соответствующих участков в выражениях для магнитного сопротивления
отсчитываются вдоль средней линии сердечника. После подстановки выражений (4) в уравнения (2) и (3) получим
, (5)
(6)
Мы пришли к системе трех уравнений (1), (5), и (6) с тремя неизвестными 
. Выражая 
и через из уравнений (5) и (6) и подставляя в (1), находим
Учитывая, что 
, а напряженность поля в зазоре 
, окончательно имеем:
,
.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.
ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Задача 1. Прямой провод длиной 
помещен в однородное магнитное поле с индукцией B=1 Тл. Концы его замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,4 Ом. Какая мощность P потребуется для того, чтобы двигать провод перпендикулярно линиям индукции со скоростью 
?
Анализ и решение: задачу можно решить двумя способами.
1. На концах проводника длиной 
, движущегося со скоростью V
перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля,
возникает разность потенциалов U, выражаемая формулой
Под действием этой разности потенциалов в цепи
появляется индукционный ток силой
(1)
На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера
Эта сила направлена противоположно скорости провода (используем правило левой руки). Поэтому для перемещения проводника с постоянной скоростью к нему нужно приложить внешнюю силу Fвнеш. уравновешивающую силу Ампера ( Fвнвш.= - FA)
Fвнвш.= FA =IBl
Мощность, расходуемая на движение провода,
. (2)
Подставляя в (2) вместо силы тока I выражение (1), получим
(3)
2. Прохождение индукционного тока сопровождается выделением тепла.
Энергия, выделяемая в контуре, возникает за счет работы внешней силы. Следовательно, по закону сохранения энергии, при отсутствии электрохимических источников тока в цепи, затрачиваемая мощность равна мощности тока.
(4)
Выражение (4) согласуется с формулой (3).
Задача 3. Рамка площадью S=2ООсм равномерно вращается с частотой
n=10с-1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (B=0,2Тл). Каково среднее значение ЭДС индукции <
> за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения?
Анализ и решение: магнитный поток Ф через поверхность рамки равен
(1)
где 
- угол между нормалью n к плоскости рамки и вектором 
. Начнем отсчет времени с того момента, когда плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции (рис. 17.3), т. е. при t=0 
и 
.
Рис. 17.3
За время t рамка повернется на угол 
. Нетрудно видеть, что угол поворота 
равен углу .между нормалью 
к рамке в ее новом положении и вектором . Так
(2)
Подставив (2) в (1), найдем закон изменения магнитного потока со временем
(3)
Индуцируемая в рамке ЭДС
.
Среднее значение ЭДС за промежуток времени (
)
. (4)
Заметим, что среднее значение ЭДС индукции определяется не скоростью изменения магнитного потока, а
лишь начальным и конечным значениями потока.
График, изображающий зависимость магнитного потока от времени, представляет собой косинусоиду (рис.17.4).
За каждый оборот рамки магнитный поток дважды обращается в нуль и дважды достигает максимальных значений (того или иного знака).
При 
поток 
. В случае 
выполняется 
.
Период обращения рамки связан 
. Среднее значение ЭДС индукции согласно формуле (4) равно
Задача 6. Сколько метров тонкого провода необходимо для изготовления соленоида (без сердечника) длиной 
=100см с индуктивностью L=1мГн, если диаметр сечения соленоида значительно меньше его длина?
Анализ и решение: т. к. диаметр сечения соленоида много меньше его длины, то соленоид можно считать достаточно длинным и использовать для вычисления индуктивности формулу
(1)
где 
- магнитная постоянная, 
- магнитная проницаемость сердечника (
, вакуум), 
- число витков, S-площадь поперечного сечения соленоида, 
- его длина (рис 17.8). Учтём, что 
, число витков при плотной однослойной намотке
, где - длина провода; 
- длина витка;
- радиус витка.
Подставив выражения для S и N в формулу (1), найдем 
Вычисления приводят к следующему значению длины тонкого провода для намотки на каркас
Задача 7. В цепи (рис. 17.9) 
=5 Ом. 
= 95 Ом, L= 0,34 Гн. 
=38 В.
Внутреннее сопротивление r источника тока пренебрежимо мало. Определить силу тока 
в резисторе сопротивлением 
в следующих трех случаях: 1) до размыкания цепи ключом К; 2) в момент размывания (
); 3) через 
после размыкания.
Анализ и решение: 1) Силу постоянного тока в резисторе до размыкания цепи находим по второму правилу Кирхгофа, применив его для контура abcda, (рис. 17.9)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
