Практикум по электромагнетизму, оптике и атомной физике (стр. 3 )

,

где - сила тока в батарее; - внутреннее сопротивление источника. Поскольку величиной последнего можно пренебречь, получим

2) До размыкания цепи катушка и резистор были соединены параллельно. После отключения батареи они, образуя единый неразветвленный контур, оказываются соединенными последовательно. Теперь, по ним должен течь одинаковый ток. Так как катушка обладает индуктивностью, то именно ток , проходивший по ней до размыкания цепи, должен сохраниться. Напомним, что индуктивность является мерой инертности тока в проводнике. Следовательно, в момент отключения батареи через резистор потечет ток, равный

3) При отключении источника в цепи, состоящей из катушки и резистора, действует только ЭДС самоиндукции

Закон Она для этой замкнутой цепи

Решая данное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, находим (это можно проверить путём подстановки в исходное уравнение)

где - сила тока в момент размыкания (=0).

Таким образом, ток через резистор в момент времени =0,01с после размыкания цепи равен

Задача 8. Электрическая лампочка, сопротивление которой в горячем состоянии равно подключается через дроссель к двенадцативольтовому аккумулятору (=12В). Индуктивность L дросселя 2 Гн, сопротивление . Через сколько времени после включения лампочка загорится, если она начинает заметно светиться при напряжении на ней ?

Анализ и решение: при замыкании ключа (рис. 17.10) в дросселе возникает ЭДС самоиндукции , которая стремится воспрепятствовать нарастанию силы тока. ЭДС самоиндукции возникает только в дросселе, так как лампа и подводящие провода считаются безындуктивными. Вид зависимости силы тока от времени может быть найден из закона Ома для замкнутой цепи

или

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

Напряжение на лампочке в момент времени t

Решая это уравнение относительно t, определим через сколько времени после включения лампочка загорится

в случае, когда ,

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

Задача 1. В установке для получения колец Ньютона пространство между линзой (показатель преломления n1 =1,55) и плоской прозрачной пластиной (показатель преломления n3 =1,5) заполнено жидкостью с показателем преломления n = 1,6 (рис.24.2). Установка облучается монохроматическим светом ( =6 10-7м), падающим нормально на плоскую поверхность линзы. Найти радиус кривизны линзы R, если радиус четвертого (к = 4) светлого кольца в проходящем свете rк = 1мм.

Анализ и решение

Интерференция лучей осуществляется в тонком жидком клине (показатель преломления жидкости n больше как n1, так и n3). Именно в этой тонкой жидкой пленке неодинаковой толщины каждый луч разделяется на две когерентные части. В проходящем свете к-й максимум образуется вследствие интерференции луча 1, прошедшего в пластину без отражения, и части 2 этого же луча, отразившегося от поверхностей пластины и линзы (рис.2). Так как n>n3 и n>n1 , то при отражении от поверхностей пластины и линзы потери полуволны не происходит. Следовательно, приобретаемая лучами 1 и 2 оптическая разность хода

,

где d - толщина жидкого клина в рассматриваемой точке. Учитывая, что

,

а также условие максимума, находим

.

Отсюда радиус кривизны линзы

,

.

Задача 2. Для уменьшения потерь света в объективах из-за отражения от поверхностей линз последние покрывают тонкими пленками вещества с показателем преломления , где - показатель преломления стекла (при этом интенсивности отражений от обеих - поверхностей пленки будут примерно одинаковыми). При какой минимальной толщине пленки отражательная способность линзы будет минимальной при нормальном падении света для длины волны =0,55мкм, соответствующей середине видимой области спектра? Принять = 1,5.

Анализ и решение

Сделаем рисунок, поясняющий условие задачи (рис.3). Лучи света, падающие на объектив, отражаются как от верхней, так и от нижней поверхности пленки. Разность фаз колебаний интерферирующих лучей 1 и 2 определяется оптической разностью хода лучей. (Изменение фазы на при отражении от оптически более плотной среды происходит как с лучом 1, так и с лучом 2. Эти изменения взаимно компенсируются и их можно не учитывать).

Разность хода , где i - угол падения луча; r - угол преломления. При нормальном падении , , тогда . Условие минимума . Из условия найдем минимальную толщину пленки (к=0):

,

,

.

Задача 3. Какой должна быть допустимая ширина щелей 4 в опыте Юнга, чтобы на экране Э, расположенном на расстоянии L=2 м от щелей (рис. 4), получилась отчетливая интерференционная картина? Расстояние между щелями d = 5мм. Длина волны =5 10-7м.

Анализ и решение

В опыте Юнга две щели (точки и на рис.4) являются когерентными источ­никами, дающими на экране интерференци­онную картину. Предположим, что эти ис­точники точечные. Тогда интерференци­онная картина рассчитывается по форму­лам

,.

Сместим источники вверх и на расстояние d0. Интерференционная картина сместится также вверх на расстояние d0. Рассмотрим суммарную интерференционную картину от четырех точечных источников. Она будет состоять из двух интерференционных картин, сдвинутых одна относительно другой на расстояние d0. Если это расстояние меньше расстояния между соседними светлой и темной полосами, которое равно , то суммарная интерференционная картина получится отчетливой.

Пусть теперь имеется два неточечных когерентных источника (щели шириной d0). Согласно сказанному, суммарная интерференционная картина отчетлива, если выполняется условие

,

.

ДИФРАКЦИЯ ВОЛН

Задача 2. Исходя из определения для зон Френеля, найти число m зон Френеля, которые открывает отверстие радиуса r для точки, находящейся на расстоянии b от центра отверстия, в случае если волна, падающая на отверстие, плоская.

Анализ и решение

Сделаем рисунок, поясняющий условие задачи (рис.2). Мысленно разобьем отверстие на кольцевые зоны (в соответствии с определением зон Френеля) так, что колебания, возбуждаемые в точке М двумя соседними зонами, были бы противоположны по фазе (разность хода от сходных точек этих зон до точки М равна /2). Тогда край отверстий радиуса r будет являться внешней границей m-ой зоной Френеля. В соответствии с теоремой Пифагора имеем:

.

Учтя, что <<b пренебрежем слагаемыми порядка , последнее равенство запишем в виде

.

Отсюда имеем искомое выражение

.

Задача 4. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок лучей с длиной волны =0,5мкм. Помещенная вблизи решетки линза проектирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на L= 1м. Расстояние между двумя максимумами первого порядка, наблюдаемыми на экране, =20,2см. Определить: а) постоянную дифракционной решетки; б) число максимумов, которые дает решетка; в) максимальный угол отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному минимуму.

Анализ и решение

Сделаем рисунок, поясняющий условие задачи (рис. 3.).Здесь ДР - дифракционная решетка, Л - линза, Э - экран.

а) Постоянная дифракционной решетки (а+в), длина волны и угол отклонения лучей , соответствующий k - му дифракционному максимуму, связаны соотношением:

, (1)

где k - порядок спектра или в случае монохроматического света порядок максимума. В данном случае , (ввиду того, что <<L), (см.

рис.3).

С учетом этих равенств соотношение (1) примет вид

.

Откуда искомая величина

Подставляя данные, получим .

б) Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной решеткой, вычислим сначала максимальное значение kmax исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей дифракционной решеткой не может превышать 90о. Из формулы (1) найдем

.

Подставляя сюда значения величин, получим .

Но k должно быть целым и в то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значении sin будет больше 1, что невозможно, следовательно, kmax = 9.

Общее число максимумов, даваемых дифракционной решеткой, подсчитаем так. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному kmax, т. е. всего 2 kmax. Если учесть и центральный нулевой максимум, получим общее число максимумов

.

в) Максимальный угол отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному максимуму, найдем по формуле (1)

,

Отсюда искомое значение угла .

Законы теплового излучения и фотоэффекта

Задача 1. Определите длину волны, соответствующую максимуму энергии излучения лампы накаливания. Нить накала лампы имеет длину ℓ=15 см и диаметр d=0,03 мм. Мощность потребляемая лампой Р=10Вт. Нить лампы излучает как серое тело с коэффициентом поглощения α=0.3, при этом 20% потребляемой энергии передается другим телам теплопроводностью и конвекцией.

Анализ и решение. По закону смещения Вина, длина волны для максимума испускательной способности абсолютно черного тела:

, (1.1)

Температуру нити можно найти, используя закон Стефана-Больцмана, применительно к серому телу с учетом потери мощности на теплопередачу:

(1.2)

Таким образом, выразив температуру из соотношения и подставив в (1.1), получим:

.

Ответ: λmax=1,2 мкм.

Задача 2. Металлические шары из алюминия и стали диаметром = 10 см, обладающие теплоемкостями соответственно = 896 Дж/(кг∙К) и = 460 Дж/(кг∙К), от начальной темпе­ратуры =1000 К остывают вследствие лучеиспускания. Коэффициенты поглощения и . Через сколько времени температуры шаров станут равными Тl =300 К?

Анализ и решение. Изменение внутренней энергии шара при остывании выража­ется известной формулой термодинамики:

, где индексы (2.1)

То же изменение внутренней энергии можно выразить через энергети­ческую светимость, площадь поверхности шара и время:

(2.2) Приравняем правые части уравнений (2.1) и (2.2):

-

Разделим переменные:

- (2.3)

Интегрируя (2.3) по всему промежутку времени охлаждения шаров, получим:

, (2.4)

где - постоянная интегрирования, значение которой мо­жет быть найдено из (2.4) при начальном условии t=0, т. к. Т=Т0..Тогда

(2.5)

Отсюда время остывания несложно выразить из (2.5):

Так для алюминиевого шара tAℓ=11,1ч время остывания больше, чем для стального tст=2,6ч.

Ответ: tAl = 11,1 ч; tст=2,6 ч.

Задача 5. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1)ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ1=0,155 мкм; 2) -излучением с длиной волны λ2=1 пм (АAg=7,7 эВ).

Анализ и решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из

уравнения Эйнштейна для фотоэффекта одноэлектронного приближения:

ε=А+Тmax , (5.1)

где ε- энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А – работа выхода; Тmax - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле:

ε=hc/λ , (5.2)

где h - постоянная Планка; с - скорость света в вакуума; λ - длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть найдена по формуле (при <<с ):

(5.3)

или по релятивистской формуле ( при ~с ) из специальной теории относительности:

, и , (5.4)

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект. Если энергия ε фотона много меньше энергии покоя ео= 0,51 МэВ электрона, то может быть применена формула (5.3) для «медленных» электронов. Если же она сравнима по величине с E0 , то вычисление по формуле классической физики (5.3) при­водит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (5.4).

1).Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по фор­муле (5.2):

εI=hc/λ=6.63∙10-34∙3∙108/1.55∙10-7=1.28∙10-18 Дж.

или во внесистемных единицах:

ε1= 1,28∙10-18/ 1,6∙10-19= 8 эВ, .

Полученная энергия фотона много меньше энергии по­коя электрона Е0=0,51 МэВ. Следовательно, для данного случая кинети­ческая энергия фотоэлектрона в формуле (5.1) может быть выражена по классической формуле (5.3):

откуда:

2). Вычислим энергию фотона - излучения:

ε2=hc/λ=6.63∙10-34∙3∙108/10-12=1,99∙10-13 Дж.

или во внесистемных единицах:

ε2=1,99∙10-13/1,6∙10-19=1,24∙106 эВ= 1,24 МэВ.

Работа выхода электрона ( ААg, = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона ( Е2= 1,24 МэВ) поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона Тmax= Е2= 1,24 МэВ. Так как в данном случае то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (5.4). Из этой формулы найдем:

Заметив, что и , получим:

Ответ: , .

Задача 7. На слабо связанный электрон падает рентгеновский фотон с энергией

ε =0,1 МэВ и рассеивается под прямым углом. Найти: 1) приращение длины волны фотона,

2) энергию ε' рассеянного фотона, 3) кинетическую энергию Т электрона отдачи.

Анализ и решение. 1) Изменение длины волны рентгеновского фотона при рассеянии на электроне на угол в эффекте Комптона определяется по формуле:

(7.1)

С учетом условия задачи: Δλ=λc(1-cos900)=2,436 пм .

2) Энергию рассеянного фотона ε' можно

определить, если, учитывая выражение энергии через

длину волны, преобразовать (7.1) к виду:

.

Следовательно, вводя энергию покоя

Рис. 26.2 электрона , можно рассчитать

энергию рассеянного фотона:

3) кинетическая анергия Т электрона отдачи определяется из закона сохранения энергии, по которому разность между энергией ε падающего и энергией ε ' рассеянного фотона передается нерелятивистскому элек­трону:

Т = ε- ε'=16,4 кэВ .

Ответ: Δλ= 0,2436 пм, ε'=83,6 кэВ, Тс=1б,4 кэВ.

Боровская теория атома водорода. Волновые свойства частиц

Задача 1. Оценить относительное изменение уровня энергии электрона в основном состоянии для атома водорода при учете конечности массы ядра.

Анализ и решение. В реальном атоме электрон и ядро вращаются вокруг их центра массы. Поэтому энергия стационарного состояния атома En слагается из кинетической энергии электрона и ядра Т и их взаимной потенциальной энергии U .

Для вычисления этой внутренней энергии предполагается, что расстояние между центрами масс ядра и электрона выражается , где соответственно R и расстояния частиц от центра масс, масса ядра М, масса электрона m, a их скорости и .

Между частицами действуют кулоновские силы, которые каждой частице сообщают нормальные ускорения такие, что:

. (1.1)

Следовательно, энергия стационарного состояния атома, определяемая энергиями движения частиц и взаимного притяжения, равна

(1.2)

Для преобразования формулы (1.2) к виду используемому в случае неподвижного ядра (обычно предполагается для бесконечно большой массы ядра по сравнению с массой электрона) необходимо определить b. Это возможно, если воспользоваться постулатом Бора и законом сохранения момента импульса для ядра и электрона движущихся вокруг их центра массы.

, (1.3)

(1.4)

Из уравнения (1.4) можно найти связь b и r:

, откуда (1.5)

Решение уравнения (1.1) совместно с (1.3) и (1.5) определяет радиусы допустимых орбит:

(1.6)

Следовательно, выражение для внутренней энергии атома может быть найдено из уравнения (1.2) с учетом (1.5) и (1.6):

(1.7)

Для Z=1 и уравнение (1.7) определяет энергию стационарного состояния атома водорода, полученного в предположении неподвижного ядра:

(1.8)

Таким образом, относительное изменение уровня энергии электрона при учете

конечности массы ядра составит:

Ответ:

Задача 4. На узкую щель шириной направлен пучок электронов, имеющих скорость . Найти расстояние между двумя максимумами первого порядка в дифракционной картине, наблюдаемой на экране, который находится на расстоянии см от щели и ей параллелен.

Анализ и решение. Проходя через щель, электроны рассеиваются и на экране формируют дифракционную картину. По гипотезе де Бройля длина волны, соответствующая частице массой , движущейся со скоростью < , определяется величиной:

(4.1)

Условие для наблюдения максимума интенсивности в дифракционной картине -го порядка позволяет найти его угловое положение по уравнению:

, (4.2)

где =0, 1, 2, 3, … - порядковый номер максимума, - ширина щели.

Для максимумов первого порядка угол мал, что позволяет сделать приближение . Тогда из уравнения (4.2) угловое расстояние между первыми максимумами .

Линейное расстояние на экране выражается:

(4.3)

Учитывая соотношение де Бройля (4.1), рассчитывается:

Ответ: 60 мкм.

Задача 6. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию Т электрона, находящегося в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы 10-10 м.

Анализ и решение. Электрон в потенциальной яме находится в пределах области с неопределенностью:

(6.1)

Физически разумная неопределенность импульса не должна превышать значения самого импульса р:

(6.2)

Тогда, используя соотношение неопределенности, и выражения (6.1) и (6.2), можно записать:

(6.3)

Откуда значение минимальной кинетической энергии вычисляется:

Ответ: .