Практикум по электромагнетизму, оптике и атомной физике (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

,

ПРАКТИКУМ

ПО ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ, ОПТИКЕ И АТОМНОЙ ФИЗИКЕ

Методические указания для студентов обучающихся по специальности 250203.65 – «Садово-парковое и ландшафтное строительство».

Ставрополь

2011

Рецензенты:

доцент, кандидат физико-математических наук

доцент, кандидат технических наук ёва

,

Практикум по электромагнетизму, оптике, атомной физике: учебное пособие. – Ставрополь: , 2011. –

В настоящем учебно-методическом пособии приведён анализ и решения задач по электромагнетизму, оптике, атомной физике для выполнения самостоятельной работы при подготовке к практическим занятиям.

Предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности 250203.65 – «Садово-парковое и ландшафтное строительство».

ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Задача 2. Определить силу тока в резисторах сопротивлением R1=2Ом, R2=6Oм, R3=1Ом и напряжение на концах резисторов U1, U2, U3, если

(рис. 10.2). Внутренними сопротивлениями пренебречь.

Анализ и решение: выберем направление токов произвольно, направление

обхода контуров по часовой стрелке

(рис. 10.2). Составим систему уравнений по правилам Кирхгофа, т. к. неизвестных

Ристоков) три, необходимо составить систе -

му из трех уравнений.­
По первому правилу Кирхгофа можно составить (n-1) - линейно-независимых уравнений, в нашем ­ случае одно уравнение, 2-1=1.

Для узла "В" запишем: -I1+I2-I3=0 (1)

По второму правилу Кирхгофа для контуров и имеем:

U1+U2=

-U1-U3= - (2)

Объединяя все три уравнения (1) и (2), и пользуясь законом Ома для участка цепи, получим следующую систему уравнений

(3)

Решаем систему уравнений (3) методом Крамера. Для решения составляем главный определитель системы

(4)

и определители при неизвестных , путем замены соответствующих столб­цов в главном определина столбец свободных членов.

Получаются следующие определители:

; ; (5)

Искомые значения токов и вычисляются из выражений:

Напряжения находятся соответственно: U1=1B; U2=3B; U3=0B.

Проверка решения. Для узла "В" по первому правилу Кирхгофа имеем:

-I1+I2-I3=0, т. е. -0.5+0.5-0=0 0=0

Задача 4. Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи U=2.1B,

сопротивления R1=5Ом , R2=6Ом , R3=3Ом (рис.10б).

Какой ток I показывает амперметр?

Анализ и решение: найдем эквивалентное сопро­тивление цепи состоящее

из двух последовательных цепочек сопротив­лений: и 2-х параллельно соеди­ненных сопротивлений R2 и R3 . Для параллельных сопротивлений R2 и R3 имеем:

; (1)

Тогда общее эквивалентное сопротивление

Рис.10.6 (2)

Зная эквивалентное сопротивление цепи R123 и напряжение на зажи­мах элемента по закону Ома для участка цепи, имеем

(3)

Т. к. на зажимах элемента напряжение известно, а оно приложено ко всей внешней цепи, то имеем следующее равенство

U=UR1+UR2

отсюда получаем выражение для падения напряжения на сопротивлении R2
UR2=U-UR1=U-I1R1= (4)

Т. к. R2 и R3 подключены параллельно, то падение напряжения на соп­ротивлении R3 равно падению напряжения на сопротивлении R2:

UR3= =

= (5)

Величину тока прошедшего через амперметр можно выразить соотношением:

(6)

После подстановки числовых исходных данных в конечную формулу для рас­чета тока протекающего через амперметр, проведя вычисления, получаем его значение, равное .

РАБОТА И МОЩНОСТЬ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Задача 2. При силе тока I1 = 4 А во внешней цепи батареи аккумуляторов

выделяется мощность Р1 = 24 Вт; при силе тока I2= 2 А - соответственно

Р2 = 16 Вт. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление r батареи.

Анализ и решение: мощность тока, т. е. работа, совершаемая током в единицу

времени, равна P=UI

Отсюда для нашего случая имеем

, и .

На основании закона Ома для замкнутой цепи можно записать сле­дующие равенства:

и

Преобразуя эти выражения, имеем:

,

Так как U1=I1R1; U2=I2R2 , то получаем следующие уравнения:

P1=(I1R1)I1=(-I1r)I1,

P2=(I2R2)I2=(-I2r)I2,

В результате получаем систему двух уравнений, где неизвестными величинами делаются ЭДС к внутреннее сопротивление батареи r:

Решаем систему уравнений относительно и r методом подстановки

и

Подставляя численные значения известных величин P1 = 24 Вт, P2= 16 Вт,

I1= 4 А, I2 = 2 А, получаем r = 1 Ом; = 10 В.

РАСЧЕТ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ТОКОВ

Задача 1. Прямой провод на одном из участков переходит в полуокруж­ность радиуса

R= 2,5 см. Ток текущий по проводу I= 5A. Найти величину магнитного поля в центре полуокружности.

Анализ и решение: магнитное поле в любой точке

пространства можно рассматривать как результат Рис. 13.2

сложения полей элементов с током различ­ной конфигурации. В рассматриваемых условиях (рис. 13.2) ток в бесконеч­ном прямом проводе не дает вклада в магнитное поле в точке 0,

так как она лежит на оси провода (через нее нельзя провести силовую линию охватывающую этот проводник). Для полу­ окружности поле в точке 0 можно найти, если воспользоваться выраже­нием для магнитной индукции в центре кругового витка вида

, (1)

тогда и .

Интересно отметить, что в центре кругового витка все элементы кольца создают поле с одинаковыми по величине и по направлению . Поэтому n - я часть кольца создаст поле . Ответ: B0= 20мкТл.

Задача 2. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура?

Анализ и решение: значения индукции могут быть определены на основании закона

Био–Савара-Лапласа, следствием которого являются простые формулы для токов в проводниках различной конфигурации (рис. 13.3).

Магнитная индукция в центре кругового

проводника с током ,

где R - радиус проводника; I - сила тока;

Рис. 13.3

- магнитная постоянная индукции в центре квадрата по принципу суперпозиции

,

где индукции, создаваемые каждой из сторон квадрата.

Из соображений симметрии абсо­лютные значения всех четырех индукций одинаковы. Нетрудно убедиться, что и направления всех четырех векторов совпадают. Поэтому, используя известные формулы для индукции магнитного поля, создаваемой

отрез­ком проводника, можно записать

,

где b - расстояние от проводника до точки наблюдения; и - углы, образованные направлением тока и радиус-вектором, проведенны­ми от концов проводника

к точке наблюдения. Так как

и , то ,

Отношение индукций .

Ответ: в 1,15 раз.

Задача 3. Изолированный проводник изогнут в виде пря­мого угла со стороной 20см.

В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10см так, что стороны угла

являются касательными: к кольцевому (рис. 13.4). Сила токов в угловом и кольцевом про

водниках равна 2 А. Найти напряженность в центре кольца. Влияние подводящих проводов

не учитывать.

Анализ и решение: напряженность dH в заданной точке поля от эле­мента проводника dl с током I по закону Био-Савара-Лапласа
. (1) Откуда напряженность H1 в центре окружности радиуса R

(в точке ) по­лучается интегрированием (1):

(2) Рис. 13.4

Напряженность, создаваемая в точ­ке 0 конечным отрезком прямого проводника на расстоянии R от него (рис. 13.4), равна

С учетом условия задачи, при кото­ром и HAB=HHD, напряженность от двух сторон угла

. (3)

Так как направления напряженностей от углового и кольцевого токов совпадают (они направлены за плоскость рисунка), то результирующая напряженность в центре кольца

в соответствии с принципом суперпози­ции равна сумме выражений (2) и (3) , (4)

В случае, когда в местах касания токи в кольцевом и угловом проводниках противоположны, результирующая напряженность в соответствии с уравнением (4) равна

. Ответ: H0 = 14,5 A/м; = 5,5 А/м.

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ

Задача 1. Покоящийся в начальный момент электрон ускоря­ется электрически полем, напряженность которого постоянна. Через t=0,01 c он влетает в магнитное поле, перпендикулярное электрическому, магнитная индукция которого В= 10мкТл. Во сколько раз нормальное ускорение электрона в этот момент боль­ше его тангенциального ускорения?

Анализ и решение

Тангенциальное ускорение может быть найдено при использо­вании основного

уравнения дина­мики. Так на электрон, находя­щийся в электрическом поле с на­пряженностью , действует си­ла , которая сообща­ет ускорение (см. рис. 14.2), равное

, (1)

Рис. 14.2 где m – масса; е - заряд электрона; .

Через время t, к моменту влета в магнитное поле, ско­рость электрона стала

(2)

Со стороны магнитного поля на электрон будет действовать сила Лоренца , сообщающая ему при нормальное ускорение (см. рис. 14.2)

. (3)

Подставив уравнение (2) в уравнение (3), получим

. Откуда (4)

Расчет численного значения отношения составляющих ускорений по условию задачи дает

. Ответ: .

Задача 2. В электронно-лучевой трубке (ЭЛТ) с магнитной отклоняющей системой электроны, разогнанные электрическим по­лем, попадают в магнитное поле, перпендикулярное оси электрон­ного пучка, и отклоняются на малый угол. Анодное напряжение в трубке U = 5кВ. Магнитное поле, которое можно считать однородным, действует в области длиной вдоль оси пучка. Расстояние от центра этой области до экрана X.

1) Определить чувствительность электронного луча к магнитному полю (Sm), т. е. смещение пятна на экране, вызываемое магнитным полем с В= 1Тл.

2) При подаче на катушки отклоняющей системы постоянного тока I0= 1,25A смещение пятна на экране y0= 0,5см. Определить дли­ну Y следа на экране при подаче на катушки переменного тока с действующим значением Iд= 3А.

Анализ и решение

1) Электроны в ЭЛТ при заданном анодном напряжении U приобретают скорость ,

, то

. (1)

В магнитном поле отклоняющей системы на электро-

Рис. 14.3 ны дейст­вует сила Лоренца в течение времени t1=L/v0 ,

которая соз­дает ускорение : w┴, где . Откуда

w┴ (2)

В этой области (рис. 14.3) частицы сместятся от оси на расстоя­ние

(3)

и приобретут перпендикулярную к составляющую скорости

(4)

В дальнейшем, вне поля, электроны летят прямолинейно, равномерно и за время

t2=(X-L/2)/v0

пучок дополнительно смещается на расстояние

(5)

Таким образом, смещение следа пучка относительно точки определяемое выражениями (1), (3) и (5):

, (6)

чувствительность электронного лучка к магнитному полю

,

2) На основании закона Био-Савара, а также уравнения (3), несложно установить, что смещение пятна на экране пропорцио­нально силе тока на катушке отклоняющей системы.

Для перемен­ного тока смещение относительно точки 0 симметрично, а дейст­вующее значение силы тока в 1,41 раза меньше амплитудного. Следовательно,

. (7)

Откуда длина следа на экране

Ответ: Sm= 31,5м/Тл; Y= 3,39см.

Задача 3. Электрон, имеющий скорость 8000 км/с, влетает в однородное магнитное

поле с индукцией В= 31,4мТл под углом 30° к ее направлению. Определить радиус и шаг

винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Анализ и решение

Разложим скорость нерелятивистского электрона на две составляющие (рис.14.4): параллельную линиям ин­дукции магнитного поля v׀׀ и пер­пендикулярную им

Рис. 14.4 ׀׀= или

Благодаря наличию составляющей скорости на электрон действует сила Лоренца, поэтому он движется по окружности, ле­жащей в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Радиус этой окружности определяется условием

(2)

Отсюда . (3)

Вдоль направления вектора сила Лоренца не действует (так ), поэтому частица движется равномерно со скоростью ║. В результате сложения двух движений электрон перемещается по винтовой линии радиусом R и шагом h

h=║ּT. (4)

где Т - период движения электрона по окружности

┴ (5)

Учитывая соотношения (1), (3), (5), из уравнения (4) полу­чим

(6)

Вычисления выражений (3) и (6) дают следующие результаты

,

.

Ответ: R= 7см, h= 79см.

РАБОТА ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ

В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Задача 1. На двух тонких нитях висит горизонтальный стержень длиной l = 1м и массой т= 0,1 кг. Он находится в однород­ном магнитном поле индукцией В= 0,1 Тл, направленном вертикально вниз. На какой угол отклонятся нити, если пропустить по стержню ток I= 10А?

Анализ и решение: на стержень, помещенный в магнитное поле, действуют три силы (рис. 15.3): тяжести - , натяжения нитей - и сила Ампера - , определя­емая законом . (1)

Запишем условия равновесия стержня в проекциях на выбран­ные оси с учетом выражения (1)

ОХ: ,

ОУ: . (2)

Проводя в (2) соответствующие деления и преобразования,

, то = 45,5˚.

Ответ: = 45,5˚.

Задача 3. Виток диаметром 20см может вращаться около вертикальной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установили в плос­кости магнитного меридиана и пустили по нему ток силой 10А. Горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли в данном месте ВГ = 20 мкТл. Найти механический момент , который нужно приложить к витку, чтобы удержать его в прежнем положении.

Анализ и решение: при пропускании тока на контур действует вращательный момент

, (1)

стремящийся установить магнитный момент контура вдоль горизонтальной составляющей земного магнитного поля (см. рис. 15.5). Удерживающий момент по модулю равен и противоположен ему по направлению. Определяя

, Рис. 15.5

из выражения (1) при sin90˚=1 находим

.

Ответ; .

Задача 4. Плоский квадратный контур со стороной 10см, по которому течет ток 100А свободно установился в однородном поле с индукцией В= 1Тл. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура на угол 90˚ относи­тельно оси, проходящей через середину его противоположных сторон.

Анализ и решение: по условию задачи на контур в свободном состоянии момент сил не действует ( N= 0 , ), т. е. магнит­ный момент контура и вектор магнитной индукции совпадают по направлению. Если внешние си­лы выведут контур из положения равновесия, то возникающий момент (см. рис. 15.6)

, где pm =IּS=Iּa2 (1)

будет стремиться возвратить кон­тур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами.

Требуемая работа может быть определена двумя способами.

Способ № 1. Работа равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур:

, , (i=1,2) (2)

где Ф1 - магнитный поток, пронизывающий контур до поворота , Ф2 - поток после поворота т. е. . Следовательно,

.

Способ № 2. Элементарная работа внешних сил при повороте контура на угол равна:

(3)

Подставив уравнение (1) в уравнение (3), получим

(4)

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол

(5)

Используя числовые данные из условия задачи, получим то же самое значение

А=100ּ1ּ(0,1)2=1Дж.

Ответ: А= 1Дж.

Задача 5. В центре соленоида (длина lc = 70см, диаметр витков dc= 7см, число витков Nc= 300) расположена плоская катушка, состоящая из Nк = 100 витков площадью Sк = 0,3см2 каждый. Плоскость витков катушки составляет угол 37˚ с осью соленоида. По обмотке соленоида течет ток силы , а по обмотке катушки - ток силы . Определить: 1) вращающий момент, действующий на катушку в начальном поло­жении; 2) работу, совершаемую силами поля при повороте катушки до положения устойчивого равновесия; 3) работу внешних сил при перемещении катушки (после поворота) из центра соленоида в середину одного из оснований.

Анализ и решение: для упрощения вычисления индукции магнитного воля внутри соленоида (рис.15.7) воспользуемся формулой для бесконечно длинного соленоида вида:

(1)

Такое приближение возможно, т. к. lc= 10ּdc ,что составит погрешность в определении индукции по отношению к точному значению, учитывающему его конечность, ~ 0,5%

Следует также считать, что поле соленоида в области пребывания плоской катушки однородное, т. к. <<.

5.1. В заданном поле на катушку действует вращающий момент:
, (2)

где pm=IкSкNк - магнитный момент катушки.

Заменив векторное уравнение (2) скалярным соотношением и под­ставив в него выражения рт и Вс . получим

(3)

Здесь - угол между векторами и , который в зави­симости от направления токов Iк и Ic принимает значения

либо (4)

Так как при обоих возможных значениях угла имеется равенство , то для вращающего момента в соответствии с формулой (3) вычисления дают

5.2. Катушка будет находиться в положении устойчивого равнове­сия, если магнитный момент катушки направлен по полю , т. е. . В этом случае на витки катушки действуют растягивающие силы и при отклонении катушки от оси соленоида эти силы стремиться вернуть её в исходное положение. При угле на витки действуют сжимающие силы, которые, в случае отклонения катушки, стре­мятся повернуть её на 180˚ (неустойчивое равновесие).