МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Утверждено на заседании кафедры
отопления, вентиляции и конди-
ционирования «27» сентября 2007 г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению работы «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» по дисциплине «Численные методы в системах ОВиК»студентами специальности 290700 «Теплогазоснабжение и вентиляция»
Ростов-на-Дону
2008
Методические указания по выполнению курсовой работы «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» по дисциплине «Численные методы в системах ОВиК» студентами специальности 290700 «Теплогазоснабжение и вентиляция». –Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2008. – 28 с.
Методические указания содержат сведения о численных методах. Рассмотрено решение задач нестационарного температурного поля и двумерно температурного поля.
Составители: канд. техн. наук ,
канд. техн. наук
Редактор
Темплаш 2008г., поз.225
Подписано в печать 11.05.08. Формат 60х84/16
Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд. л. 2,0.
Тираж 100 экз. Заказ
Редакционно-издательский центр
Ростовского государственного строительного университета
г. Ростов-на-Дону, ул. .
© Ростовский государственный
строительный университет, 2008
Введение
Широкое использование математических методов и вычислительной техники открыло новые возможности совершенствования методов прогнозирования и оптимизации инженерных систем зданий. Наиболее актуальным является использование новых методов для оптимизации потребления тепловой энергии и прогнозировании параметров микроклимата в современных зданиях.
Математическая модель
В прикладных задачах исследуется не математический объект, а явления природы, производственный процесс и т. д. Исследование начинается с формализации объекта и построения соответствующей модели. Выделяются наиболее существенные черты и свойства и описываются с помощью математических уравнений. После построения математической модели появляется возможность изучение математическими методами.
Пример. Определить площадь комнаты.
Реальный объект - пол комнаты - заменяют абстрактной моделью – прямоугольником. Ему приписывают размеры, полученные в результате измерений, и площадь такого прямоугольника приближенно принимают за искомую площадь пола.
Соответствие математической модели изучаемому объекту
Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Она является его приближенным отражением. Результаты вычислений носят приближенный характер. Точность определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта.
Математические модели позволяют свести исследование реального «нематематического» объекта к решению математической задачи, воспользоваться для его изучения универсальным математическим аппаратом и получить благодаря этому объекту детальную количественную информацию.
Для решения математической задачи важно указать систему правил, которая задает строго определенную последовательность математических операций, приводящих к искомому ответу. Такую систему называют алгоритмом.
В простейших случаях это может быть выражено формулой.
Например, определение площади треугольника. Она равна произведению высоты на половину основания.
Однако существуют алгоритмы, в которых достаточно сложно использовать формулы.
Например, метод нахождения наименьшего частного делителя. Метод основан на последовательно осуществляемом переборе.
Решение уравнения в виде формулы не правило, а скорее исключение.
Метод решения линейных и квадратичных уравнений известен со времен Древней Греции. Решения уравнения третьей и четвертой степени получены только в XV в.
Формулы для решения полинома пятого и более высокого порядка не существует.
При рассмотрении неалгебраического уравнения задача усложняется. Явные выражения для поиска корней становятся исключением.
Пример. Для нахождения корня уравнения используем графический метод. Нанесем на график две кривые, характеризующие правую и левую часть уравнения:
x=cos(x) (1)
Y=X; Y=cos(x)
Рис. 1. Графическое решение уравнения x=cos(x)
Кривые пересекаются на отрезке 0>с>1; с - корень уравнения, однако получить его по формуле невозможно.
Для определения корня важное значение имеет алгоритм вычисления. Предварительно, как правило, формулу преобразуют и представляют в следующим виде:
f(x) = 0 (2)
Для этой формулы возможно выполнить анализ ее свойств:
- непрерывность;
- дифференцируемость и др.
Качественное исследование уравнений
При решении уравнений важно знать заранее, имеет ли оно корни, и если имеет, то где они примерно располагаются.
На рис. 2 изображен график некоторой функции f(x), непрерывной на отрезке [0,1] и принимающей на концах отрезка значение разных знаков:
f(0)<0, f(1)>0.
Рис.2. Пример функции f(x), непрерывной на отрезке [0,1] и принимающей на концах отрезка значение разных знаков
График является непрерывной функцией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Линия должна перейти из нижней полуплоскости Y<0 и верхнюю Y>0. При этом она не должна «перепрыгнуть» через ось X, а должна ее обязательно пересечь в некоторой точке X=c .В этой точке функция f(x) обращается в нуль, т. е. с является корнем уравнения (2).
Теорема о существовании корня у непрерывной функции
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайне мере корень уравнения (2).
В качестве примера обратимся к уравнению (1), которое предварительно перепишем в виде
f(x)=x-cos(x)=0.
Функция f(x=x-cos(x) непрерывна на отрезке [0,1], а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки:
f(0)=-1<0, f(1)=1-cos(1) >0.
Отсюда сразу следует существование на отрезке [0,1] по крайней мере одного корня уравнения (1). Ранее к этому выводу пришли с помощью наглядных, но математически нестрогих геометрических соображений. Теперь этот вывод – прямое следствие сформулированной теоремы. Она не позволяет определить общего числа корней. Однако в данном случае это легко сделать с помощью дополнительных исследований.
Вычислим производную функцию f(x):
f(x)’=1+sin(x).
В интересующей нас области измерения переменной x: xÎ[0,1] она положительна. Следовательно, функция f(x) на отрезке [0,1] монотонно возрастает и может иметь только один корень.
Метод вилки
В основе метода лежит одно из самых простых и эффективных алгоритмов решения уравнения. Его основу составляет процесс построения по методу «артиллерийской вилки» последовательности вложенных друг в друга отрезков [an, bn]. Их концы образуют две монотонные последовательности, одна из которых { an, } («недолеты») сходятся к некоторой точке x=c снизу (an<с), вторая { bn, } («перелеты») – сверху (bn>с). При выполнении условий теоремы, сформулированной выше, доказывается, что предельная точка x=c является корнем уравнения. Тем самым оказывается установленным факт существования решения этого уравнения на отрезке [a, b]. Сам процесс построения последовательности вложенных отрезков [an, bn], содержащих искомый корень x=c, позволяет найти его приближенное значение с любой точностью ε .
Описание метода
Предположим для определенности, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка [a, b] отрицательное значение, на правом – положительное:
f(a)<0, f(b)>0.
Возьмем среднюю точку отрезка [a, b] ξ= (a+b)/2 и вычислим в ней значение функции f(x) . Если f(x)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли на отрезке [a, b] точку с= ξ, в которой наша функция обращается в нуль. В противном случае, когда f(x)≠0, поступим следующим образом: рассмотрим два отрезка [a, ξ] и [b, ξ] и выберем один из них, исходя из условия, чтобы функция f(x) принимала на его концах значения разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a1, b1] . По построению
f(a1) < 0, f(b1) >0.
Возьмем среднюю точку отрезка [a1, b1] ξ1= (a1+b1)/2 и опять вычислим в ней значение функции f(ξ1). Если f(ξ1)=0, то доказательство теоремы закончено. В противном случае f(x)≠0, снова рассмотрим два отрезка [a1, ξ], [b1, ξ] и выберем тот из них, на концах которого функция f(x) принимает значение разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a2, b2]. По построению
f(a2) < 0, f(b2) >0.
Будем продолжать этот процесс. В результате либо он оборвется на некотором шаге n благодаря тому, что f(ξn)=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения решен. Рассмотрим второй случай.
Неограниченное продолжение процесса дает последовательность отрезков [a, b], [a1, b1], [a2, b2], . . . Эти отрезки вложены друг в друга: каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:
an ≤ an+1<bn+1 ≤bn (3)
причем
f(an) < 0, f(bn) >0.
Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:
(bn-an)= (b-a)/2n =0.
Рассмотрим левые концы отрезков {an}. Они образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность. Такая последовательность имеет предел, который мы обозначим через с1 :
an = c1
Согласно лемме о переходе к пределу в неравенствах, имеем
C1 ≤ bn (4)
Теперь рассмотрим правые концы отрезков {bn}. Они образуют монотонную не возрастающую ограниченную последовательность, которая тоже имеет предел. Обозначим этот предел через с2 :
bn =c2
Согласно неравенству (4) и лемме, эти пределы удовлетворяют неравенству c1 ≤ c2 .
Итак, an ≤ c1 ≤ c2 ≤ bn
и, следовательно, c2 –c1 ≤ bn – an =(b-a)/2n
Таким образом, разность с2 – с1 меньше любого наперед заданного положительного числа. Это означает, что с2 – с1=0, т. е. с2 = с1=с
Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности. Используя непрерывность функции f(x) , докажем, что она является корнем уравнения.
Мы знаем, что f(an) ≤ 0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах имеем
f(c)= f(an) ≤ 0 (5)
Аналогично, учитывая, что f(bn) ≥ 0., получаем
f(c)= f(bn) ≥ 0., . (6)
Из (5) и (6) следует, что
f(c)= 0,
т. е. с – корень уравнения. Теорема доказана.
Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения. На n-м шаге процесса получаем an ≤ c.
Это двойное неравенство показывает, что число an определяет искомый корень с с недостатком, а число bn – с избытком, с ошибкой, не превышающей длину отрезка ∆n = bn – an = (b-a)/2n . При увеличении n ошибка стремится к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=1/2 . Если задана необходимая точность ε (ε>0) , то чтобы ее достигнуть, достаточно сделать число шагов N, удовлетворяющее условию:
N>log2 ((b-a)/ ε ).
Пример. Рассмотрим отапливаемое помещение, которое имеет наружные ограждения площадью F = 50 м2 , сопротивление теплопередачи составляет R=2,5 м2 оС/Вт. В помещении установлен отопительный прибор, поверхность которого составляет А=1,5 м2 , температура подающей воды tг =95 оС, а обратной tоб =70 оС.
Требуется определить температуру внутреннего воздуха tв , при температуре наружного воздуха tн = –20 оС?
Для решения поставленной задачи составим уравнение, характеризующее баланс тепловой энергии в помещении.
Потери теплоты через ограждающие конструкции могут быть определены по следующей формуле:
qт. п. =(tв – tн)F/R (7)
Поступление теплоты от нагревательных приборов может быть определено по следующей формуле:
qпр = А qном (Δtср. /70)1+n (8)
где qном – номинальный тепловой поток от отопительного прибора, Вт/м2 (qном=600 Вт/м2);
Δtср.= 0,5(tг + tоб) –tв ;
n – коэффициент характеризующий теплоотдачу отопительного прибора (n=0,4) .
Приравниваем формулы (7) и (8)
(tв – tн)F/R= А qном (Δtср. /70)1+n. (9)
После подстановки известных величин формула приобретет вид
(tв +20)50/2,5 =1,5•600•((82,5- tв)/70)1,4 (10)
Решение данного уравнения для определения температуры внутреннего воздуха (tв) в общим виде представляет определенные затруднения, поэтому воспользуемся методом «вилки». Для этого выполним преобразования. Перенесем все члены уравнения в левую часть
(tв +20)50/2,5 – 1,5.600((82,5- tв)/70)1,4 =0.
Предварительный анализ свидетельствует, что данная функция неразрывна и может приобретать положительные и отрицательные значения.
Определим диапазон, на котором будем искать значение корня. При значении tв =5 oC значение функции f(10)=-345,3191649. При значении tв =25 oC, значение функции f(25)=216,6546618. Можно утверждать, что на концах отрезка [10, 25] функция будет приобретать противоположные знаки, т. е. корень уравнения будет находиться на данном отрезке. Вычисление выполним в табличной форме(табл.1).
Таблица 1
N | an | bn | ξ= (a+b)/2 | f(ξn) |
0 | 10 | 25 | 17,5 | -61, |
1 | 17,5 | 25 | 21,25 | 78, |
2 | 17,5 | 21,5 | 19,5 | 13, |
3 | 17,5 | 19,5 | 18,5 | -23, |
4 | 18,5 | 19,5 | 19 | -5, |
5 | 19 | 19,5 | 19,25 | 4, |
6 | 19 | 19,25 | 19,125 | -0, |
7 | 19,125 | 19,25 | 19,1875 | 1, |
8 | 19,125 | 19,1875 | 19,15625 | 0, |
9 | 19,125 | 19,15625 | 19,140625 | 0, |
Результаты расчетов, связанных с девятикратным делением исходного отрезка [10, 25] пополам даны в табл.1. Они определяют корень с с точностью ε< (25-10)/29 <0,029297.
Можно утверждать, что искомый корень уравнения принадлежит отрезку [19,125, 19,15625].
Метод итераций
(метод последовательных приближений)
Предположим, что уравнение можно записать в виде
x=φ(x).
Возьмем произвольное значение xo из области определения функции φ(x) и будем строить последовательность чисел {xn}, определенных с помощью рекуррентной формулы:
xn+1 = φ(xn), n=0, 1, 2, 3, . . .
Последовательность {xn} называется итерационной. При ее изучении встают два вопроса:
1. Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа xn принадлежать области определения функции φ(x)?
2. Если итерационный процесс бесконечен, то как ведут себя числа xn при n→ ∞ ?
При определенных ограничениях на функцию φ(x) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения:
xn =c, c= φ(c).
Функция φ(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, если существует такая постоянная α, что для любых x1 и x2 , принадлежащих отрезку [a, b] , имеет место неравенство
| φ(x1)- φ(x2)| ≤ α | x1 – x1 |.
Величину α в этом случае называют постоянной Липшица.
Если функция φ(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то она непрерывна на этом отрезке.
Пусть xo - произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции φ(x) в этой точке
Δf =f(xo+ Δx) – f(xo).
Оценим его с помощью неравенства
| Δf|| ≤ α |Δ x|.
Таким образом, lim Δf =0, что означает непрерывность функции.
Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмем на графике функции y= f(x) две произвольные точки: М1 с координатами (x1, f(x1)) и М2 с координатами (x2, f(x2)) (рис.3) . Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки. Оно имеет вид
y=f(x1)+k(x-x1),
где k – тангенс угла наклона прямой к оси x –определяется по формуле
k = (f(x1)- f(x2))/(x1 –x2).
Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то при произвольном выборе точек М1 и М2 будем иметь: |k|≤α. Таким образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведенных через всевозможные пары точек графика функции y= f(x).
Рис.3. Геометрическая иллюстрация условий Липшица
Сделаем следующий шаг – предположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную производную: |f’(x)|≤m при xÎ[a, b] . Можно доказать, что в этом случае она удовлетворяет условию Липшица с постоянной α=m. Данное уравнение также имеет простой геометрический смысл - каждой секущей графика функции y= f(x) можно сопоставить параллельную ей касательную (рис. 4). Поэтому наибольший тангенс угла наклона секущих не превосходит наибольшего тангенса угла наклона касательных, и его можно оценить той же константой m : |k|≤m. Таким образом, любая функция f(x) с ограниченной производной обязательно удовлетворяет условию Липшица.
Рис. 4. Геометрическая иллюстрация связи условия Липшица с предположением о дифференцируемости функции f(x)
Сходимость итерационной последовательности к корню уравнения может быть использована для приближенного определения этого корня с любой степенью точности. Для этого нужно только провести достаточное число итераций.
Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего данный метод, уравнение (10). Его можно представить в следующем виде
tв =45.((82,5- tв)/70)1,4 -20
Роль функции φ(x) в нем играет 45.((82,5- tв)/70)1,4 -20 . Это – дифференцируемая функция, которая имеет производную на отрезке [10, 25]. /φ’(x)/ =0,9((82,5-tв )/70)0,4 ≤ 0,9((82,5-10 )/70)0,4
Таким образом, функция удовлетворяет на отрезке [10, 25] условию Липшица с постоянной α=0,9((82,5-10 )/70)0,4 <0,912722.
Результаты вычислений по рекуррентной формуле, которая в нашем случае принимает вид xn+1 =45.((82,5-xn)/70)1,4 -20, даны в табл.2. За нулевое приближение была выбрана средняя точка отрезка xo =17,5.
Для удобства анализа итерационной последовательности ее члены расположены по два в строке. В результате образовались столбцы членов с четными и нечетными номерами. Сравнивая их между собой, видим, что четные члены меньше нечетных: итерационная последовательность скачет то вверх, то вниз. С возрастанием номера четные члены возрастают, а нечетные – убывают, приближаясь друг к другу. Такое поведение последовательности означает, что корень уравнения лежит между четными и нечетными итерациями, первые дают его значение с недостатком, вторые - с избытком. Это позволяет легко контролировать точность, достигнутую после любого числа итераций: погрешность не превышает разности между последними вычислениями нечетным и четным членами.
Таблица 2
n | X2n | X2n+1 |
0 | 17,5 | 20, |
1 | 17, | 20, |
2 | 18, | 19, |
3 | 18, | 19, |
4 | 18, | 19, |
5 | 18, | 19, |
6 | 18, | 19, |
7 | 18, | 19,3259953 |
8 | 18, | 19, |
9 | 19, | 19, |
10 | 19, | 19, |
11 | 19,0724448 | 19, |
12 | 19, | 19, |
13 | 19, | 19, |
14 | 19, | 19, |
Мы остановили процесс вычисления на 29-й итерации и можем написать для корня с двойное неравенство:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
