Выступление на семинаре городского МО учителей математики

Выступление на семинаре городского МО учителей математики

Исследовательская деятельность школьников в процессе решения геометрических задач.

Подготовила: учитель математики

МОУ-СОШ №39 города Белгорода

2008г.

Исследовательская деятельность школьников в процессе решения геометрических задач.

Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.

Геометрические задачи используются не только в качестве основного средства для усвоения математических понятий, но и как материал, способствующий раз­витию исследовательских умений, математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию уме­ния применять теоретические знания на практике. Поэтому обучение решению задач является одной из важ­нейших составляющих практики преподавания.

Особенно актуально этот вопрос встал с введением ГИА по геометрии. Выпускник основной школы должен воспользоваться всем своим багажом геометрических знаний и широким спектром методов решения задач. Но часто ученик оказывается в тупике, не знает с чего начать решение, как применить свойства. Как показывают практика обучения и анализ результатов ГИА по геометрии, умение решать задачи по планиметрии остав­ляет желать много лучшего. Причины здесь разные, но, по мнению методистов, основная причина кроется в сложившейся и ставшей тра­диционной практике обучения решению задач, которое проводится, как правило, по образцу.

Так, например, приступая к решению задачи по планиметрии, учитель предлагает выполнить рису­нок, выясняет, что известно и что нужно найти. Затем, если того требует выбранный способ реше­ния, предлагает дополнительное построение (про­вести прямую, параллельную стороне треугольни­ка, достроить данный треугольник до параллело­грамма и т. п.), не заостряя внимание учеников на том, почему необходимо именно это дополнитель­ное построение и почему оно вообще необходимо.

Здесь стоит обратить внимание на следующее обстоятельство. Дополнительные построения используются при решении задач по планиметрии чаще всего в том случае, когда в условии задачи оказывается недостаточно данных для решения. Тогда возникает вопрос о введении вспомогатель­ного элемента (дополнительного построения), которое преобразовало бы условие задачи и на­правило мысль учащегося в нужном направлении. В этом случае было бы неплохо подвести учащих­ся в процессе обсуждений плана решения к вы­воду о том, что «данных не хватает». Даже если ученики и не додумаются до нужного построения, то во всяком случае предложение учителя пока­жется им правомерным.

К дополнительным построениям прибегают и в случае поиска более рационального или более красивого способа решения. Учитель зачастую сам предлагает нужное дополнительное построение и подводит учащихся к нужному решению. При таком подходе ученики смогут лишь проследить за ходом мыслей учителя. Полезнее, однако, проделать вмес­те с учениками всю трудоемкую работу, связан­ную с получением оптимального решения.

Известно, что решение большинства задач по планиметрии не достигается с помощью жестких алгоритмов (как, например, при решении задач по алгебре), почти каждая геометрическая задача требует своего подхода. Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять их в каждом конкретном случае. Поэтому особое зна­чение имеет выработка разнообразных эвристи­ческих подходов, которые могут быть успешно применены при решении многих геометрических задач.

Важно также, чтобы задача выступала не толь­ко в качестве иллюстрации теории, как это часто происходит на уроках, а рассматривалась бы и как самостоятельный объект, как средство развития исследовательской и эвристической деятельности учащихся.

Мы предлагаем несколько спосо­бов решения одной задачи по планиметрии, де­тальный анализ которых позволит убедиться в реальной и существенной пользе проделанной работы. Этими материалами можно воспользоваться на уроках итогового повторения и при подготовке к экзамену к геометрии.

Решим следующую за­дачу:

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длиной 4 см проведена медиана к боковой стороне. Найти длину основания тре­угольника, если длина медианы равна 3 см.

На рисунке изображается равнобедренный тре­угольник АВС и проводится медиана АО боковой стороны (рис. 1). Полезным на начальном этапе работы может оказаться замена терминов их определениями.

Рис. 1

Вспомним, что называется медианой треугольника, и сделаем вывод, что ВО = ОС = 2 см.

I способ.

Анализируя рисунок, замечаем, что искомая сторона АС принадлежит двум треугольникам АОС и АВС, причем в обоих треугольниках известны две другие стороны.

Вспомним теоремы, связанные с нахождением одной из сторон, если извест­ны две другие. Третью сторону можно найти по теореме косинусов, но для этого нужно знать величину угла, противолежащего неизвестной сто­роне (или косинус этого угла). Таким образом, задача свелась к нахождению величины углов АОС и АВС.

Какой из углов можно найти? Анализируя ри­сунок, замечаем, что в треугольнике АВО извест­ны все три стороны. Следовательно, соsÐВ можно вычислить по теореме косинусов из DАВО:

совÐВ=(АВ2+В02-АО2)/(2АВ× ВО),

отсюда соsÐВ=11/16, следовательно, АС = см.

II способ.

Применим свойство медианы треугольника, заключающееся в том, что медиана делит тре­угольник на два равновеликих. Даже если вам не удастся найти еще один способ решения, эта работа не пройдет бесследно. Учитель должен демон­стрировать классу сложную и противоречивую картину поиска решения, показывать не только те пути, которые приводят к правильному решению, но и тупиковые ходы мысли, анализируя и оце­нивая их.

Убедившись в равенстве площадей треугольни­ков АВО и АОС, обращаем внимание на то, что в DAВО известны все три стороны. Следователь­но, можно вычислить площадь по формуле Герона. Но это значит, что найдена и площадь треуголь­ника АОС. Можно ли найти искомую сторону AС? Конечно, нужно только записать формулу Герона для DAОС, обозначив АС через х, и решить полученное уравнение.

Итак,

SDABO= SDAOC=

Используя формулу Герона для DAОС, имеем

=

После несложных преобразований получаем уравнение

(25 — x2) (x2 —1) = 135, или х4 — 26 x2 +160 = 0.

Оно имеет 4 действительных корня: ±4 и ± . Отрицательные корни, очевидно, не подходят по смыслу задачи. Остаются два: 4 и . Полезно показать, почему значение АС = 4 не удовлетво­ряет условию задачи (если АС = 4, то DAВС — равносторонний и, следовательно, медиана AО яв­ляется одновременно и высотой, т. е. DAОС — прямоугольный. Но тогда АО = , что противоречит условию). Следо­вательно, AC=.

Итак, в этом случае мы вспомнили, что медиана делит треугольник на два равновеликих треуголь­ника, а затем применили формулу Герона для площади треугольника.

Эти способы решения примерно равнозначны, но во втором способе вычисления оказались немного сложнее и, кроме того, пришлось прове­рять, почему значение АС = 4 см не удовлетво­ряет условию задачи.

Последнее обстоятельство наталкивает на мысль рассмотреть частный случай более подробно. Сформулируем условие аналогичной задачи для равностороннего треугольника. В этом случае достаточно указать длину медианы.

В равностороннем треугольнике проведена медиана к одной из сторон. Найти стороны треугольника, если длина медианы равна 3 см.

После этого задачу можно сформулировать и решить в общем виде («найти стороны равностороннего треуголь­ника, если длина медианы равна m»). Далее уча­щимся можно предложить следующие задачи.

Дан равносторонний треугольник с медианой т. Найти: 1) периметр треугольника; 2) пло­щадь треугольника; 3) радиус описанной ок­ружности; 4) радиус вписанной окружности.

Решение задач не должно вызвать затруднений у уча­щихся:

1) а2 = (а/2)2 + m2, а = 2m/3; P = За = 2m;

2) S=ah=am=

Для того чтобы вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей, вспомним, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении его биссектрис, а центр описанной — на пересечении его серединных перпендикуля­ров. В нашем случае эти два центра совпадают, так как в равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и серединные перпендикуляры со­впадают. Вспомнив, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины, несложно найти радиусы описанной и вписанной (R=, r = ) окружностей.

Решение этой дополнительной задачи даёт воз­можность учащимся вспомнить, где располагаются центры описанной и вписанной окружностей, а также применить еще одно свойство медиан. А не восполь­зоваться ли нам этим свойством для решения пер­воначальной задачи?

III способ.

Одна медиана уже проведена (см. рис. 1). Подумаем, какое дополнительное построение нам выполнить: провести оставшиеся две медианы или только одну, а если одну, то какую? Нужно про­вести медиану к основанию, так как она в равно­бедренном треугольнике является и высотой, что дает возможность рассмотреть прямоугольные треугольники и применить теорему Пифагора.

Проводим высоту (медиану) ВК к основанию АС (рис. 2), М — точка пересечения медиан. Получились прямоугольные треугольники АКМ и АКB, для которых АК — общая сторона (АС = 2АК). Таким образом, задача сведется к нахож­дению половины искомого отрезка. Обозначим АК через х. Далее, согласно свойству медиан АМ = 2 см, МО = 1 см.

Рис. 2

После анализа рисунка приходим к выводу, что в DAKМ неизвестен катет МК, а в DАКВ — катет КВ. Это наводит нас на мысль рассмотреть два треугольника одновременно и ввести новую переменную у: МК = у, тогда ВК = Зу.

А теперь, используя теорему Пифагора, состав­ляем систему уравнений:

x2 + y2 =22 (из DAKМ)

x2 + (3y)2 =42 (из DАКВ),

откуда x = /2, следовательно, АС= см.

Итак, в процессе решения мы применили одно из свойств медиан треугольника, теорему Пифа­гора, а также вспомнили, что высота в равнобед­ренном треугольнике, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и медианой. Сравнивая этот способ с предыдущими, можно отметить, что здесь мы вновь применили алгеб­раический метод решения и что алгебраический метод достаточно удобен при решении геометри­ческих задач.

IV способ.

Рис. 3

Можно предложить учащимся вспомнить теорему Фалеса и попытаться применить ее к решению задачи. На рис. 3 изображены равные отрезки ВО и ОС на прямой ВС.

Через конец одного отрезка проведена прямая ВК^АС. Прове­дем вторую прямую через конец другого отрезка ОL || ВК. По теореме Фалеса имеем: КL = LС = KC=AC.

Обозначим LС = х, тогда AL = 3x. Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников ОLА и ОLС, составляем систему уравнений

ОL2 = 9 - (Зх)2 (из DOLA);

ОL2 = 4 - х2 (из DOLC),

решая ее, получим x =/4, AC = 4x = см.

Данный способ анало­гичен предыдущему, но здесь мы искали не 1/2 искомой стороны AС, а 1/4. Прежде чем воспользоваться теоремой Пифагора, нам пришлось дока­зать, что АL = 3LС. B связи с этим способ менее рациональный («потребовалось еще одно дополнительное построение OL^АС и применение теоремы Фалеса»). Можно сделали вывод, что нахождение длины отрезка можно свести к нахождению его части.

V способ.

В процессе анализа рисунка можно вспом­нить определение средней линии треугольника и воспользоваться им.

Действительно, если провести все три средние линии треугольника AВС, то можно решить зада­чу, используя свойство диагоналей и сторон па­раллелограмма.

В полученном параллелограмме ALOF извест­ны обе диагонали и одна из сторон (рис. 4):

рис. 4

АL=ОF=АВ/2=2 см; АF=ОL=АС/2=х см; LF=(1/2)ВС=2 см, AО=3 см.

Отсюда следует, что x =/2.

VI способ.

Поскольку мы уже провели высоту DAВС (см. рис. 2), то зададим себе вопрос: как еще можно ею воспользоваться? Все ли знания о высоте треугольника мы использовали?

Попробуем применить формулу S=ah. Пусть ВК = h, АК = х. Тогда SАВС= xh. Но площадь DAВС нам уже известна: SABC=2SABO=З/2, следовательно, SАВС = xh = З/2

Поскольку нам, согласно условию, нужно най­ти х, то выразим h через х. Это можно сделать, если применить теорему Пифагора, например, к прямоугольному треугольнику АКВ: xh = x, откуда x = /2, AC =см.

Здесь мы воспользовались результатом 2-го способа (SDABO=), поэтому последний спо­соб менее рациональный.

VII способ.

Можно провести высоту к боковой стороне (рис. 5), тогда искомую сторону АС можно найти по теореме Пифагора из DAМС, если знать катеты АМ и МС. Их можно найти из двух пря­моугольных треугольников АМО и АМВ (подобно тому, как мы сделали это вначале).

Рис.5

Пусть АМ = х, МО = у. Используя теорему Пифагора, имеем

x2 + y2 = 9

x2 + (2+y)2 = 16, откуда у =3/4, x =

Но можно и в этом случае использовать формулу площади треугольника SDABС = BC ×AM. Площадь треугольника АВС мы знаем (вычислили ранее), ВС = 4, следовательно, можно найти АМ:

=× 4AM, откуда AM = см.

Замечаем, что МС = ОС - ОМ, где ОС = 2; ОМ находим из DAМО по теореме Пифагора:

OM = = , откуда MC = 2 - = . Итак, из DАМС имеем AC==см.

Этот самый нерациональный. Сложным для многих учащихся оказывается довести до логического конца цепочку рассужде­ний, связанных с нахождением катетов АМ и МС.

VIII способ.

До сих пор все дополнительные построения проводились нами внутри треугольника. А что, если мы «выйдем за пределы» данного треуголь­ника? Посмотрим на треугольник как на часть какой-то фигуры, какого-то четырехугольника. Достроим треугольник до параллелограмма. Для этого продолжим прямую АО за точку О, отложим на ней отрезок, равный АО, полученную точку О соединим с точками В и С (рис. 6).

Рис. 6

В полученном параллелограмме АВСD известны обе диагонали (АD = 6 см, ВС = 4 см) и одна из сторон (АВ = СD = 4 см). Искомая сторона (АС = ВD) неиз­вестна. Применив теорему о сумме квадратов сторон параллелограмма, получим АD2 + ВС2 = 2AВ2 + 2AС2, отсюда AС=.

Напрашивается вывод: нужно не только смелее применять дополнительные построения, но и учить­ся видеть взаимосвязь различных фигур.

IX способ.

Можно решить эту задачу, достроив треуголь­ник до ромба (рис. 7), но тогда пришлось бы дополнительно вычислить длину диагонали ВМ.

Рис. 7

В заключение систематизируем из­вестные учащимся сведения о медиане треугольника.

·  Медианы треугольника в точке пересечения де­лятся в отношении 2:1, считая от вершины.

·  Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

·  В равнобедренном треугольнике высота, прове­денная к основанию, является медианой и бис­сектрисой.

·  В равностороннем треугольнике высота, про­веденная к любой из сторон, является медианой и биссектрисой.

·  В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Благодаря такой работе у ученика снимается психологический барьер перед поиском решения задач. Зная, что задача может быть решена раз­ными способами, он смелее будет браться за ее решение. Постепенно, решая задачу за задачей, он приобретет некоторый опыт, что позволит ему развить математическое чутье.

Подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал. Нако­пившиеся знания не будут лежать мёртвым гру­зом, их постоянно нужно использовать, вспоминая то одну, то другую теорему или свойство фигуры. Конечно, теоретический материал можно по­вторить и в ходе устного опроса учащихся, но механическое заучивание формул и теорем не будет способствовать развитию мышления. Использова­ние же этих знаний на практике является твор­ческой работой, при которой школьники учатся действенно применять теорию на практике.

При такой работе над задачей формируется логическое мышление учащихся, развивается ин­туиция, систематизируются знания, расширяется общеобразовательный кругозор, накапливается по­лезный опыт. Учащиеся овладевают основными методами решения задач, составляющими важную часть многих эвристических алгоритмов, учатся рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия за­дачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности — наблюдение, срав­нение, обобщение и т. д.

Все перечисленное создает условия для форми­рования навыков исследовательской учебной дея­тельности, способствующей накоплению творчес­кого потенциала школьника.