Вопросы к зачету по стереометрии для учащихся
10 класса физико-математического направления
1.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых.
2.Параллельность прямых в пространстве. Свойства параллельных прямых (доказательство свойства транзитивности параллельности прямых).
3.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости.
4.Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
5.Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости. Теоремы о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости; о двух прямых, перпендикулярных плоскости.
6.Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о трех перпендикулярах.
7.Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей.
8.Свойства параллельных плоскостей: о линиях пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью; о прямой и плоскости, пересекающей одну из двух параллельных плоскостей; о единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно другой плоскости; транзитивность параллельности плоскостей (доказательства этих свойств).
9. Углы в пространстве. Величины углов между скрещивающимися прямыми; между прямой и плоскостью; между двумя плоскостями. Доказательство факта о том, что угол между наклонной и плоскостью является наименьшим из возможных углов между этой наклонной и любой прямой, лежащей в данной плоскости.
10. Ортогональное проектирование. Теорема о проекции прямой, составляющей равные углы с лучами данного угла и проходящей через вершину этого угла (с доказательством). Площадь ортогональной проекции многоугольника.
11. Перпендикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
12. Свойства перпендикулярных плоскостей: о прямой, перпендикулярной линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей; о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости (доказательства этих свойств).
13. Свойства точек, равноудаленных от всех вершин или сторон многоугольника.
14. Расстояния в пространстве. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми: определение, методы нахождения (с обоснованиями).
15. Действия над векторами. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Скалярное произведение векторов и его свойства. Использование скалярного произведения для вычисления углов между прямыми и плоскостями.
16. Задание фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости. Вывод формулы расстояния от точки до плоскости в координатах.
Задачи к зачету по стереометрии для учащихся
10 класса физико-математического направления
Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Точка M не принадлежит ни одной из них. Всегда ли существует прямая, проходящая через M и пересекающая обе данные прямые? (Ответ обосновать). В тетраэдре PABC точки
, 
, 
, 
- середины ребер соответственно 
, 
, 
, 
. Докажите, что отрезок, по которому пересекаются треугольники 
и 
, параллелен ребру 
и равен 
. На ребрах 
, 
и 
тетраэдра PABC отмечены точки 
, 
и 
так, что 
. Докажите, что плоскости 
и 
параллельны. Найти площадь треугольника , если площадь треугольника равна 10 см2. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 
, проведенного через середины ребер , 
и 
. Основание призмы – правильный треугольник ABC. Боковое ребро 
образует равные углы со сторонами основания и . Докажите, что 
- прямоугольник. В тетраэдре PABC ребро перпендикулярно ребру и ребро перпендикулярно ребру 
. Докажите, что: а)ребра и 
также взаимно перпендикулярны; б)
. Точка M лежит внутри двугранного угла величиной 
и удалена от его граней на расстояния соответственно 3 и 5. Найти расстояние от точки M до ребра двугранного угла. Точка M равноудалена от всех вершин треугольника ABC со сторонами 
, 
и 
. Расстояние от M до плоскости ABC равно 20. Найти углы между плоскостями: а)
и ; б) 
и . ABC – правильный треугольник со стороной 
, O – середина AC, OD 
(ABC), OD = 3. Найти угол между плоскостями ABD и CBD. ABCD – ромб, 
. Прямая 
перпендикулярна плоскости ромба, причем 
. Найти угол между плоскостями 
и . Две правильные пирамиды, четырехугольную и треугольную, склеили по треугольной грани. Известно, что длины всех ребер пирамид между собой равны. Сколько граней у получившегося многогранника? В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине C. Точки P1 и Q – середины ребер B1C1 и BB1 соответственно. Считая, что 
, найти расстояния от точки C1 до прямых: а) AQ; б) AP1. В правильном тетраэдре PABC с ребром, равным , точки M и K - середины ребер соответственно BP и CP, точка O – центр основания ABC. Найдите расстояния между прямыми: а) AP и BC; б) AB и MK; в) MK и OP. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до плоскости BFE1. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA1 взята точка M так, что AM = 8. На ребре BB1 взята точка K так, что B1K = 8. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D1. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB = 
, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC. 