Школьный этап олимпиады по математике учебного года
Время на выполнение заданий – 120 минут
1. В записи «НЕТ-ДА=ДА» разные буквы соответствуют разным цифрам, а одинаковым – одинаковые, причём ни одна из цифр не больше 5. Найти соответствие букв и цифр. (3 балла)
2. Разделите фигуру на четыре равные части: (3 балла)
| |||
|
3. Из 21 монеты одна фальшивая. Как двумя взвешиваниями на весах с двумя чашечками без гирь определить, легче она или тяжелее? (5 баллов)
4. Сосуд ёмкостью 10 л наполнен водой. Имеется два пустых сосуда ёмкостью 3 л и 7л. Как, переливая жидкость из сосуда в сосуд, добиться, чтобы в больших сосудах было по 5 л? (5 баллов)
5. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге? (7 баллов)
1. Разгадайте числовой ребус (одновременно выполняются два соотношения):
ДВА = ПА × РА, ПАУК < ПАРК, где разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым – одинаковые, причём согласным – чётные, а гласным – нечётные. (3 балла)
2. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту две картофелины, а другой - три. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут больше первого? (3 балла)
3. Квадрат ABCD со стороной 2 см и квадрат DEFK со стороной 1 см стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3 см. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой из них короче?
(3 балла)
4. В секции бокса мальчиков в 14 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20 человек. Смогут ли они разбиться на пары? (5 баллов)
5. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры, и какого они цвета. (5 баллов)
1. Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы 
первого слагаемого была равна 
второго. (3 балла)
2. Когда Никиту попросили придумать задачу для математической олимпиады в школе, он написал ребус: ГЕНИЙ × 3 = НЬЮТОН. Можно ли его решить? ( Разным буквам должны соответствовать разные цифры, а буквы И и Й считаются за одну букву). (3 балла)
3. В трёхзначном числе последняя цифра 3. Если её переставить в начало числа, то получившееся число будет на 1 больше, чем утроенное первоначальное. Найдите начальное число. (5 баллов)
4. Бочка наполнена бензином. Как перелить из неё в мотоцикл 6 л бензина с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона? (5 баллов)
5. В комнате 12 человек; некоторые из них честные, то есть всегда говорят правду, остальные всегда лгут. "Здесь нет ни одного честного человека", - сказал первый. "Здесь не более одного честного человека", - сказал второй. Третий сказал, что честных не более двух, четвёртый - что не более трёх, и так далее до двенадцатого, который сказал, что честных людей не более одиннадцати. Сколько честных людей в комнате на самом деле? (7 баллов)
1. Разложите на множители:
(3 балла)
2. Вычислите:
3. Постройте график функции:
4. В треугольнике АВС биссектрисы ВР и СТ пересекаются в точке О. известно, что точки А, Р, О, Т лежат на одной окружности. Найти величину угла А. (7 баллов)
5. Докажите, что если взять трехзначное число, переставить в нем крайние цифры и вычесть из одного числа другое, то получившаяся разность будет делиться набаллов)
1. На конференции собрались марсиане, у каждого было по 7 конечностей, и земляне у которых было по 4 конечности. Сколько было землян, если всего было 53 конечности? (3 балла)
2. Решите неравенство:
(5 баллов)
3. Найти катеты прямоугольного треугольника, если известна длина его высоты, опущенной на гипотенузу h и длина гипотенузы c. (7 баллов)
4. Найдите сумму:
5. Разложить на простые множители выражение:
1. В понедельник в 10А шесть уроков: математика, русский язык, литература, география, биология, физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить на понедельник? (4 балла)
2. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, делящихся на 2 или на 3, возможно, и на оба эти числа одновременно. Найдите тысячный член этой последовательности. (4 балла)
3. Решите неравенство:
4. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке Е. Площадь треугольника АВЕ равна 72, площадь треугольника СDE равна 50. Чему равна площадь трапеции ABCD. (7 баллов)
5. Доказать, что ни при каком натуральном n число n2 + 5n + 4 не является квадратом никакого натурального числа. (7 баллов)
1. Найти все решения системы уравнений: (3 балла)
2. Решить уравнение:
3. Построить график функции: (5 баллов)
4. В треугольнике ABC проведена высота АН, точки К и L – основания перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АВ и АС соответственно. Докажите, что точки В, К, L и С лежат на одной окружности. (7 баллов)
5. В семье пять человек, а за столом в кухне шесть стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти шесть стульев по-новому. Сколько дней члены семьи могут рассаживаться без повторений? (5 баллов)
