9 класс
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Тюменский областной государственный институт
развития регионального образования
Районная олимпиада по математике
2учебный год
9 класс
1. 1997*** делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами? И каким образом?
(4 балла)
2. Найдите значение выражения:
при а = 2003.
(3 балла)
3. Однажды Кот Матроскин купил шоколадные батончики для своих друзей. Дяде Федору он дал половину всех батончиков и еще половину батончика; Шарику – половину оставшегося и еще половину батончика; Галчонку – половину того, что осталось, и еще половину батончика. Причем ни один батончик не был разрезан. Сколько шоколадных батончиков получил каждый, если Кот Матроскин раздал все?
(5 баллов)
4. Точки А и В лежат на разных сторонах угла М. Точка О – середина отрезка АВ. Существуют ли такие точки C и D, принадлежащие разным сторонам угла М, что отрезок CD делится точкой О пополам?
(4 балла)
5. Найдите два числа, если их сумма, произведение и частное от деления первого числа на второе равны между собой.
(4 балла)
Решение районной олимпиады, 1-й лист
(2006 – 2007 учебный год).
9 класс.
1. 1997*** делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?
(4 балла)
Решение:
Способ всего один, и число 1997996 является искомым. Если бы существовали другие способы, то числа отличались бы от этого числа, по крайней мере на 1996, то есть первые четыре цифры не совпадали бы с 1997.
Рекомендации к оценке задания:
За найденное число 1997996 без объяснения количества способов ставится 2 балла.
Ответ: один способ – 1997996.
2. Найдите значение выражения:
при а = 2003.
(3 балла)
Решение:
Применяя формулу 
последовательно для последних 2 множителей, в результате получим:
.
При а = 2003 получим 1 – а = - 2002.
Ответ: - 2002.
Решение районной олимпиады, 2-й лист
(2006 – 2007 учебный год).
9 класс.
3. Однажды Кот Матроскин купил шоколадные батончики для своих друзей. Дяде Федору он дал половину всех батончиков и еще половину батончика; Шарику – половину оставшегося и еще половину батончика; Галчонку – половину того, что осталось, и еще половину батончика. Причем ни один батончик не был разрезан. Сколько шоколадных батончиков получил каждый, если Кот Матроскин раздал все?
(5 баллов)
Решение:
Пусть Кот Матроскин купил х шоколадных батончиков, тогда Дядя Федор получил 
батончиков, значит осталось 
батончика. Шарик получил
батончиков, следовательно, осталось 
, тогда Галчонку досталось 
.
Таким образом: 
. Из решения уравнения следует: x = 7. Значит всего было 7 батончиков, то есть Дядя Федор получил 4 шоколадных батончика, Шарик – 2, а Галчонок – 1.
Ответ: Дядя Федор получил 4 шоколадных батончика, Шарик – 2 батончика, Галчонок 1 батончик.
Решение районной олимпиады, 3-й лист
(2006 – 2007 учебный год).
9 класс.
4. Точки А и В лежат на разных сторонах угла М. Точка О – середина отрезка АВ. Существуют ли такие точки C и D, принадлежащие разным сторонам угла М, что отрезок CD делится точкой О пополам?
(4 балла)
Решение:
Пусть существуют такие точки С и D, отличные от А и В, что ОС = ОD (как показано на рисунке).
|
Тогда ∆АОС = ∆ОВD, следовательно, 
, то есть МА׀׀МВ - противоречие. Значит, таких точек не существует.
Ответ: Не существует.
5. Найдите два числа, если их сумма, произведение и частное от деления первого числа на второе равны между собой.
(4 балла)
Решение:
. Так как 
, то 
. Так как 
, то при 
получим 
, то есть решений нет; при 
получим 
, 
, 
. Таким образом, , .
Ответ: -1; 
.
Рекомендации по организации и проведению
районной олимпиады по математике для 9 классов
В текстах районной олимпиады (9-11кл.) для разных классов повторяющихся заданий нет.
Районная олимпиада по математике для 9 классов (время выполнения – 3 часа (180 минут)) состоит из 5 заданий различных уровней трудности из различных разделов школьного курса математики, оцененных от 3 до 5 баллов.
К тексту олимпиады прилагаются листы с решениями заданий и ответами. К заданию №1 имеется рекомендация по выставлению оценки.
