Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 3 )

1. Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – это один из разделов дискретной математики, который приобрел большое значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной математике.

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых надо подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов, или число возможных способов осуществления некоторого действия. Такие задачи называются комбинаторными.

Комбинация – это соединение чего-либо в определенном порядке. К простейшим комбинациям относятся перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки – это комбинации, состоящие из одних и тех же п элементов и отличающиеся порядком этих элементов. Число всех возможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле

Рn=п! (1.1)

Заметим, что по определению п!= и 0!= 1, 1!= 1 .

Пример 1. Определить число флагов с четырьмя горизонтальными поло­сами из красного, белого, синего и желтого цвета.

Решение. В нашем случае число элементов n = 4, поэтому Р4 = 4!= = = 24 варианта.

Размещения – это комбинации, составленные из п различных элементов по т штук и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений из п элементов по т штук вычисляется по формуле

. (1.2)

Пример 2. Определить число двухцветных флагов с горизонтальными полосами из красного, белого, синего и желтого цвета.

Решение. В нашем случае число элементов п = 4, т = 2, поэтому

=12 вариантов.

Сочетания – это комбинации, составленные из п различных элементов по т штук, которые отличающиеся хотя бы одним элементом. Порядок элементов не важен. Число всех возможных сочетаний из п элементов по т штук вычисляется по формуле

. (1.3)

Пример 3. В бригаде 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколько различных вариантов команд из трех человек можно составить? Сколько вариантов женских команд? Сколько вариантов мужских команд?

Решение. 1). = 220 команд.

2). = 10 женских команд.

3). п = 7, т = 3, = 35 мужских команд.

2. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности исходит из некоторой системы равновероятных событий.

Рассмотрим полную группу попарно несовместных равновозможных событий А1, А2, ... Аn. Добавим к этим n событиям невозможное событие V и сложные события, образованные с помощью операции сложения любого числа событий А1, А2, ... Аn с любыми номерами. Полученная система событий S исчерпывается конечным числом событий, если считать равносильные события просто тождественно равными друг другу.

Пусть полная группа попарно несовместных равновозможных событий состоит из двух событий А1 и А2. Тогда система S содержит следующие четыре события: V, A1, A2, A1+A2=U. Если же полная группа попарно несовместимых равновозможных событий состоит из трех событий A1, A2, A3, то система S содержит восемь событий: V, A1, A2, A3, A1+A2, A1,+A3, A2+A3, A1+A2+A3=U.

Назовем для краткости событие Ai, (i=1,2, ... ,N) возможным случаем. Пусть событие B является некоторым событием системы S, тогда B представляется в виде суммы некоторых возможных случаев Ai. Слагаемые Ai , входящие в разложениеB, назовем случаями, благоприятствующими событиюB, а их число обозначим буквой m.

Вероятность Р(B) события B равняется отношению числа возможных случаев, благоприятствующих событию B, к числу всех возможных случав, то есть

(2.1)

Из определения вероятности следует, что для вычисления Р(B) требуется прежде всего выяснить, какие события в условиях данной задачи, являются возможными случаями, затем подсчитать число возможных случаев, благоприятствующих событию B и найти отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев.

Пример 1. Известно, что среди 11 приборов имеется 3 непроверенных. Какова вероятность при случайном безвозвратном отборе 5 приборов обнаружить среди них 2 непроверенных.

Решение. Перенумеруем все 11 приборов. Возможными случаями будем считать комбинации по пять приборов из 11,отличающиеся только номерами приборов, входящими в каждую комбинацию. Отсюда следует, что число всех возможных случаев будет равно числу сочетаний из 11 элементов по 5 элементов:

.

Для подсчета возможных благоприятствующих случаев учитываем, что 2 из 3 непроверенных приборов можно извлечь способами. Кроме того, 3 проверенных прибора можно выбрать из 8 имеющихся проверенных различными способами. Каждый вариант из двух непроверенных приборов комбинируется с каждым вариантом из трех проверенных, следовательно, число возможных случаев m, благоприятствующих событию А, вероятность которого требуется найти, равно . Отсюда

Рассмотрим некоторые свойства вероятностей, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события равна единице. Достоверное событие U обязательно происходит при испытании, поэтому все возможные случаи являются для него благоприятствующими и

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Число благоприятствующих случаев для невозможного события равно нулю (m=0), поэтому

3. Вероятность события есть число, заключенное между нулем и единицей.

В силу того, что дробь не может быть числом отрицательным и большим единицы, справедливо неравенство:

.

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Если известны вероятности данных событий А1, А2, ... Аn, то на основе теорем сложения и умножения вероятностей можно найти вероятность любого события, полученного из данных с применением операций сложения, умножения событий и противоположного события.

Прежде чем рассматривать теоремы сложения и умножения, определим основные понятия.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе в результате испытания. Если события могут появляться одновременно в данном опыте, то они называются совместными.

Например, при бросании одной монеты события А= "Выпадение орла" и В= "Выпадение решки" вместе произойти не могут, поэтому они несовместны. Если изменить условия опыта и бросить две монеты, то события АиВ будут совместными.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого. В противном случае события называются зависимыми, а вероятность каждого из них, найденная при условии, что другое событие произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В), Р(В/А).

Например, в урне находится 3 синих и 4 зеленых шара. Событие А заключается в том, что из урны вынули синий шар, событие В состоит в том, что из урны вынули зеленый шар. Если вынутый синий шар не был возвращен назад в урну до того, как был вынут зеленый шар, то события А и В будут зависимыми, так как вероятность события В, вычисленная по формуле классической вероятности, в данном случае будет равна 4/6, и эта вероятность отлична от вероятности события 4/7, то есть события зависимы.

Если же вынутый синий шар был возвращен назад, а затем вынут зеленый, то Р(В/ А) = Р(В) . И в этом случае события будут независимыми.

Сформулируем теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема 3.1. Вероятность противоположного события получается в результате вычитания из 1 вероятности события А, то есть

. (3.1)

Теорема 3.2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

. (3.2)

Пример 1. Студенты Симонов и Миронов хорошо занимались по математике в течение года. Однако перед экзаменом студенту, как всегда, не хватает одного дня. Симонов и Миронов пришли на экзамен, подготовив каждый 22 теоретических вопроса и 24 практических из 25-ти. Преподаватель решил поощрить студентов за хорошую учебу и предложил Симонову ответить на теоретический вопрос, а Миронову – решить задачу. Какова вероятность того, что Симонов сдаст экзамен, а Миронов не сдаст?

Решение. Введем в рассмотрение события:

А - Симонов сдал экзамен;

В - Миронов сдал экзамен.

По классической формуле вероятности находим P(A)= , Р(В) = . Отсюда вероятность события , заключающегося в том, что Миронов не сдал экзамен, равна . События A и независимы, поэтому

Теорема 3.3. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, то есть.

. (3.3)

Пример 2 Из группы туристов в 36 человек, среди которых одинаковое число мужчин и женщин, случайным образом выбирают двоих. Какова вероятность того, что оба выбранных человека будут мужчинами?

Решение. Рассмотрим события:

А – первый выбранный человек мужчина;

В – второй выбранный человек мужчина.

По формуле классической вероятности Р(А)=.В данной задаче событие В зависит от А и . Отсюда .

Теорема 3.4. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть

. (3.4)

Пример 3. В агентстве на 15 число в наличии 7 путевок в Тунис, 3 – в Испанию и 2 – в Италию. Клиент берет одну путевку. Какова вероятность того, что это будет путевка в Европу?

Решение. Введем в рассмотрение события:

А – клиент выбрал путевку в Тунис;

В – клиент выбрал путевку в Испанию;

С – клиент выбрал путевку в Италию.

Событие В+С означает, что выбрана путевка в Испанию или Италию вынут. Поскольку события В и С несовместны, то Р(В + С) = Р(В) + Р(С) .

По формуле классической вероятности . Следовательно .

Теорема 3.5. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

. (3.5)

Пример 4. В урне находится 10 шаров, занумерованных числами от 11 до 20. Из урны наугад извлекают шар. Найти вероятность того, что номер извлеченного шара окажется кратным 2 или 3.

Решение. Введем в рассмотрение события:

А – номер извлеченного шара кратен 2 (числа 12, 14, 16, 18, 20). Общее число благоприятных исходов равно 5, тогда .

В – номер шара кратен 3 (числа 12, 15, 18) и .

События А и В совместны (номера 12 и 18 подходят для обоих событий), поэтому .

4. Формула полной вероятности и формулы Бейеса

Формула полной вероятности применяется в тех случаях, когда при выполнении события В имеется несколько вариантов его осуществления. Каждый вариант связан с определенной гипотезой. Гипотезы представляют собой множество попарно несовместных событий. Событие В обязательно выполняется, причем, только с одной из гипотез, но с какой именно – неизвестно.

Рассмотрим полную группу n попарно несовместимых событий А1, А2, ... Аn, то есть U = А1+А2+...+Аn и Аi×Аj=V при , и некоторое событие В. Возьмем произведение события U на событие В:

и, применяя свойства операций над событиями, получим

.

События Аi×B и Аj ×B при i ≠ j попарно несовместимы, так как . По теореме сложения вероятностей для несовместимых событий получим

,

далее, применяя теорему умножения, окончательно будем иметь

. (4.1)

Итак, вероятность Р(В) события В, которое может произойти только совместно с одним из событий А1, А2, ... Аn, образующих полную группу попарно несовместимых событий, определяется последней формулой, носящий название формулы полной вероятности.

Пример 1. Имеется 5 одинаковых на вид урн. Из них в двух урнах находятся по 3 белых и 1 черному шару (урна I типа), а в трех урнах – по 3 черных и 1 белому шару (урна II типа). Наугад выбирают одну из урн и из нее наугад извлекают шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

Решение. Имеет две гипотезы: А1 – шар извлечен из урны I типа,

А2 – шар извлечен из урны II типа.

Вероятность того, что будет выбрана урна первого типа, равна Р (А1) =2/5, а для урн второго типа эта вероятность равна Р (А2) =3/5. Вероятность того, что из урны первого типа будет извлечен белый шар, равна =3/4, соответствующая вероятность для урн второго типа равна =1/4. Пользуясь формулой полной вероятности, получаем вероятность того, что шар, выбранный наугад, окажется белым, равна .

Пусть, как и при выводе формулы полной вероятности, событие В может наступить в различных условиях, относительно которых можно сделать n предположений, гипотез: А1, А2, ... Аn. Вероятности Р(А1), Р(А2),..., Р(Аn) этих гипотез известны до испытания, и, кроме того, известна вероятность P(B/Ai), сообщаемая событию В гипотезой Аi. Пусть после проведенного испытания событие В наступило, требуется при этом условии найти вероятность гипотезы.

Воспользуемся для вывода формулы искомой вероятности теоремой умножения:

,

Откуда .

Подставив в знаменатель этой формулы правую часть формулы полной вероятности (4.1), окончательно будем иметь:

. (4.2)

Полученные формулы носят название формул вероятности гипотез, или формул Бейеса.

Пример 2. Предположим, что в условии примера 1 извлеченный шар оказался белым. Найти вероятность того, что он оказался извлеченным из урны первого типа.

Решение. Применяя формулу (4.2), получаем

.

5. Повторение испытаний

5.1 Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание (опыт) повторяется многократно.

Поставим задачу в общем виде. Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие . Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все п испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (то есть испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность Р(А) появления события в единичном испытании буквой p, то есть Р(А)=р, а вероятность Р() – буквой q, то есть .

Вероятность Рn(m) наступления события A ровно m раз (не наступления события n-m раз) в этих n испытаниях, при условии, что здесь не требуется появление т раз события А в определенной последовательности, вычисляется по формуле

, (5.1)

которую называют формулой Бернулли.

Пример 1. Монету бросают наугад 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет при этом 3 раза.

Решение. , тогда по формуле Бернулли (5.1) получаем .

6.  Числовые характеристики случайных величин.

Одно из центральных понятий теории вероятностей - понятие случайной величины.

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей конечное число значений хi с вероятностями рi, называется сумма:

(6а)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f(x):

(6б)

Несобственный интеграл (6б) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М ( Х ) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х. Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.

Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:

(6в)

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М ( Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:

где m = М ( Х ).

Среднее квадратичное отклонение:

(6г)

Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.