Теория вероятностей и математическая статистика

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Среднего профессионального образования

Санкт-Петербургский колледж управления и экономики

«Александровский лицей»

Методические указания

Для выполнения расчетного задания

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

по специальности СПО 230701

«Прикладная информатика (по отраслям)»

Санкт-Петербург

2013

Разработчик: преподаватель лицея

Утверждено на заседании методической комиссии лицея по специальности СПО 230701 «Прикладная информатика (по отраслям)» 16.05.2013 г.

Введение

В предложенных методических указаниях разобраны типовые задачи, аналогичные тем, что представлены в индивидуальных вариантах расчетного задания по предмету «Математическая статистика». Каждый из25 вариантов включает в себя 5 задач. Для успешного выполнения заданного варианта учащемуся необходимо дополнительно пользоваться литературой, список которой представлен в конце данных методических указаний

I Указание к решению задачи№1

1.1 Случайные события

Случайным называется событие, которое либо происходит, либо не происходит при соблюдении комплекса условий S. Обозначающие случайные события A, B, C,…

Например, А - выпадение «Герба», В - выпадение «решки», при подкидывании монеты.

Достоверным событием U называется такое событие, которое всегда происходит, если соблюдается комплекс условий S.

Например, при подкидывание игральной кости число выпавших очков всегда меньше 7.

Невозможным событием назовем такое, которое никогда не произойдет при создании комплекса условий S.

Например, никогда не выпадет дробное число очков при подкидывании игральной кости. Невозможным событием будем обозначать или Ū.

Два и более событий будем называть несовместимыми, если при создании комплекса условий невозможно их совместное наступление.

Например, при подкидывании монеты невозможно одновременное выпадение «герба» и «решки».

1.2. Операции над случайными событиями

A+B – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что происходит
ИЛИ А, ИЛИ В.

AB – произведение событий. Это событие состоящее в том, что происходит
И A, И B. Для несовместных событий AB=

Ā – противоположенное событие, состоящее в том, что происходит НЕ А. Невозможное событие, можно обозначить таким образом–
(НЕ достоверное).

Коммутативность суммы и произведения

A+B=B+A

AB+BA

Ассоциативность суммы и произведения

(A+B)+C=A+(B+C)

(AB)C=A(BC)

Дистрибутивность суммы и произведений

A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)

1.3 Классическое определение вероятности и случайного события

При выполнении комплекса условий S достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Однако наступление или не наступление случайного события можно ожидать или не ожидать с меньшим или с большим основанием. Например, если в урне белых шаров больше, чем черных, то при вынимании одного шара

Можно с большим основанием ожидать, что вынутый шар белый.

Величина, определяющая, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, называется вероятностью события.

Будем обозначать P(A) – вероятность наступления события A. Количественно, вероятность наступления события A можно рассчитать по формуле

P(A) = , где

m – количество случаев, благоприятствующих наступлению события А,

n – количество всех возможных случаев.

Очевидно, что P(U)=1, а P()=0

1.4. Свойства вероятностей

P(A)0, для любого события А P(U)=1 Если A и B несовместимые события (AB=), то P(A+B)=P(A)+P(B) P()=1-P(A) Если A и B совместны, то P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Свойства(3) и (5) называют теоремой сложения вероятностей для совместных и несовместимых случаев

Рассмотрим задачи на определение вероятностей.

Задача №1

В коробке 20% белых и 30% синих платков. Наудачу берут один платок. Какова вероятность, что он оказался белым или синим?

A – событие, состоящее в том, что платок белый;

B – событие, состоящее в том, что платок – ИЛИ белый, ИЛИ синий.

События A и B – несовместные.

P(A+B) = P(A)+P(B) =0,2+0,3 = 0,5

Задача №2

В колледже 36 карт. Наудачу выбираем карту. Какова вероятность, что выбранная карта ИЛИ Дама, ИЛИ пиковой масти?

А – событие, состоящее в том, что выбранная карта – «ДАМА»

B – событие, состоящее в том, что выбранная карта – «ПИКИ»

A+B – событие, состоящее в том, что выбранная карта ИЛИ Дама, ИЛИ пики. В данном случае А и B совместные события, т. к. наудачу выбранная карта может оказаться дамой пиковой масти.

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)

P(A) =

P(B) =

P(AB) = 1/9, т. к. во всех 9 картах пиковой масти, только 1 – дама.

P(A+B) =

1.5. Условная вероятность

Теорема умножения вероятностей

Р(А/В) – вероятность события В при условии, что событие А уже произошло. Такую вероятность будем называть условной.

Р(А/В) =

Тогда справедлива теорема умножения вероятностей для зависимых (*) и независимых событий(**)

(*) Р(АВ) = Р(А)*(В/А),

если Р(В/А) = Р(В), то событие В называется независимым от А и

(**) Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Задача №3

Два стрелка делают по одному выстрелу и попадают по цели с вероятностями соответственно 0,5 и 0,7. Какова вероятность, что хотя бы один стрелок попал?

А – событие, состоящее в том, что попал 1-ый стрелок;

В – событие, состоящее в том, что попал 2-ой стрелок;

АВ – событие, состоящее в том, что И первый, И второй стрелки попали.

= - так можно описать событие, которое состоит в том, что никто не попал. Тогда событие, состоящее в том, что хотя бы один из них попал, будет противоположно событию, состоящему в том, что никто не попал. По свойству вероятностей (4), вероятность Р такого события можно вычислить:

Р = 1-Р()

Р() = Р()Р()

Р = 1-0,5*0,3 = 0,85

1.6. Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из n попарно несовместимых событий Н1,Н2, …,Нn

НiНj = Æ

А = АН1+АН2+…+АНn

Р(А) = - формула полной вероятности.

Hi – называют гипотезами

А/Нi – называют событием А при условии, что произошла Hi гипотеза

Р(Нi) – вероятность гипотез. Обязательно должно быть что бы

=1

Задача №4

Пусть имеются 10 урн, в которых 5 белых и 15 черных шаров; 20 урн, в которых 15 белых и 5 черных шаров; 30 урон, в которых 10 белых и 10 черных шаров. Из наудачу выбранной урны наудачу выбрали один шар. Определить вероятность того, что выбранный шар – белый.

Событие А состоит в том, что выбранный шар – белый. Этот шар может быть из урн I типа, II или III типа. Иными словами событие А наступает совместно с одной из гипотез.

Н1 – гипотеза, состоящая в том, что белый шар вынули из 10 урн I типа;

Н2 - гипотеза, состоящая в том, что белый шар вынули из 20 урн II типа;

Н3 – гипотеза, состоящая в том, что белый шар вынули из 30 урн III типа;

Р(Н1) = = ; Р(Н2) = = ; Р(Н3) = = ;

=

Р(А/Н1) = - вероятность вынуть белый шар из первых 10 урн;

Р(А/Н2) = , Р(А/Н3) = .

По формуле полной вероятности

Р(А) = =

1.7.Формула Байеса (гипотез)

Очень часто необходимо вычислить вероятность гипотезы после наступления события А: Р(Hj/А)

Р(Hj/А) =

Эта формула называется формулой Байеса или формулой гипотез, т. к. позволяет вычислить вероятность гипотезы после опыта через вероятность гипотезы до опыта.

Задача №5

Пусть комплекс условий S такой же, как в задаче 4. Вынули 1 шар. Он оказался белый. Какова вероятность, что белый шар из первых 10 урн?

До того, как стало известно, что выбранный шар – белый

Р(Н1) = , Р(Н1/А) =

После опыта, когда стало известно, что выбрали белый шар, вероятность гипотезы, что этот шар из первых 10 урн 1/13

II Указания к решению задачи № 2

2.1. Независимые испытания. Формула Бернулли

Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз и каждый раз событие A наступает с вероятностью p и не наступают с вероятностью q = 1- p. Для каждого из n независимых испытаний справедливо:

1	0
p	Q

Такая таблица называется индикатором события A

Возникает необходимость вычислить вероятность наступления события A ровно m раз в n независимых повторных испытаниях. Такую вероятность будем обозначать Pmn.

Задача №6

Всхожесть семян 10%. Посадили 5 семян.

Какова вероятность, что взойдет не менее трех?

A – семян взошло.

Индикатор события A :

1	0
0,1	0,9

Событие, состоящие в том, что взойдет не меньше 3-х семян – это событие, состоящее в том, что взойдет ИЛИ 3, ИЛИ 4, ИЛИ 5 семян.

Следовательно, P(m3)= P3,5+P4,5+P5,5

P(m3)=0,00856=0,86%

2.2 Асимптотические формулы для вычисления Pmn

При больших m и n практически пользоваться формулой Бернулли затруднительно.

Задача №7

С вероятностью 0,6 лампа выходит из строя после T часов работы. Какова вероятность того, что из 200 ламп останутся исправными более половины?

n=200, m=100

P100,200 – вероятность того, что из 200 выйдут из строя 100

Индикатор события A – «ламп несправна»:

1	0
0,6	0,4

P(m>100)=P(m=ИЛИ 101, ИЛИ 102, …, ИЛИ 200)=1-P100,200

Вызывает затруднение расчет

В случаях, когда p отличается от нуля, а m и n велики необходимо применить асимптотическую формулу для приближенного вычисления Pmn.

- малая функция Лапласа, значения которой можно найти в таблицах для каждого x.

В Задаче №7 имеем:

np =

m = 100

npq =

(2,89)=0,0061 (из таблицы 1, приложения 2, учебник из списка литературы [1])

Задача 8.

Книга в 500 страниц содержит 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице ровно 2 опечатки?

Вероятность того, что на случайно выбранной странице есть опечатка .

Опечаток всего 100, т. е. число испытаний (опечаток) n=100, а m=2.

По формуле Бернулли

В случаях, так называемых, редких явлений, когда p достаточно мало, а n велико, более точный результат дает другая асимптотическая формула для вычисления

,

Эта формула называется формулой Пуассона, а - параметром распределения. Вычислим P2,100 из задачи 8 по формуле Пуассона.

= np=

III Указания к решению задачи № 3

3.1 Понятие случайной величины и её функция распределения

Величина, которая в зависимости от случая может принимать те или другие числовые значения, называется случайной. Универсальным способом задания случайной величины X является её функции распределения F(X), которая определяется

F(X) = P(X<x)

Функция распределения F(X) случайной величины X – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше некоторого конечного числа x.

Задача №9

Пусть случайная величина X – число выпавших «орлов» при 3-х разовом подкидывании монеты. Построить функцию распределения F(X).

Итак, X может принять значения 0,1,2,3 с соответствующими вероятностями P0,3, P1,3, P2,3, P3,3.

Pmn могут быть рассчитаны по формуле Бернулли. Данные расчётов можно свести в таблицу.

Такую таблицу будем называть рядом распределения

Xi	0	1	2	3
Pi	1/8	3/8	3/8	1/8

=1, т. к. были рассмотрены все возможные случаи выпадения «орлов» при 3-х разовом подкидывании монетки

Будем строить F(X).

X	F(X)
0	F(0)=P(x<0)=0
1	F(1)=P(x<1)=P(X=0)=1/8
2	F(2)=P(x<2)=P(X=0 ИЛИ 1)=1/8+3/8=4/8
3	F(3)=P(X<3)=P(X=0 ИЛИ 2)=1/8+3/8+3/8=7/8
4 и др.	F(4)=P(X<4)=P(X=0 ИЛИ 1, ИЛИ 2, ИЛИ 3)=1

Получилась ступенчатая прерывная (изменяющаяся «скачком» справа) неубывающая функция. Справедливо

P(x1Xx2) = F(x2)-F(x1)

3.2. Дискретная случайная величина и её числовые характеристики

Случайная величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений, называется дискретной. F(X) для дискретной случайной величины имеет график в виде ступенчатой линии, всюду непрерывная слева функция.

Кроме F(X) для описания случайной величины X существуют числовые характеристики.

Математическое ожидание - это среднее значение, которое может принимать случайная величина X по распределению вероятностей обозначается M(X).

Количественно вычисляется по формуле M(X)=

Справедливы следующие свойства математиче6ского ожидания

1.  M(C) = C (C – некоторая константа)

2.  M(CX) = CM(X)

3.  M(XY) = M(X) M(Y)

4.  M(XY) = M(X) M(Y)

Задача №10

Найти среднее значение числа выпавших «орлов» при 3-х разовом подкидывании монетки.

Воспользуемся результатами задачи 9. Из таблицы к задаче 9 можно вычислить

M(X) = =

Дисперсия D(X) – важнейшая числовая характеристика случайной величины X.

D(X) характеризует разброс случайной величины вокруг среднего значения.

D(X) = M( X – M(X) )2

Здесь [X – M(X)] – отклонение случайной величины X от M(X). Так как X может отклоняться и в большую, и в меньшую сторону от M(X), то для количественного оценивания D(X), чтобы не учитывать знак, рассматривают «квадрат отклонения».

Удобно пользоваться формулой:

D(X) = M(X2)-[M(X)]2

Рассмотрим свойства дисперсии:

1.  D(C) = 0

2.  D(CX) = C2D(X)

3.  D(X+Y) = D(X)+D(Y)

Задача №11

Вычислить D(X) для случайной величины X – случайного выпадения числа «орлов» при 3-х разовом подкидывании монетки.

Воспользуемся результатами решения задачи 9. Так как X распределена в соответствии с таблицей к задаче 9,то X2 расположена так же, т. е.

Xi2	0	1	4	9
Pi	1/8	3/8	3/8	1/8

M(X2) = 0 +

D(X)=M(X2)-[M(X)]2= 3 –

- среднеквадратичное отклонение.

Это числовая характеристика введена для вычисления разброса (отклонения) в той же размерности, что и сама случайная величина X.

IV Указания к решению задачи № 4

4.1. Случайные величины непрерывного типа

Если случайная величина X имеет всюду непрерывно дифференцируемую функцию распределения F(X), то такая случайная величина X называется непрерывной.

F(X)=p(x) Производная от F(X) называется плотностью распределения вероятности.

Непрерывная случайная величина X может быть задана и через функцию распределения, и через ее производную. Очевидно, что

Т. к p(x)- это производная от F(X), то F(X)=

Задача №12

Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана

Найти А, F(X) и P

Построим график функции

Для того чтобы распределение было корректно, необходимо чтобы площадь S заштрихованной фигуры равнялась бы 1. Тогда,

Построим F(X)

X	0	1	2
F(X)	0	11/16	1

4.2 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Если непрерывная случайная величина X принимает любые значения на числовой прямой, то

Задача №13

Вычислить M(X) и D(X) для непрерывной случайной величины X,

заданной в задаче 12.

V Указания к решению задачи № 5

5.1. Нормальный закон распределения и его характеристики

Случайная величина Х называется распределенной нормально ,если плотность распределения вероятностей задается

и называются параметрами распределения, причём

M(X)= , D(X)=

Задача №14

Случайная величина X распределена нормально с параметрами ,=.

Написать функцию p(x),которая является плотностью распределения вероятностей.

Задание №15

Случайная величина X задается через плотность распределение вероятностей.

Найти M(X),D(X),A

Здесь ,следовательно M(X)=-3, , т. е , следовательно D(X)=

,тогда

5.2 Связь нормального закона распределения с функцией Лапласа

Функцией Лапласа называется функция

Значение Ф(Х) для любого Х можно найти в табл.3, приложения 2,учебник [1]

из списка литературы.

Функция распределения F(X) для нормальной случайной величины можно вычислить через функцию Лапласа Ф(Х).

Для вычисления p() также можно пользоваться функцией Лапласа:

Иногда может быть полезно следующее равенство:

Задача №16

Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей в следующем виде

Вычислить вероятность попадания случайной величины на интервал(-3,3)

Содержание

Введение. 3

I Указание к решению задачи№1. 3

1.1 Случайные события. 3

1.2. Операции над случайными событиями. 4

1.3 Классическое определение вероятности и случайного события. 4

1.4. Свойства вероятностей. 5

1.5. Условная вероятность. 6

1.6. Формула полной вероятности. 7

1.7.Формула Байеса (гипотез) 8

II Указания к решению задачи № 2. 8

2.1. Независимые испытания. Формула Бернулли. 8

2.2 Асимптотические формулы для вычисления Pmn 9

III Указания к решению задачи № 3. 11

3.1 Понятие случайной величины и её функция распределения. 11

3.2. Дискретная случайная величина и её числовые характеристики. 12

IV Указания к решению задачи № 4. 13

4.1. Случайные величины непрерывного типа. 13

4.2 Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 14

V Указания к решению задачи № 5. 15

5.1. Нормальный закон распределения и его характеристики. 15

5.2 Связь нормального закона распределения с функцией Лапласа. 16

Список литературы.. 19

Список литературы

, , «Теория вероятностей и математическая статистика», Минск: «Высшая школа», 1993. Сборник задач по теории вероятностей математической статистике и теории случайных функций, под ред. - М.: Наука, 1970. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. М.: «Высшая школа», 1997. Сборник задач по высшей математики, под ред. -М.:Айрис-пресс, 2010