Методические указания по физике для студентов-заочников, обучающихся по направлению «Прикладная математика» (раздел «Механика»)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра общей и прикладной физики

Методические указания по физике для студентов – заочников, обучающихся по направлению «Прикладная математика»

(раздел «Механика»)

Преподаватель: к. ф.-м. наук, доцент

ЧЕЛЯБИНСК 2009г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Кинематика 5

Динамика материальной точки 13

Закон сохранения импульса 17

Механическая работа и энергия 20

Моменты. Динамика твердого тела 26

Колебания 33

Литература 42

ВВЕДЕНИЕ

Механика является первым разделом, который изучается в курсе общей физики. Но законы механики используются во всех других разделах физики. Поэтому от того, как будет понята механика, зависит успех дальнейшего понимания физики. Единого способа решения задач по физике не существует, но можно выделить некоторые общие правила, которыми следует руководствоваться.

1. Прежде всего, внимательно прочитайте задачу и хорошо вникните в ее условие. Установите, что приведены все данные, необходимые для решения задачи. Недостающие данные можно найти в справочниках.

2. Если позволяет характер задачи, обязательно сделайте рисунок или график, поясняющий ее сущность. Это облегчает как поиск решения, так и само решение.

3. Задачу следует сначала решить в общем виде (т. е. в буквенных обозначениях), чтобы искомая величина была выражении через данные задачи. Во-первых, это позволит установить, как искомая величина зависит от заданных величин. Во-вторых, решение в общем виде позволит проверить размерность полученной величины. Неверная размерность есть явный признак ошибочного решения. В-третьих, это дает возможность исследовать поведение решения в предельных частных случаях.

4. Получив численный ответ, оцените его правдоподобность. Такая оценка может обнаружить ошибочность полученного решения.

Не следует отчаиваться, если некоторые задачи не решаются сразу. Достоверно установлено, что процесс научного творчества протекает по следующей схеме: сначала идет подготовительная стадия, в ходе которой исследователь ищет решение проблемы. Если решение не удается найти, наступает вторая стадия – стадия инкубации. Ученый занимается другими вопросами, однако в подсознании происходит скрытая работа мысли, которая часто приводит в конечном итоге к третьей стадии – внезапному озарению и получению искомого решения. Но стадия инкубации не возникает сама собой. Для того чтобы пустить в ход бессознательное мышление, необходима интенсивная работа в ходе подготовительной стадии. Решение задач - это тоже вид творчества и подчиняется тем же закономерностям. Из сказанного следует, что не следует откладывать решение задач на последний день, в этом случае наиболее сложные и интересные задачи могут остаться нерешенными.

Каждый студент должен решить 10 задач, чтобы получить зачет по механике: по 2 задачи на «Кинематику», «Работу и энергию», «Моменты» и «Колебания» и по 1 задаче на «Динамику» и «Закон сохранения импульса». Номер варианта студент определяет по последней цифре своего номера в списке группы. Например, если в списке группы у студента номер 13, значит, его вариант – 3. Задачи, соответствующие этому варианту определяются аналогично. Т. е. третьему варианту будут соответствовать задачи 1.3, 1.13, 2.3, 3.3, 4.3, 4.13, 5.3, 5.13, 6.3, 6.13. Всего предусмотрено 10 различных вариантов задач. Желаю успеха!

1. К И Н Е М А Т И К А

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Простейшим объектом, движение которого изучает классическая механика, является материальная точка. Материальной точкой называется макроскопическое тело, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемом движении и считать, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке. Например, Землю при рассмотрении ее орбитального движения вокруг Солнца можно принять за материальную точку.

Положение точки в какой-либо произвольной системе отсчета можно характеризовать либо ее радиус-вектором r, либо координатами x, y, z, являющимися проекциями радиус-вектора на координатные оси. Полное описание движения сводится поэтому к нахождению координат как функций времени x(t), y(t), z(t), или к нахождению векторной функции r(t).

Пусть в момент времени t материальная точка находилась в положении М с радиус-вектором r(t).Спустя время Δt она переместилась в положение М1 с радиус-вектором r1 = r(t+Δt) (см. рис.1.1). Тогда путь Δs – это длина участка траектории, пройденного за Δt. А вектор Δr = r-r1 – перемещение за Δt.

Величина <v> = Δr/Δt называется средней скоростью движения за время Δt. Направление средней скорости совпадает с направлением хорды ММ1, т. е. с Δr.

Мгновенной скоростью называется предел средней скорости при Δt→0, т. е. . Мгновенная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движения. Модуль скорости , т. к. при Δt→0 путь Δs равен перемещению Δr. Тогда путь, пройденный телом . При прямолинейном движении .

При криволинейном движении скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. Пусть в момент времени t материальная точка имела скорость v, а спустя промежуток времени Δt ее скорость изменилась и стала v1. (см. рис. 1.2).

Величина называется средним ускорением за время Δt. Мгновенным ускорением a называется вектор, равный первой производной вектора скорости v или второй производной радиуса-вектора r по времени:

.

Разложим вектор Δv = v1-v на две составляющие: |СД| = |Δvτ| - представляет изменение скорости по модулю за время Δt. Вторая составляющая Δvn показывает изменение скорости по направлению. Тогда величина называется тангенциальной составляющей ускорения. Направлена aτ по касательной к траектории. Величина (где r-радиус кривизны траектории) называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена к центру кривизны траектории и отвечает за изменение скорости только по направлению. Полное ускорение a = aτ +an , а по модулю .

Если aτ=0, an = const – скорость по модулю не изменяется, а изменение по направлению , то радиус кривизны траектории не изменяется и следовательно тело движется по окружности.

По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводят угловую скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Пусть точка за время Δt прошла путь Δs, этому пути соответствует угол Δφ (рис. 1.3).

Тогда угловая скорость . Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта. Если ω = const, то вращение называется равномерным и можно ввести период и частоту вращения. Период вращения – это время одного полного оборота: . Частота вращения - число оборотов в единицу времени. Тогда ω = 2πν и ω в этом случае называют угловой частотой вращения.

Первая производная угловой скорости или вторая производная угла по времени называется угловым ускорением: . Связь между линейными и угловыми величинами: .

Пример решения задачи.

1.За промежуток времени τ = 10 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Вычислить за это время: а) среднюю скорость <v>; б) модуль среднего вектора скорости |<v>|; в) модуль среднего вектора полного ускорения |<w>|, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

Дано: t = 10 с R = 1,6 м wτ = const <v>; |<v>|; |<w>|
	Рис.1.4

Решение:

Поместим начало координат в точке 1 (рис.1.4).Тогда за время τ точка переместилась из положения 1 в положение 2 и вектор перемещения будет r21 , а пройденный путь, т. е. длина траектории, равен половине длины окружности. По определению средней скорости , где в нашем случае Δs = πR, Δt = τ. Тогда , а численное значение <v> = 0,5 м/c.

Средний вектор скорости по определению , а его модуль . В нашем случае , и тогда . Численное значение |<v>| = 0,32 м/c.

Средний вектор полного ускорения , где Δv = v2-v1 – приращение вектора скорости за время Δt, а его модуль . Из рисунка видно, что вектора v2 и v1 антиколлинеарны и | v2-v1| = v2+v1. Из условия задачи известно, что wτ – постоянно, а, следовательно, скорость по модулю линейно зависит от времени, т. е. v(t ) = v1+ wτt. При такой зависимости средняя скорость может быть определена как , откуда . Подставляя это уравнение в формулу для определения модуля среднего вектора ускорения, получим: . Подставив численные значения, получим .

2.Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением j = А+Вt3 (А = 2 рад, В = 4 рад/с3). Определить угол j, при котором полное ускорение составит с радиусом диска угол α = 450.

Дано: R = 10 см = 0,1 м j = А+Вt3 А = 2 рад В = 4 рад/с3 α = 450 __________________ j - ?

Решение:

Модуль полного ускорения , где нормальная составляющая an направлена вдоль радиуса диска, а тангенциальная составляющая at направлена по касательной к диску. Из рисунка 1.5 видно, что

.

Когда угол α = 450, an = at и tgα = 1.

Найдем an и at. an = w2R, где w - угловая скорость: . Тогда

.

at = εR, где ε – угловое ускорение: . Следовательно,

.

Приравнивая an и at, найдем момент времени, когда угол между полным ускорением и радиусом диска будет равен 450:

.

Подставив полученное значение в формулу зависимости угла поворота диска от времени, получим

.

Подставив численные значения, получим j = 3,67 рад.

СПИСОК ЗАДАЧ.

1.1. Точка прошла половину пути со скоростью v0 . Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v1 , а последний участок - со скоростью v2 . Найти среднюю за все время движения скорость точки.

Ответ:  = 2v0(v1+ v2)/(2v0+ v1+ v2).

1.2. Две частицы, 1 и 2 , движутся с постоянными скоростями v1 и v2. Их радиус-векторы в начальный момент равны r1 и r2. При каком соотношении между этими четырьмя векторами частицы испытают столкновение друг с другом?

Ответ: (r1 - r2)/½r1 - r2½ = (v2 - v1)/½v2 - v1½.

1.3. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же - все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения v0 = 2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды v1 = 2,5 км/ч?

Ответ: u = v0/(1 - v20/v12 )-1/2 - 1 = 3,0 км/ч.

1.4. Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2,0 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

Ответ: θ = arcsin (1/n)+p/2 = 120O.

1.5. Точка движется вдоль оси х со скоростью, проекция которой vx как функция времени описывается графиком (рис. 1.6). Имея в виду, что в момент t = 0 координата точки х = 0, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения аx, координаты х и пройденного пути s.

рис.1.6 рис.1.7

Ответ: см. рис. 1, 7.

1.6. Точка движется в плоскости xy по закону , где А и w - положительные постоянные. Найти:

а) путь s, пройденный точкой за время t;

б) угол между скоростью и ускорением точки.

Ответ: a) s = Awt; б) p/2.

1.7. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х, Ее скорость меняется со временем по закону v = vo(1-t/t), где vo-вектор начальной скорости, модуль которого v0 = 10,0 см/с, t = 5,0 с. Найти: а) координату х частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с;

б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии

10,0 см от начала координат;

Ответ: а) x = v0t (1-t/2t); б) 1,1, 9 и 11 с.

1.8. Радиус точки A относительно начала координат меняется со временем t по закону r = сti-bt2j, где с и b - положительные постоянные, i и j- орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки y(x) ; изобразить ее график; б) зависимости от времени векторов скорости v, ускорения а и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла a между векторами v и а; г) средний вектор скорости за первые t секунд движения и модуль этого вектора.

Ответ: a) y = -x2b/с2; б) v = сi-2btj, а = -2bj, v = , а = 2b;

в) tg a = с/2bt; г) ávñ = сi-btj, ½ávñ½ = .

1.9. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

Ответ: Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла.

1.10. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?

Ответ: L = 8h sin.

1.11. Точка движется по окружности со скоростью v = bt, где b = 0,50 м/с2. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n = 0,10 длины окружности после начала движения.

Ответ: a = b= 0,8 м/с2.

1.12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол j его поворота зависит от времени как j = bt2, где b = 0,20 рад/с2. Найти полное ускорение a точки A на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если линейная скорость точки A в этот момент v = 0,65 м/с.

Ответ: a = (v/t)м/с2.

1.13. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε = bt, где b = 2,010-2 рад/c3. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол α = 60 O с ее вектором скорости?

Ответ: t = 

1.14. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где а = 6,0 рад/c, b = 2,0 рад/с. Найти:

а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки;

б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: а) <w> = 2а/3 = 4 рад/с, <ε> =  = 6 рад/c2; б)  = 12 рад/c.

1.15. Снаряд вылетел со скоростью v = 320 м/с, сделав внутри ствола n = 2,0 оборота. Длина ствола L = 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.

Ответ: w = 2pnv/l = 2,0×103  рад/с.

1.16. Найти угловое ускорение ε колеса, если известно, что через время t = 2 c после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол α = 600 с вектором ее линейной скорости.

Ответ: рад/c.

1.17. Найти линейную скорость v точек земной поверхности на географической широте φ, вызванную суточным вращением Земли вокруг своей оси.

Ответ: v = 1670cos φ км/c.

1.18. Якорь электромотора, вращавшегося с частотой N оборотов в секунду, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав n оборотов. Найти угловое ускорение якоря после выключения тока.

Ответ: ε = πN2/n.

1.19. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Сколько оборотов в секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен 60 см.

Ответ: n ≈ 9 об/c.

1.20. Разматывая веревку и вращая без скольжения вол ворота, ведро опускается в колодец с ускорением 1 м/c2. С каким угловым ускорением вращается вал ворота? Как зависит от времени угол поворота вала? Радиус вала ворота равен 25 см.

Ответ: ε = 4 рад/c2; φ = 2t2 рад.

2. Д И Н А М И К А М А Т Е Р И А Л Ь Н О Й Т О Ч К И

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):

.

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории движения точки:

.

Третий закон Ньютона:

F12= -F21,

где F12 и F21 – силы, с которыми рассматриваемые материальные точки действуют друг на друга.

Пример решения задачи.

В системе массы тел равны m0, m1, m2, трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела m1. Исследовать возможные случаи.

Дано:

m0, m1, m2

Fтр = 0

_______________________

а1-? Исследовать решение.

X

N0

Рeшение

Т. к. движение всех тел, имеющихся в задаче, поступательное, то каждое тело можно представить как материальную точку, и все силы, действующие на тело, привести к одной точке. Все тела системы движутся с разными ускорениями и для нахождения ускорения тела m1 необходимо записать уравнения движения для каждого. Напомним, что блок, если его масса пренебрежимо мала, изменяет только направление силы.

В проекции на ось X уравнения движения будут иметь вид:

m0a0=T0

m1a1=m1g – T1

m2a2=m2g – T2.

У нас три уравнения, а шесть неизвестных (a0, a1, a2, T1, T2, T0). Необходимо еще три уравнения.

В соответствии с выше сказанным относительно блока T1=T2. Далее T0=T1+T2. Последнее уравнение получим, учитывая “связи”, а именно, что нить между телами m 1 и m2 не изменяет длины. В соответствии с принятыми на рисунке обозначениями имеем: X2 - Xб + X1 - Xб = L, где L – длина нити, а X2, X1, Xб, – координаты второго, первого тел и блока соответственно. Дифференцируя дважды это уравнение во времени, получим: а1 + а2=2аб. Но ускорение блока равно ускорению тела m0, т. е. а1 + а2=2а0.

Теперь мы имеем полную систему из шести уравнений с шестью неизвестными, откуда определим а1.

.

Исследуем возможные случаи.

1. m1»m2

,

т. е. в этом случае ускорение тела m1 независимо от массы тела m0 равно g и направлено вниз.

2. m2» m1

.

В этом случае ускорение тела m1 может принимать разные значения, в зависимости от m0:

а) при m0 < 4m1 a1>0, т. е. направлено вниз и при 4m1»m0 равно g.

б) при m0 = 4m1 ускорение a1=0.

в) при m0 > 4m1 ускорение тела m1 отрицательно, т. е. направлено вверх и при m0 » 4m1 равно g.

СПИСОК ЗАДАЧ.

2.1. В установке (рис. 2.2) массы тел равны mo , и m2 и m3, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение, с которым опускается тело mo, и натяжение нити связывающей тела m2 и m3 , если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k. Исследовать возможные случаи.

Рис.2.2 Рис.2.3

Ответ: а = g(m0 - k(m2 + m3))/(m0+ m2 + m3), T = m3g(1 + k)m0/(m0 + m2 + m3)

2.2. На наклонную плоскость, составляющую угол a с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска 1 и 2 (рис.2.3). Массы брусков равны m1 и m2, коэффициенты трения между наклонной плоскостью и этими брусками - соответственно k1 и k2, причем k1 > k2. Найти: а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения;

б) минимальное значение угла a, при котором начнется скольжение.

Ответ: a) F = (k1- k2)m1m2g cos/(m1+ m2); б) tgмин = (k1m1+ k2m2)/(m1+ m2).

2.3. Небольшое тело А начинает скользить с вершины клина, основание которого l = 2,10 м (рис.2.4). Коэффициент трения между телом и поверхностью клина k = 0,140. При каком значении угла α время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно?

Рис. 2.4 Рис.2.5

Ответ: tg2a = -1/k, a = 490; tмин = 1,0 c.

2.4. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = bt, где b - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол a с горизонтом (рис. 2.5). Найти: а) скорость тела в момент отрыва от плоскости; б) путь, пройденный телом к этому моменту.

Ответ: a) v = mg2cosa/2bsin2a; б) s = m2g3cos/6b2sin3a

2.5. Частица массы m в момент времени t = 0 начинает двигаться под действием силы F = F0sinwt, где F0, w - постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от t.

Ответ:

2.6. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v0. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k. При каком значении угла наклона α шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

Ответ:

2.7. Найти ускорения стержня A и клина B в установке (рис.2.6), если отношение массы клина к массе стержня равно h и трение между всеми соприкасающимися поверхностями пренебрежимо мало.

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Ответ: aA = g/ (1 + h ctg2a), aB = g/(tg a + hctg a).

2.8. Небольшое тело A начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол θ (рис.2.6), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва.

Ответ: θ = arccos (2/3) » 480, v =.

2.9. Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) приращение импульса Dp тела за первые t секунд движения; б) модуль приращения импульса Dp тела за все время движения.

Ответ: a) Dp = mgt; б) ½Dp½= -2m (v0g)/g.

2.10. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k лежит тело массы m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по закону F = bt, где b - постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд после начала действия этой силы.

Ответ: s = b(t – t0)3/(6m), где t0 = kmg/b - момент времени, с которого начнется движение. При t  t0 путь s = 0.

3. З А К О Н С О Х Р А Н Е Н И Я И М П У ЛЬС А

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость:

p=mv.

Для системы материальных точек справедливо уравнение

,

где p= – импульс всей системы, Fвнешн – равнодействующая всех внешних сил, действующих на нее. Отсюда изменение импульса системы

.

Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю (например, для замкнутой системы), то dp/dt=0 или p=const – закон сохранения импульса.

Центром масс системы называется воображаемая точка, радиус-вектор которой равен

где m=m1+m2+….. – общая масса всей системы.

Уравнение движения центра масс системы:

.

Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему – теорема о движении центра масс.

Пример решения задачи.

Плот массы M с находящимся на нем человеком массы m неподвижно стоит в пруду. Относительно плота человек совершает перемещение 1/ со скоростью v/(t) и останавливается (рис.3.1). Пренебрегая сопротивлением воды, найти: а) перемещение плота 1 относительно берега; б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на плот в процессе движения.

Дано: M, m, l’, v’(t) _____________ L -? Fч-?

Решение:

Человек и плот образуют замкнутую систему (сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю). В замкнутой системе и следовательно, импульс ее сохраняется, т. е. , т. к. плот с человеком сначала покоился. Здесь pч и pn - импульс человека и плота соответственно.

Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с берегом, и запишем импульс системы при движении человека по плоту: mvч’+Mv=0, где vч’- скорость человека относительно берега. vч’= v’+v, где v – скорость плота относительно берега, v’- скорость человека относительно плота. Тогда . Зная скорость плота относительно берега, найдем его перемещение: .

Теперь найдем силу, с которой действовал человек на плот: .

CПИСОК ЗАДАЧ

3.1. Система состоит из двух шариков с массами m1 и m2, которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент t = 0 шарикам сообщили начальные скорости v1 и v2, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени полного импульса этой системы в процессе движения и радиус - вектора ее центра инерции относительно его начального положения.

Ответ: p = p0 + mgt, где p0 = mv1+ m2 v2, m = m1 + m2; r0 = v0t + gt2/2,

где v0 = (m1 v1+ m2 v2)/(m1+ m2).

3.2. Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек - в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а тележка 2 продолжала двигаться в прежнем направлении так, что ее скорость стала v. Найти первоначальные скорости тележек v1 и v2 , если масса каждой тележки (без человека) M, а масса каждого человека m.

Ответ: v1 = -mv/(M - m), v2 = Mv/(M - m).

3.3. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v0. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна M, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

Ответ: vзадн = v0 - um/(M + m) ; vпер = v0 + umM/(M + m)2.

3.4. Цепочка массы m = 1,00 кг и длины l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

Ответ: p = 2m/3=3,5 кг∙м/с.

3.5. Ствол пушки направлен под углом θ = 450 к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в η = 50 раз меньше массы пушки, v0 = 180 м/c. Найти скорость пушки u сразу после выстрела, если колеса ее освободить.

Ответ: u = v0cos θ/(1+η) = 25 м/c.

3.6. Пушка массы M начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом p в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.

Ответ: t = (p соs a - M)/Mg sin a.

3.7. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла составная частица. Найти ее скорость v и модуль v, если масса у частицы 2 в h = 2,0 раза больше, чем у частицы 1, а их скорости перед столкновением равны v1 = 2i + 3j и v2 = 4i - 5j, где компоненты скорости даны в СИ.

Ответ: v = (v1+hv2)/(1+h); v = 4 м/с.

3.8. На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью u относительно тележки: а)одновременно; б) друг за другом.

Ответ: v1 = -2mu/(M + 2m); v2 = -mu(2M + 3m)/(M + m)(M + 2m).

3.9. На носу лодки длиной L стоит человек, держа на высоте h ядро массы m. Масса лодки вместе с человеком равна М. Человек бросает горизонтально ядро вдоль лодки. Какую скорость по горизонтали должен сообщить человек ядру, чтобы попасть в корму лодки? Сопротивление воды движению лодки не учитывать.

Ответ: v = L/(1 + m/M)(2h/g)1/2 .

3.10. Через блок, укрепленный на потолке комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами m1 и m2. Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение центра масс этой системы.

Ответ: ac = g(m1- m2)2/m1+ m2)2.

4. М Е Х А Н И Ч Е С К А Я Р А Б О Т А И Э Н Е Р Г И Я

Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Й М А Т Е Р И А Л

Элементарной работой силы F на перемещении ds называют скалярное произведение F на ds:

dA = (F ds).

В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, то работа

.

Работа, отнесенная к единице времени, называется мощностью:

.

Приращение кинетической энергии системы материальных точек равно работе всех сил, действующих на систему:

Ек2 – Ек1 = А.

Если работа сил не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела, то такие силы называют консервативными. Работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Консервативной силой является, например, сила тяжести. Все остальные силы называют неконсервативными. К ним относятся, прежде всего, диссипативные силы, например, сила трения. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы:

Еп1 – Еп2 = А.

В системе с одними только консервативными силами полная механическая энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это положение называется законом сохранения энергии в механике:

Ек + Еп = const.

Если в системе действуют диссипативные силы, то механическая энергия системы уменьшается, переходит, например, во внутреннюю энергию. В этом случае выполняется всеобщий закон сохранения энергии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую.

Связь между силой и потенциальной энергией частицы в поле:

F = -grad En.

Примеры решения задач

1. Летевшая горизонтально пуля массы m попала, застряв, в тело массы M, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l (см. рис.4.1). В результате нити отклонились на угол θ. Считая m«M, найти: a) скорость пули перед попаданием в тело; б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.

Дано:

M, m, m«M, l, θ

_____________

v-? η=Q/Eк-?

Решение:

Импульс пули mv. После того, как пуля застряла в теле, тем же импульсом будет обладать тело вместе с пулей (т. к. удар абсолютно неупругий и выполняется закон сохранения импульса). Т. е. в проекции на ось x: mv = (M+m)v1 = Mv1 (т. к. m«M). Отсюда найдем скорость тела после соударения с пулей: v1 = mv/M. После удара кинетическая энергия тела с пулей будет: . Затем тело начнет подниматься и кинетическая энергия будет превращаться в потенциальную (на тело после удара действует только сила тяжести, она является консервативной). Т. е. . Отсюда найдем скорость пули перед попаданием в тело: .

Во время столкновения в системе действовали диссипативные силы (силы трения), поэтому часть механической энергии перешла в тепловую. Запишем всеобщий закон сохранения энергии в момент удара пули о тело: , где Q – тепловая энергия. Подставив значение v1, получим: . Тогда .

Ответ: ; .

2. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v = 3 м/c, прошел до остановки расстояние s = 20,4 м. Найти коэффициент трения k камня о лед.

Дано: v = 3 м/c s = 20,4 м _____________ k-?

Решение:

Работа силы трения при скольжении камня по льду равна (см. рис.4.2):

,

где Fтр = kmg, т. е.

.

Работа силы тяжести и силы реакции опоры равна нулю. С другой стороны, работа равна приращению кинетической энергии камня:

.

Т. к. Ек2 = 0, то

.

Приравнивая полученные выражения для работы, имеем

.

Подставив численные значения, получим k = 0,02.

СПИСОК ЗАДАЧ

4.1. Шайба массы m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол α = 300 с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l = 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения k = 0,15.

Ответ: A = -kmgl/(1-k∙ctgα) = -0,05 Дж.

4.2.Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости xy из точки 1 с радиус-вектором r1 = i+2j в точку 2 с радиус-вектором r2 = 2i-3j. При этом на нее действовали некоторые силы, одна из которых F = 3i+4j. Найти работу, которую совершила сила F . Здесь r1, r2 и F - в СИ.

Ответ: A = F(r2 - r1) = -17 Дж.

	4.3.Тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 4.3). Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l и коэффициент трения k. Ответ:A = mg(h+kl).
Рис.4.3

4.4. Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью vO. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

Ответ: ‹Р› = 0; P = mg(gt - vOsina)

4.5. Тело массы m пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Начальная скорость тела равна v0, коэффициент трения - k. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения.

Ответ: s = , A = -

4.6. Брусок массы m = 1,0 кг находится на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k = 0,27. В некоторый момент ему сообщили начальную скорость v0 = 1,50 м/c. Найти среднюю мощность силы трения за все время движения бруска.

Ответ: <P> = -kmgv0/2 = -2,0 Вт.

4.7. Цепочка массы m = 0,80 кг, длины l = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет η = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

Ответ: A = -(1-η)ηmgl/2 = -1,3 Дж.

4.8. Определить среднюю полезную мощность при выстреле из гладкоствольного ружья, если известно, что пуля массы m вылетает из ствола со скоростью v0, а длина канала ствола l (давление пороховых газов считать постоянным во все время нахождения снаряда в канале ствола).

Ответ: P = mv03/4l.

4.9. Через неподвижный блок, массой которого можно пренебречь, перекинута замкнутая тяжелая веревка массы М. В начальный момент времени за точку веревки, расположенную между блоком и нижним заворотом ее, цепляется обезъяна массы m и начинает карабкаться вверх так, чтобы удержаться на неизменной высоте. Какую мощность должна для этого развить обезъяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная мощность, которую она может развить, равна Pmax?

Ответ: P = (mg)2t/M; t = MPmax/(mg)2.

4.10. Локомотив массы m начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону , где α – постоянная, s – пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения.

Ответ: A = mα4t2/8.

	4.11. Небольшая шайба A соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты H, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 4.4). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s? Чему оно равно? Ответ: h = H/2; sмакс = H.
Рис.4.4

4.12. На нити длины L подвешен шарик массы m. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент когда она будет проходить горизонтальное положение?

Ответ: ; T = 3mg.

4.13. Тело массы m начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема y по закону F = 2(ay-1)mg, где а - положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле силы тяжести Земли на первой половине пути подъема.

Ответ: A = 3mg/4a; ΔEn = mg/2a.

4.14. Найти приращение кинетической энергии системы из двух шариков с массами m1 и m2 при их абсолютно неупругом соударении. До соударения скорости шариков были v1 и v2.

Ответ: ΔEк = -μ(v1-v2)2/2, где μ = m1m2/(m1+m2).

4.15. В результате упругого лобового столкновения частицы массой m1 с покоившейся частицей обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу второй частицы.

Ответ: m2 = 3m1.

4.16. На Землю с очень большого расстояния падает метеорит массой m = 1 т. Найти кинетическую энергию метеорита на расстоянии h = 200 км от поверхности Земли. Считать, что начальная скорость метеорита вдали от Земли равна нулю.

Ответ: T ≈ mgR/(1+h/R), где R – радиус Земли.

4.17. Навстречу друг другу летят два шара с массами m1 и m2. Между шарами происходит неупругий удар. Известно, что кинетическая энергия одного шара в 20 раз больше кинетической энергии другого. При каких условиях шары после удара будут двигаться в сторону движения шара, обладавшего меньшей энергией?

Ответ: При условии, что m1/m2 > 20, где m1 – масса шара, имевшего меньшую энергию.

4.18. Два протона с энергией Е = 0,5 МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают лобовое столкновение. Как близко могут они сойтись, если учитывать только электростатическое взаимодействие между ними?

Ответ: r = e2/2E = 1,4∙10-13 см, где е – заряд протона.

4.19. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от пройденного пути s по закону Eк = αs2, где α – постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от s.

Ответ:

4.20. Определить потенциальную энергию сжатой пружины как функцию ее деформации, считая, что сила деформации пропорциональна третьей степени величины деформации с коэффициентом пропорциональности β.

Ответ: En = βx4/4, где x – деформация пружины.

5. М О М Е Н Т Ы. Д И Н А М И К А Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Момент силы F относительно точки есть вектор, равный

,

где r – радиус-вектор, проведенный из точки, относительно которой рассматривается момент силы F, к точке приложения силы.

Моментом нескольких сил относительно точки называется сумма моментов этих сил относительно той же точки.

Аналогично определяется момент импульса материальной точки относительно неподвижного начала:

.

Момент силы и момент импульса связаны между собой соотношением, которое называется уравнением моментов:

,

где N – геометрическая сумма моментов внешних сил, действующих на систему материальных точек.

Если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю (N=0), то момент импульса системы относительно того же начала остается постоянным во времени (М=const) – закон сохранения момента импульса. В частности, момент импульса сохраняется для замкнутой системы материальных точек.

Моментами силы и импульса относительно произвольной оси называются проекции на эту ось их моментов относительно точки, лежащей на той же оси.

Моментом инерции системы относительно оси называется величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения:

.

Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление его момента инерции сводится к вычислению интеграла

,

где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела.

Основное уравнение динамики вращательного движение вокруг неподвижной оси:

,

где ω – угловая скорость вращения. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции I, роль скорости – угловая скорость ω, роль силы – момент силы N, роль импульса – момент импульса M=Iω. Момент импульса М часто называют вращательным импульсом системы. Если момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс Iω сохраняется.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде:

.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma2, где а –расстояние между осями

.

Примеры решения задач.

1. Шайба A массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О (рис.5.1) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен a. Найти: а) точки, относительно которых момент импульса M шайбы остается постоянным в этом процессе; б) модуль приращения вектора момента импульса шайбы относительно точки О, которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии l от точки О.

Рис.5.1

Дано:

m, , l, α, v=const

____________________

- ?

Решение:

В первом вопросе спрашивается, относительно каких точек момент импульса М остается постоянным. Из уравнения моментов , где N – момент внешних сил относительно рассматриваемой точки, видно, что М=const, если момент сил N относительно этой точки равен нулю. В процессе движения шайбы ее скорость v=const, поэтому равнодействующая сил, действующих на нее, равна нулю и N=0. Но в момент удара о стенку на шайбу будет действовать сила реакции опоры Nоп .Выберем произвольную точку В и вычислим относительно нее момент сил:

.

Он будет равен нулю, если sinβ=0, или β=π. Т. о., М=const относительно точек прямой, перпендикулярной к стенке и проходящей через т. О.

Найдем приращение ΔМ=М1-М, а затем его модуль. Момент импульса шайбы относительно точки О’ после удара о стенку(см. рисунок):

.

Вектор М1 перпендикулярен плоскости, в которой движется шайба, и направлен от нас. По модулю . Момент импульса шайбы относительно точки О до удара о стенку находится аналогично: . Он также перпендикулярен плоскости, в которой движется шайба, но направлен от нас. По модулю . Тогда приращение момента импульса ΔМ=М1-М=2М1, а модуль приращения .

2. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 300 с горизонтом, скатывается без скольжения шарик (рис.5.2). Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на h = 30 см.

Дано: α = 300 h = 30 см = 0,3м _______________ t - ?

Решение:

Т. к. трения нет, воспользуемся законом сохранения механической энергии:

,

где - кинетическая энергия поступательного движения шарика, - кинетическая энергия вращательного движения шарика. - момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, - угловая скорость вращения. Подставив все в закон сохранения энергии, найдем скорость поступательного движения шарика:

.

Поскольку движение шарика равноускоренное, воспользуемся следующими формулами:

.

Выразим время:

.

Воспользовавшись полученным ранее выражением для скорости, получим:

.

Подставив численные значения, имеем: t = 0,585 с.

СПИСОК ЗАДАЧ.

5.1. Шарик массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v0. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить M в вершине траектории, если m = 130 г, = 450 и v0 = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: M = (1/2)mgv0t2cosa; M = (mv03/2g) sin2acosa = 37 кг∙м2/с.

5.2. Момент импульса частицы относительно некоторой точки O меняется со временем по закону M = a + bt2, где a и b - постоянные векторы, причем a^b. Найти относительно точки O момент силы N, действующей на частицу, когда угол между векторами N и M окажется равным 450.

Ответ: N = 2b

5.3. Небольшой шарик массы m, привязанный на нити длины l к потолку в точке O, движется по горизонтальной окружности постоянной угловой скоростью w. Относительно каких точек момент импульса M шарика остается постоянным? Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

Ответ: Относительно центра окружности. ½DM½=2mgl/w.

5.4. На массивный неподвижный блок радиуса R намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено небольшое тело массы m. В момент t = 0 систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от t.

Ответ: MZ = Rmgt.

5.5. Некоторая система частиц имеет суммарный импульс p и момент импульса M относительно точки O. Найти ее момент импульса M’ относительно точки O’, положение которой по отношению к точке O определяется радиус-вектором r0. Выяснить, в каком случае момент импульса системы частиц не будет зависеть от выбора точки O.

Ответ: M’ = M - [r0p]. B случае, когда p = 0, т. е. в системе центра масс.

5.6. Небольшая шайба массы m = 50 г начинает скользить с вершины гладкой наклонной плоскости, высота которой h = 100 см и угол наклона к горизонту α = 150 . Найти модуль момента импульса шайбы относительно оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, через t = 1,3 c после начала движения.

Ответ: M =  mghtsin2α/2 = 1,6∙10-2 кг∙м2/с.

5.7. Найти момент импульса Земли относительно ее полярной оси. Считать Землю правильным шаром радиуса R = 6000 км, имеющим плотность r = 5,5 г/см3.

Ответ: M = 16rR5p2/15Т = 52∙1040 г∙см2/c.

5.8. Найти момент инерции: а) однородного тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня m и его длина l; б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей через одну из вершин пластинки перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки равны a и b, а ее масса - m.

Ответ: а) I = ml2/3; б) I = m(a2 + b2)/3.

5.9. Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом а и массы m относительно оси, совпадающей с его диаметром.

Ответ: I = ma2/2.

5.10. Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

Ответ: I = 2mR2/3.

5.11. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m. В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.

Ответ: а) ω = gt/R(1+M/2m); б) Ek = mg2t2/2(1+M/2m).

5.12. Однородный шар массы m = 5,0 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α = 300 с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через t = 1,6 c после начала движения.

Ответ: Ek = 5mg2t2sin2α/14 = 0,11 кДж.

	5.13. Найти ускорение грузов и натяжение нитей в установке, изображенной на рисунке 5.3, учитывая момент инерции I вращающегося блока, при условии, что нить не скользит по блоку. Радиус блока r. Ответ: a2 = -a1 = (m2-m1)g/(m2+m1+I/r2); T1 = (2m1m2g+m1gI/r2)/(m1+m2+I/r2); T2 = (2m1m2g+m2gI/r2)/(m1+m2+I/r2).
Рис.5.3

5.14. На горизонтальную неподвижную ось насажен блок, представляющий собой сплошной цилиндр массы М. Через него перекинута невесомая веревка, на концах которой висят две обезъяны массой m каждая. Первая обезъяна начинает подниматься с ускорением а относительно веревки. Определить, с каким ускорением относительно неподвижной системы координат будет двигаться вторая обезъяна.

Ответ: a2 = 2ma/(M+4m).

5.15. По наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, скатывается без скольжения сплошной однородный диск. Найти линейное ускорение а центра диска.

Ответ: a = 2gsinα/3.

5.16. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=300, скатывается без скольжения сплошной однородный цилиндр, масса которого равна 300 г. Найти величину силы трения цилиндра о плоскость.

Ответ: F = mg sinα/3.

5.17. На краю свободно вращающегося горизонтального диска радиуса R, имеющего момент инерции I, стоит человек массы m. Диск совершает n об/мин. Как изменится скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Как изменится при этом кинетическая энергия? Размерами человека по сравнению с радиусом диска можно пренебречь.

Ответ: Скорость вращения и кинетическая энергия возрастут в (1+mR2/I) раз.

5.18. Найти ускорение а центра однородного шара, скатывающегося без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Чему равна сила трения сцепления шара и плоскости?

Ответ: a = 5g sinα/7; Tтр = 2mg sinα/7, где m – масса шара.

5.19. Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.

Ответ:

5.20. Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины l может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, летевшая пуля массы m, в результате чего стержень отклонился на угол α. Считая m«М, найти скорость летевшей пули.

Ответ: v = (M/m)(2gl/3)1/2sin(α/2).

6. К О Л Е Б А Н И Я

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Колебания – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Например, качание маятника, переменный электрический ток.

Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Важным среди колебательных движений является гармоническое колебательное движение. При таком движении колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Характер такого движения лучше рассматривать с помощью следующей кинематической модели. Пусть точка М равномерно вращается по окружности радиуса А с постоянной угловой скоростью w (рис.6.1).

Рис.6.1

Тогда ее проекция N на ось X, проходящую через диаметр, будет совершать колебательное движение от положения N1 до N2 и обратно. Это колебание точки N и будет гармоническим колебанием. Чтобы его описать, нужно найти координату x точки N как функцию времени t. Пусть в начальный момент времени t=0 радиус ОМ составлял с осью X угол d. Спустя время t этот угол получит приращение wt и станет равным α = wt+d. Тогда координата x точки N в данный момент t определится как

.

Эта формула и описывает гармоническое колебание точки N.

Величина А дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия и называется амплитудой колебания. Величина w называется циклической частотой. Величину wt+d называют фазой колебания, а ее значение при t=0, т. е. значение d – начальной фазой колебания. Графически можно изобразить колебательное движение, если откладывать по горизонтальной оси время t, а по вертикальной оси – смещение x (рис.6.2). На рисунке амплитуда А = 2, начальная фаза d = 0.

Рис.6.2

Промежуток времени, через который фаза получит приращение 2π, а колеблющаяся точка вернется в исходное положение, называют периодом колебаний:

.

Скорость колеблющейся точки:

.

Ускорение:

,

или

.

Последнее выражение есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна

.

Она пропорциональна отклонению x и имеет противоположное ему направление, т. е. направлена к положению равновесия.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, равна

.

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

.

Полная энергия: .

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за потерь энергии колебательной системой (тепловые потери вследствие трения в механических колебаниях).

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

,

где x –колеблющаяся величина, b - коэффициент затухания, w0 –циклическая частота свободных незатухающих колебания той же колебательной системы (т. е. при b=0).

Решение этого уравнения в случае малых затуханий (b << w0)

,

где - амплитуда затухающих колебаний, а А0 – начальная амплитуда, - частота затухающих колебаний (рис.6.3). Промежуток времени t=1/b, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е – раз, называется временем релаксации.

Рис.6.3

Под периодом затухающих колебаний понимают промежуток времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся величины. Тогда

.

Если А(t) и А(t+Т) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то величину

называют логарифмическим декрементом затухания.

Также для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

.

Примеры решения задач

1.Вычислить период малых колебаний ареометра которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении (рис.6.4). Масса ареометра m = 50 г, радиус его трубки r = 3,2 мм, плотность жидкости r = 1,00 г/см3. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.

Дано:

m = 50 г = 5·10-2 кг

r = 3,2 мм = 3,2·10-3 м

r = 1,00 г/см3 = 103 кг/м3

______________________

Т-?

Рис.6.4

Решение

В покое действующие на ареометр силы уравновешивают друг друга, поэтому в проекции на ось X:

mg - Fарх = 0.

Т. к. Fарх = Pж = rVжg = rπr2hg, то

mg = rπr2hg.

После толчка в вертикальном направлении:

ma =mg - Fарх

или

ma = mg - rπr2(h+x)g.

Отсюда, с учетом того, что имеем

.

Поскольку дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид

,

видим что в нашем случае

.

Тогда

.

Подставив численные значения, получим Т = 2,5 с.

2.Тело массой m = 100 г, совершая затухающие колебания, за время t = 1 мин потеряло 40 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления среды r.

Дано:

m = 100 г = 0,1 кг

t = 1 мин = 60 c

E(t+t) = 0,6E(t)

___________________

r-?

Решение

Сила трения при малых колебаниях , где r - коэффициент сопротивления среды, v - скорость тела. Следовательно , где b - коэффициент затухания. Полная энергия колебаний

,

- амплитуда затухающих колебаний. Тогда

.

С другой стороны, по условию задачи

.

Следовательно,

.

Выражаем отсюда искомую величину:

.

Подставив численные значения, имеем r = 8,5·10-4 кг/c.

СПИСОК ЗАДАЧ

6.1. Частица массы m находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = U0(1-cos ax), U0 и а – постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Ответ: .

6.2. Частица массы m находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = a/x2-b/x, где а и b – положительные постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Ответ: .

6.3. Неподвижное тело, подвешенное на пружине, увеличивает ее длину на Dl = 70 мм. Считая массу пружины пренебрежимо малой, найти период малых вертикальных колебаний тела.

Ответ: =0,52 с.

6.4. Определить период малых продольных колебаний тела массы m в системе, показанной на рис.6.5, если жесткости пружинок равны k1 и k2, а их массы и трение пренебрежимо малы. В положении равновесия пружинки не деформированы.

Ответ: .

Рис.6.5 Рис.6.6

6.5. Найти период малых вертикальных колебаний тела массы m в системе, показанной на рис.6.6. Жесткости пружинок равны k1 и k2, а их массы пренебрежимо малы.

Ответ: .

6.6. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины l = 80 см, если в начальный момент маятник: а) отклонили на угол α = 3,00 и без толчка отпустили; б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость v = 0,22 м/с.

Ответ: а) б).

6.7. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины l = 80 см, если в начальный момент маятник отклонили на угол α = 3,00, а его нижнему концу сообщили скорость v = 0,22 м/с, направленную к положению равновесия.

Ответ: .

6.8. Тело массы m упало с высоты h на чашку пружинных весов. Массы чашки и пружины пренебрежимо малы, жесткость пружины k. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.

Ответ: , .

6.9. Уравнение колебания материальной точки массой m = 16 г имеет вид м. Найти зависимость от времени силы F, действующей на точку и максимальное значение силы.

Ответ: ; Fmax = 246 мкН.

6.10. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза Wmax = 1 Дж. Амплитуда колебаний А = 5 см. Найти жесткость пружины.

Ответ: k = 2Wmax/A2 = 800 Н/м.

6.11. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания d0 = 1,5. Каким будет значение d, если сопротивление среды увеличить в n = 2 раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?

Ответ: = 3,3; = 4,3.

6.12. Найти добротность осциллятора, у которого: а) амплитуда смещения уменьшается в h = 2,0 раза через каждые n = 110 периодов колебаний; б) собственная частота w0 = 100 с-1 и время релаксации t = 60 с.

Ответ: а) ; б) = 3000.

6.13. К невесомой пружине подвесили грузик, и она растянулась на Dx = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания d = 3,1.

Ответ: =0,7 с.

6.14. Тело совершает крутильные колебания по закону . Найти: а) угловую скорость и угловое ускорение тела в момент t = 0; б) моменты времени, когда угловая скорость максимальна.

Ответ: а) ; б) , где n = 0,1,2,…

6.15. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения m = 0,1 лежит брусок массы m = 0,5 кг, соединенный горизонтальной недеформированной пружинкой. Жесткость пружинки k = 2,45 Н/см, а ее масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на x0 = 3,0 см, и затем отпустили. Найти: а) период колебаний бруска; б) число колебаний, которое совершит брусок до остановки.

Ответ: а) = 0,28 с; б) .

6.16. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания d = 1,6, начальная фаза j = 0. При t = T/4 смещение точки x = 4,5 см. Написать уравнение движения этого колебания.

Ответ: .

6.17. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника l = 1 м.

Ответ: = 0,023.

6.18. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания d = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

Ответ: n = a0/a = ed = 1,22.

6.19. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t1 = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t2 = 3 мин?

Ответ:

6.20. К вертикально висящей пружинке подвешивают груз. При этом пружинка удлиняется на Dl = 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания b, чтобы логарифмический декремент затухания колебаний был равен d = 6?

Ответ:  = 6,89 с-1.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Иродов по общей физике. М.: Наука, 1988.

2. Сборник задач по общему курсу физики. Механика. Под ред. М.: Наука, 1977.

3. Сивухин курс физики. Т.1. Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2002.