Учебно-методический комплекс для направления подготовки «Экономика» - 080100 квалификации «Бакалавр» (стр. 2 )

При тестовой форме экзамена количество правильных ответов на тесты не менее 85%;

«Хорошо» - даны хорошие ответы на основной вопрос в объеме программы, частичные ответы на дополнительные вопросы. Хорошо и в срок выполненные контрольные и самостоятельные задания, периодическое выполнение творческих заданий и докладов, обсуждение при решении практических задач, итоговые тесты по разделам оценены не ниже, чем на «хорошо» и «удовлетворительно».

При тестовой форме экзамена количество правильных ответов на тесты не менее 75%.;

«Удовлетворительно» - дан ответ на основные вопросы в объеме программы, частичные ответы на дополнительные вопросы. Слабо выполненные контрольные и самостоятельные работы, отсутствие творческих работ и докладов, итоговые тесты по разделам оценены на «удовлетворительно» и ниже.

При тестовой форме экзамена количество правильных ответов на тесты не менее 65%;

«Неудовлетворительно» - незнание основных вопросов в объеме программы (слабый ответ на вопрос и затруднения с ответами на дополнительные вопросы). Невыполненные текущие задания и работы.

При тестовой форме экзамена количество правильных ответов на тесты менее 65%.

Порядок проведения устных экзаменов:

В аудитории, как правило, должны одновременно находиться не более пяти опрашиваемых. Опрашиваемый до начала ответа может уточнить содержание билета, задать вопросы преподавателю, а также имеет право отказаться от выбранного билета и взять другой, оценка в этом случае может быть снижена на один балл. При подготовке к ответу разрешается пользоваться раздаточным материалом по дисциплине. На подготовку к ответу по билету, как правило, отводится до 30 минут. Преподаватель, в целях установления истинного уровня знаний вправе задать дополнительные вопросы. Экзамены принимаются индивидуально. Опрашиваемым помогающим друг другу, использующим неразрешенные пособия и записи, а также другие средства, могут быть даны дополнительные вопросы или предложено аттестоваться без билета в целях установления действительного уровня их подготовленности.

По окончании опроса студента объявляется оценка. Оценки заносятся в экзаменационную ведомость и выставляются в зачетную книжку. Неудовлетворительная оценка в зачетную книжку не проставляется.

Порядок ликвидации академических задолженностей определен федеральными, ведомственными нормативными правовыми актами и руководящими документами института.

Порядок ликвидации академических задолженностей определен федеральными, ведомственными нормативными правовыми актами и руководящими документами института.

Возможен другой регламент изучения настоящего курса, который определит преподаватель и который найдет свое отражение в расписании установочных занятий и сессии.

Настоящий раздаточный материал составлен на основе Учебно-методического комплекса дисциплины «Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», разработанного при информационной поддержке компании «Консультант Плюс» кандидатом физико-математических наук, доцентом Бойко Светланой Николаевной.

Учебно-методический план по курсу «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

(с элементами аналитической геометрии)»

№	Наименование разделов и тем		Количество часов
п/п		Всего	Лекции и семинарские занятия[1]	Самостоятельная работа
1	Структура, характер и задачи современной математики	56	4	52
2	Матрицы и определители	56	4	52
3	Системы линейных уравнений	56	4	52
4	Линейные пространства	56	4	52
5	Комплексные числа	64	8	56
	Итого	288	24	264

Программа курса

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (с элементами аналитической геометрии)»

с рекомендациями к изучению тем

Рекомендации ко всему курсу - по мере изучения программы курса рекомендуется:

–  прорабатывать перечень «Понятия и термины понятийного аппарата, рекомендуемые для изучения по курсу «Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)» и отмечать (повторно) термины и понятия, формулирование которых не вызывает затруднений. Конечная цель данной методики – иметь проработанными (отмеченными дважды) все понятия и термины перечня;

§  решить все задачи контрольной работы в рабочей тетради.

Тема 1. Структура, характер и задачи современной математики

Основные черты математического мышления. Математические доказательства. Роль математики в гуманитарных науках. Математические методы в целенаправленной деятельности. Общая постановка задачи о принятии решения. Индукция и дедукция в математике, принципы математических рассуждений.

Геометрия Евклида как первая естественно - научная теория. Аксиоматический метод. Аксиомы геометрии Евклида. Неевклидова геометрия. Геометрия макро - и микромира.

Основы алгебры, геометрии и дискретной математики.

Рекомендации к изучению темы:

1.  Целесообразно оформить тезисный конспект темы в соответствии с дидактическими единицами программы;

2. Установите соответствие понятий и терминов, приведенных в разделе «Понятия и термины понятийного аппарата, рекомендуемые для изучения по курсу «Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», конспектируемой теме и отметьте их любым способом (первый раз);

3.  Повторите вопросы и оформите тезисный конспект по контрольным вопросам, которые соответствуют рассматриваемой теме.

Тема 2. Матрицы и определители

Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц. Умножение матриц. Элементарные преобразования матриц. Определитель квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке или столбцу. Свойства определителей. Обратная матрица и способы ее вычисления. Ранг матрицы.

Рекомендации к изучению темы:

1.  Целесообразно оформить тезисный конспект темы в соответствии с дидактическими единицами программы и учетом следующих рекомендаций: тема закладывает основу для дальнейшего рассмотрения методов решения систем линейных алгебраических уравнений. В конспекте обязательно должны быть раскрыты такие понятия, как матрица, определитель, минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы, дана классификация матриц, при этом надо обратить особое внимание на единичную матрицу, верхнюю и нижнюю треугольные матрицы и обратную матрицу. Должны быть описаны способы вычисления определителя квадратных матриц второго и третьего порядка и общий метод вычисления определителя разложением по строке или столбцу. При изучении обратных матриц должны быть раскрыты два метода их вычисления: через присоединенную матрицу и методом элементарного преобразования строк. При этом следует отразить, как проводится вычисление ранга матрицы произвольных размеров приведением ее к ступенчатому виду;

2.  Установите соответствие понятий и терминов, приведенных в разделе «Понятия и термины понятийного аппарата, рекомендуемые для изучения по курсу « Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», конспектируемой теме и отметьте их любым способом (первый раз), а так же установите содержание специальных терминов-ключевых понятий: матрица, единичная матрица, диагональная матрица, верхняя и нижняя треугольная матрицы, линейные операции над матрицами, транспонирование, умножение матриц, элементарные преобразования, определитель матрицы, минор элемента и матрицы, алгебраическое дополнение, обратная матрица, ранг матрицы;

3.  Повторите вопросы и оформите тезисный конспект по контрольным вопросам, которые соответствуют рассматриваемой теме.

Тема 3. Системы линейных уравнений

Основные понятия, определения и формы записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Условие Кронекера-Капелли совместности СЛАУ. Нахождение решения СЛАУ по формулам Крамера. Запись и решение СЛАУ в матричном виде. Решение СЛАУ методом Гаусса. Общее решение произвольной СЛАУ.

Рекомендации к изучению темы:

1.  Целесообразно оформить тезисный конспект темы в соответствии с дидактическими единицами программы и учетом следующих рекомендаций: данная тема является ключевой в разделе линейная алгебра, т. к. полученные здесь знания создают основу для успешного усвоения материала других тем, особенно таких, как линейные пространства, методы линейного программирования, численные методы решения дифференциальных уравнений. В конспекте должны быть представлены различные формы записи систем линейных алгебраических уравнений, сформулировано условие Кронекера-Капелли совместности систем, описаны три метода нахождения корней системы уравнений: метод Крамера, метод обратной матрицы и, наконец, метод Гаусса. Особо необходимо отметить универсальность последнего метода для решения больших систем уравнений, в том числе и в случае, когда количество уравнений меньше числа неизвестных. Должны быть приведены примеры решения систем уравнений, у которых число строк совпадает и не совпадает с числом неизвестных. Рассмотрен метод вычисления собственных значений и собственных векторов матриц.

2.  Установите соответствие понятий и терминов, приведенных в разделе «Понятия и термины понятийного аппарата, рекомендуемые для изучения по курсу «Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», конспектируемой теме и отметьте их любым способом (первый раз), а так же установите содержание специальных терминов-ключевых понятий: система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), условие Кронекера-Капелли, формулы Крамера, матричное уравнение, метод Гаусса, общее решение произвольной СЛАУ, собственные векторы и собственные значения матрицы;

3.  Повторите вопросы и оформите тезисный конспект по контрольным вопросам, которые соответствуют рассматриваемой теме.

Тема 4. Линейные пространства

Определение, свойства и примеры линейных пространств. Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства. Операции в координатной форме. Преобразование координат при замене базиса. Линейные преобразования. Скалярное произведение векторов. Евклидовы пространства. Нормированные пространства. Угол между векторами. Элементы аналитической геометрии. Различные формы уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости.

Рекомендации к изучению темы:

1.  Целесообразно оформить тезисный конспект темы в соответствии с дидактическими единицами программы и учетом следующих рекомендаций: в конспекте обязательно должны быть раскрыты понятия линейного пространства, линейной независимости векторов, размерности и базиса пространства. В общем виде и обязательно на примерах продемонстрирована процедура преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Прослежено получение матрицы линейного преобразования в линейном пространстве. При изучении евклидовых пространств следует дать вывод формулы для скалярного произведения векторов. Необходимо раскрыть понятие линейного оператора и описать метод отыскания собственных значений и собственных векторов операторов. В конспекте должны быть представлены различные формы записи уравнения прямой в пространстве и постановки и методы решения задач о взаимном положении прямой и плоскости;

2. Установите соответствие понятий и терминов, приведенных в разделе «Понятия и термины понятийного аппарата, рекомендуемые для изучения по курсу «Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», конспектируемой теме и отметьте их любым способом (первый раз), а так же установите содержание специальных терминов-ключевых понятий: линейное пространство, линейная зависимость векторов, базис, преобразование координат при замене базиса, линейные подпространства, пересечение и сумма линейных подпространств, евклидовы пространства, скалярное произведение, нормированные пространства, угол между векторами, ортонормированные базисы, линейный оператор, собственные векторы и собственные значения линейного оператора, уравнение прямой в пространстве, уравнение плоскости;

3.  Повторите вопросы и оформите тезисный конспект по контрольным вопросам, которые соответствуют рассматриваемой теме.

Тема 5. Комплексные числа

Понятие, геометрическое представление и формы записи комплексных чисел. Основные операции над комплексными числами. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Рекомендации к изучению темы:

1.  Целесообразно оформить тезисный конспект темы в соответствии с дидактическими единицами программы и учетом следующих рекомендаций: в конспекте обязательно должны быть раскрыты понятия комплексного числа и описаны арифметические действия с комплексными числами. Следует представить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа и примеры на сложение (вычитание), умножение и деление комплексных чисел, более детально рассмотреть извлечение корня из комплексного числа;

2.  Установите соответствие понятий и терминов, приведенных в разделе «Понятия и термины понятийного аппарата, рекомендуемые для изучения по курсу «Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии», конспектируемой теме и отметьте их любым способом (первый раз), а так же установите содержание специальных терминов-ключевых понятий: геометрическое представление и формы записи комплексных чисел, модуль, аргумент;

3.  Повторите вопросы и оформите тезисный конспект по контрольным вопросам, которые соответствуют рассматриваемой теме.

Понятия и термины понятийного аппарата, рекомендуемые

для изучения по курсу

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (с элементами аналитической геометрии)»[2]

Аксиома

Аксиоматический метод

Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение элемента матрицы[3]

Аргумент

Асимптота графика

Асимптоты гиперболы

Ассоциативный закон умножения матриц

Базис

Базис линейного пространства

Базисное решение

Базисные строки

Базисный минор

Балансовый анализ

— —, вектор валового выпуска

— —,— конечного продукта

— —,коэффициенты прямых затрат

— —,матрица полных затрат

— —,— прямых затрат

— —, основная задача

— —,продуктивная модель

— —,соотношения баланса

— —, стоимостный межотраслевой

Баланс

Вектор

—нулевой

—n-мерный

—противоположный

—столбец

—строка

Векторное пространство

Верхняя и нижняя треугольная матрицы

Вершина параболы

Вершины гиперболы

—эллипса

Вклад ученых в развитие математи­ки

Возведение в степень комплексного числа

— — —матрицы

Геометрическое представление и формы записи комплексных чисел

Гипербола

—, каноническое уравнение

— равносторонняя

— сопряженная

—, характеристическое свойство

Дедукция

Диагональ матрицы главная

— —побочная

Диагональная матрица

Директриса параболы

Длина вектора

— —,свойства

Достаточное условие

Евклидово пространство

Единичная матрица

Зависимость между координатами вектора в разных базисах

Инверсия

Индукция

Квадратичная форма

— —,канонический вид

— —,матричный вид

— —положительно определенная

— — — —, необходимое и достаточное условие

— — отрицательно определенная

— — — — , необходимое и достаточное условие

Квадратный трехчлен

Коллинеарные векторы

Комплексная плоскость

— —, действительная ось

— —, мнимая ось

Комплексные числа

— —, алгебраическая форма

— —, показательная форма

— — , свойства арифметических операций

— — сопряженные

— — , тригонометрическая форма

Координаты вектора

— текущие

— точки

Критерий продуктивности матрицы

— Сильвестра

Линейная зависимость векторов

Линейная комбинация векторов

— — строк матрицы

— — функций

Линейное отображение

— преобразование

— пространство

Линейно зависимые векторы

Линейно независимые векторы

Линейный оператор

Логические рассуждения

Максимальное число базисных решений

Матрица

— взаимная

— единичная

— диагональная

— квадратная

— квадратичной формы

— невырожденная (неособенная)

— нулевая

— обратная

— —, алгоритм вычисления

— —, необходимое и достаточное условие существования

— оператора

— перехода к новому базису

— присоединенная

— продуктивная

— симметрическая

—системы

— — расширенная

—столбец

— — переменных

— — свободных членов

— ступенчатая

— строка

— транспонированная

— треугольная

Матричная алгебра

Матричное уравнение

Математические доказательства

Метод

— Гаусса

— —, условие несовместимости системы

— —, преимущества

Минор матрицы

Минор элемента матрицы

— k-то порядка

Модель

— Леонтьева

— обмена (международной торговли)

— —, структурная матрица торгов­ли

— —, уравнение сбалансированной торговли

Модуль

Модуль вектора

—комплексного числа

Мнимая единица

Мнимые числа

Нормированные пространства

Направленный отрезок

Направляющий вектор прямой

Независимость характеристического много­члена оператора от выбора ба­зиса

Необходимое условие

— и достаточное условие

n-мерное линейное пространство

n-мерный вектор

— —, компоненты

Норма вектора

Нормальный вектор плоскости

Нормированные пространства

Обратная матрица

Обратная пропорциональная зависимость

Общее решение произвольной СЛАУ,

Общее уравнение прямой

— — —, исследование

Окружность, нормальное уравнение

Оператор

— линейный

— нулевой

— тождественный

Определитель матрицы

— — диагональной

— — второго порядка

— —n-го порядка

— —, свойства

— — первого порядка

— — третьего порядка

— — треугольной

— произведения двух квадратных матриц

— системы

Определитель квадратной матрицы

Ортогональные векторы

Ортогональный базис

Ортонормированные базисы

Параметр параболы

Парабола, каноническое уравнение

—, характеристическое свойство

Переменные базисные

— неосновные

— основные

— свободные

Пересечение и сумма линейных подпространств

Перестановка

Переход к новому базису

Полуось гиперболы действительная

— — мнимая

— эллипса

Правило многоугольника

—параллелепипеда

—параллелограмма

—Сарруса

—треугольника

—треугольников

Преобразование

Преобразование координат при замене базиса

Произведение вектора на число

— линейного оператора на число

— линейных операторов

—матриц

—матрицы на число

Прообраз вектора

Равенство векторов

— комплексных чисел

— матриц

— множеств

— столбцов (строк)

Равносильные системы уравнений

Радиус-вектор

— комплексного числа

Разность векторов

Размер матрицы

Размерность пространства

Разложение вектора по базису

Ранг матрицы

— квадратичной формы

— оператора

Расстояние между двумя точками плоскости

— от точки до прямой

Решение системы уравнений

Свойства векторов линейного пространства

— линейных операций над матрицами

— — — — векторами

Символ равносильности

Система двух линейных уравнений

— — — —, исследование

— линейных уравнений

— — — — в матричной форме

— — — —, запись с помощью знаков суммирования

— — —, исследование

— — —, коэффициенты при переменных

— — — неопределенная

— — — несовместная

— — — определенная

— — —, решение

— — —, свободные члены

— — — совместная

— — —, структура общего решения

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Система линейных однородных уравнений

— — — —, исследование

— — — —, общее решение

— — — —, свойства решений

— нормальных уравнений

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов

— — —, свойства

— — —, экономический смысл

Скалярный квадрат вектора

Сложение векторов

— комплексных чисел

— матриц

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Собственный вектор линейного оператора (матрицы)

Собственное значение линейного оператора (матрицы)

Сочетания, число сочетаний из n по m

Сумма векторов

— линейных операторов

— матриц

Теорема Крамера

— Кронекера-Капелли

— Лапласа

— о единственности представления вектора линейного пространства

— — зависимости между матрица­ми оператора в разных базисах

— — законе инерции квадратичных форм

— — матрице оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов

— — приведении квадратичной формы к каноническому виду

— — размерности и базисе пространства

— —ранге матрицы

— — существовании в n-мерном пространстве ортонормиро-ванного базиса

— — числе решений любой фундаментальной системы решений

Теория двойственности

Точка пересечения прямых

Транспонирование

Транспонирование матриц

Угловой коэффициент

Угол между векторами

— — двумя прямыми

Умножение матриц

— —, его особенности

—матрицы на число

Уравнение касательной

— линии

— плоскости общее

— —, проходящей через данную точку перпендикулярно данно­му вектору

— прямой в отрезках

— прямой в пространстве

— —, проходящей через данную точку в данном направлении

— — — — две данные точки

— — с угловым коэффициентом

— пучка прямых

— связи

Уравнения прямой в пространстве

— — — — канонические

Условие Кронекера-Капелли

Условие параллельности плоско­стей

— — прямых

— перпендикулярности прямых

— —плоскостей

Фокус параболы

Фокусы гиперболы

— эллипса

Формулы Крамера

Фундаментальная система решений

Характеристический многочлен линейного оператора (матрицы)

— — оператора (матрицы)

Чисто мнимые числа

Эквивалентные системы уравнений

Эксцентриситет гиперболы

— эллипса

Элементарные преобразования

Эллипс

—, каноническое уравнение

—, характеристическое свойство

Контрольные вопросы по курсу

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (с элементами аналитической геометрии)»

1. Математические доказательства. Роль математики в гуманитарных науках. Математические методы в целенаправленной деятельности

2. Основы геометрии Евклида. Аксиоматический метод, аксиомы геометрии Евклида. Неевклидовы геометрии

3. Определение множества. Подмножества. Диаграмма Эйлера-Венка

4. Объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение множеств.

5. Координаты точки

6. Определение вектора, умножение вектора на скаляр

7. Сложение векторов, линейная комбинация векторов

8. Умножение векторов, выражения произведений векторов в прямоугольной декартовой системе координат

9. Определение матрицы

10. Определитель квадратной матрицы

11. Алгебра матриц, обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Собственные значения и собственные векторы матриц

14. Решение системы алгебраических уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы

15. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

16. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

17. Система линейных однородных уравнений

18. Балансовая модель

Справочные материалы по курсу

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (с элементами аналитической геометрии)»[4]

(2)

Рекомендуемая литература по курсу

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (с элементами аналитической геометрии)»

Основная:

1.  Высшая математика для экономистов. /Под ред. . – М., 2008

Дополнительная рекомендуема:

1.  , , Тришин для экономистов: от арифметики до эконометрики. /Учебно-справочное пособие. – М., 2007

2.  Общий курс высшей математики для экономистов. /Под ред. . – М., 2003

3.  Щипачев высшей математики. - М.: Высшая школа, 2001

Основные термины и понятия[5]

Аксиоматическое построение теории вероятностей. Вероятность события должна удовлетворять следующим аксиомам:

Р.1. Вероятность любого события неотрицательна:

Р.2. Вероятность достоверного события равна единице:

суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если АiАj = Ǿ (ij),то

Алгебраическое дополнение элемента матрицы – минор элемента матрицы со знаком

Асимптота графика – прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат

Базис линейного пространства – совокупность n- линейно независимых векторов n - мерного пространства

Бесконечно большая величина – функция, модуль которой больше любого, даже сколь угодно большого положительного числа

Бесконечно малая величина – функция, предел которой равен нулю

Вариационный размах- разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:

Вариационный ряд - ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариантов (зна­чений признака — случайной величины X) с соответствую­щим им весами (частотами или частостями).

Вероятность события - численная мера степени объективной возможности наступления события. Вероятность со­бытия А равна отношению числа m случаев, благоприят­ствующих ему, к общему числу n случаев, т. е.

Вторая теорема двойственности - компоненты опти­мального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих пере­менных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения.

Выпуклое множество - множество точек, если оно вме­сте с любыми двумя своими точками содержит весь отре­зок, соединяющий эти точки.