Многокритериальные оптимизационные задачи (стр. 2 )

Таблица 5 – Результаты экспертизы

Эксперт	Параметр
О	К
1	0,8	0,2	1
2	0,9	0,1	1
3	0,7	0,3	1
4	0,7	0,3	1
5	0,6	0,4	1
6	0,8	0,2	1
7	0,7	0,3	1
8	0,8	0,2	1
ak	0,75	0,25	1

На основании данных проведенной экспертизы находим значение экспертных оценок:

a1 = 0,75; a2 = 0,25.

Как показывает опыт, удовлетворение экспертами требования при К ≥ 3 вызывает затруднение. Для таких случаев можно определять коэффициенты веса другими методами, например методом оценки важности параметра в баллах.

Оценка важности параметра в баллах

В этом случае каждый i-й эксперт назначает каждому k-му параметру оценку по десятибалльной системе. Наиболее важный параметр оценивают более высоким баллом. Различным параметрам может быть назначен одинаковый балл. В результате экспертизы заполняется таблица 6.

Таблица 6 – Определение коэффициентов веса

Эксперт	Параметр	bi
1	…	k	…	K
1	b11		b1k		b1K	b1
…
i	bi1		bik		biK	bi
…
n	bn1		bnk		bnK	bn

Далее определяется сумма для каждого эксперта

(5)

и находится значение коэффициента веса

(6)

Предположим, что в результате экспертизы получены данные, представленные в таблице 7.

Таблица 7 – Определение коэффициентов веса

Эксперт	Параметр	bi
1	2	3	4
1	6	5	9	7	27
2	10	8	4	9	31
3	5	8	9	3	25

По формуле (6) найдем значения aik, которые запишем в таблицу 8, составленную по форме таблицы 4.

Таблица 8 – Определение коэффициентов веса

Эксперт	Параметр
1	2	3	4
1	0,22	0,19	0,33	0,26	1
2	0,32	0,25	0,13	0,3	1
3	0,20	0,32	0,36	0,12	1
ak	0,25	0,25	0,27	0,23	1

По формуле (4) определим значения коэффициентов веса, которые приведены в нижней строке таблицы 8. Из анализа данных, полученных в последней строке таблицы 8, видно, что, несмотря на очень разные оценки экспертов, приведенные в таблице 7, все параметры имеют примерно одинаковую относительную важность.

Метод парных соотношений

Если совместная оценка всех параметров вызывает затруднения, их можно сравнивать попарно, т. е. методом парных соотношений. Рассмотрим этот метод на следующем примере.

Пусть задано пять параметров: х1, х2, х3, х4, х5. Каждый i-й эксперт назначает парные соотношения

1, если k-й параметр важнее j-го;

γkj=

0 – в противном случае.

Пусть для i-го эксперта получена таблица 9.

Таблица 9 – Метод парных соотношений

Сравниваемые параметры	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
Х1		0	1	1	1	3
Х2	1		1	0	0	2
Х3	0	0		0	0	0
Х4	0	1	1		1	3
Х5	0	1	1	0		2

Переход от данных таблицы 9 к коэффициентам веса производится следующим образом: просуммируем значения для каждой строки таблицы.

,

Запишем их в последнем столбце таблицы 9. Просуммируем величины для всех строк и найдем

Определим экспертную оценку i-го эксперта для k-го параметра по зависимости

Для i-го эксперта, который составил таблицу 9, получим значения: a1 = 0,3; a2 =0,2; a3 = 0; a4 = 0,3; a5 = 0,2. Эти данные представляют собой строку для i-го эксперта в таблице 4. Получив аналогичные значения по форме таблицы 9 для остальных экспертов и выполнив приведенные вычисления, определим значения коэффициентов веса для всех экспертов aik, которые являются исходными данными для составления таблицы 4. По зависимости (4) можно найти коэффициенты веса для каждого параметра.

Данные коэффициенты веса можно использовать в качестве исходных данных для оценки важности каждого оптимизируемого параметра при многопараметрической оптимизации.

Рассмотрим два метода, которые обеспечивают получение компромиссных решений: компромиссную целевую функцию и многоцелевое программирование.

Компромиссная целевая функция. Компромиссная целевая функция должна удовлетворять следующим требованиям: приведение параметров, имеющих, как правило, различную размерность, к безразмерной форме; возможность назначения относительной важности каждого параметра, что и определяет компромисс; увеличение значения целевой функции для улучшающих параметров и уменьшение для ухудшающих параметров.

Приведем пример целевой функции, удовлетворяющей этим требованиям: (5)