Многокритериальные оптимизационные задачи (стр. 1 )

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Во всех примерах, которые мы рассматривали до сих пор, в целевую функцию входил один критерий, например, прибыль, выпуск продукции и т. п. Достаточно часто свести наши желания к какому-нибудь одному критерию просто невозможно. Задачи, в которых оптимизацию следует производить по нескольким параметрам, называют задачами многопараметрической или многокритериальной оптимизации. Имеется ряд методов многопараметрической оптимизации. Рассмотрим некоторые из них.

Метод последовательных уступок

Производство, изготавливающее некоторую продукцию, будем характеризовать двумя параметрами: объемом выпуска продукции и ее качеством. Объем выпуска продукции будем измерять в рублях. Что касается качества, то оценивать его одним числом очень трудно и не всегда возможно. Примем, что качество оценивается одним числом – трудоемкостью, измеряемой в единицах человеко-времени.

Пусть для выпуска трех видов продукции требуются три типа ресурсов. Каждая единица продукции характеризуется объемом и качеством. Все количественные характеристики приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Характеристика выпускаемой продукции

Характеристика	Вид продукции	Располагаемый ресурс
П1	П2	П3
Объем выпуска	7	12	13
Качество	9	7	10
Трудовые ресурсы	0,2	0,3	0,4	35
Материальные ресурсы	0,5	0,4	0,3	42
Финансовые ресурсы	0,6	0,8	1,2	100

Суть метода последовательных уступок заключается в том, что один из оптимизируемых параметров принимают в качестве целевой функции, а для других задают некоторые предельные значения граничных условий. Задачу решают в нескольких вариантах, которые отличаются друг от друга предельно задаваемыми значениями. Для нашей задачи принимаем в качестве целевой функции максимизацию объема выпуска продукции при условии, что показатель ее качества должен быть не менее заданного значения. Тогда математическая модель задачи будет выглядеть так:

О(х1, х2, х3) = 7х1 + 12х2 + 13х3 → max;

9х1 + 7х2 + 10 х3 ≥ Кзад;

0,2х1 + 0,3 х2 + 0,4 х3 ≤ 35; (1)

0,5 х1 + 0,4 х2 + 0,3 х3 ≤ 42;

0,6 х1 + 0,8 х2 + 1,2 х3 ≤100;

хj ≥ 0; .

Результаты решения этой задачи для различных значений Кзад приведены в таблице 2.

Таблица 2 ‑ Решения задачи для различных значений Кзад

Характеристика	Вариант
1	2	3
Кзад	Не ограничен	900	970
К	830	900	970
О	1340	1284	1198
П1	0	14	31,7
П2	90	62	29,5
П3	20	34	47,8
Резерв ресурсов
Трудовых	0	0	0,7
Материальных	0	0	0
Финансовых	4	1,2	0

Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы:

1.  Повышение требований к качеству продукции ведет к уменьшению объемов ее выпуска. Действительно, в варианте 1, когда на уровень качества не накладывались никакие ограничения, был достигнут максимальный объем выпуска продукции, равный 1340. При этом качество составила 830 единиц. По мере увеличения требований к качеству в вариантах 2 и 3 до 900 и 970 единиц соответственно, объем выпускаемой продукции уменьшается и при максимальном значении Кзад составляет 1198.

2.  В зависимости от требований к качеству продукции изменяется структура плана. Так, в варианте 1 продукция П1 вообще не выпускается, т. к. она дает, в соответствии с исходными данными, наименьший объем.

3.  Дальнейший рост выпуска продукции лимитируется ресурсами. При этом материалы всегда используются полностью. В вариантах 1 и 2 увеличение выпуска продукции лимитирует еще и рабочая сила, в то время как финансы используются не полностью. В варианте 3 кроме материалов лимитирующими оказываются финансы, а трудовые ресурсы используются не полностью.

В рассмотренных вариантах мы максимизировали объем выпуска продукции, делая уступки по предельным допустимым значениям ее качества. Возможна и другая постановка задачи. Можно максимизировать качество продукции при наложении ограничений на объем ее выпуска. В этом случае математическая модель будет иметь вид:

К(х1, х2, х3) = 9х1 + 7х2 + 10х3 → max;

7х1 + 12х2 + 13 х3 ≥ Озад;

0,2х1 + 0,3 х2 + 0,4 х3 ≤ 35; (2)

0,5 х1 + 0,4 х2 + 0,3 х3 ≤ 42;

0,6 х1 + 0,8 х2 + 1,2 х3 ≤100;

хj ≥ 0; .

Результаты решения задачи при различных значениях Озад приведены в таблице 3.

Таблица 3 ‑ Решения задачи для различных значений Озад

Характеристика	Вариант
4	5	6
Озад	Не ограничен	1180	1260
О	1108	1180	1260
К	1028	981	930
П1	48,60	35	20
П2	0	23,8	50
П3	59	50	40
Резерв ресурсов
Трудовых	1,70	0,9	0
Материальных	0	0	0
Финансовых	0	0	0

На основании анализа данных таблицы 3 можно сделать выводы, аналогичные сформулированным при анализе данных таблицы 2. Не повторяя выводов, относящихся к структуре плана и лимитирующим ресурсам, отметим два момента:

1.  При увеличении объема выпуска продукции ухудшается ее качество.

2.  В варианте 6 достигнуто полное использование ресурсов. При этом качество оказывается на самом низком уровне. Следовательно, постановка задачи максимального использования ресурсов без дополнительных ограничений не всегда может оказаться целесообразной.

Полное использование ресурсов может быть только в задачах очень малой размерности, как в нашем примере. В реальных задачах распределения ресурсов всегда есть ресурсы, которые используются не полностью.

Объединив результаты, приведенные в таблицах 2 и 3, можно построить зависимость объемов выпуска продукции от ее качества. Для этого выпишем значения О в рассмотренных вариантах и расставим их по мере возрастания качества К продукции.

Таблица 4 – Зависимость объема выпускаемой продукции от ее качества

Характеристика	Вариант
1	2	6	3	5	4
К	830	900	930	970	981	1028
О	1340	1284	1260	1198	1180	1108

На основании этих данных на рисунке 1 построена зависимость О=f(К)

Рисунок 1

При помощи диаграммы, представленной на рисунке 1, можно решать два вида задач:

1.  По заданному качеству продукции К выявлять возможный объем ее выпуска О;

2.  По заданному объему О определять возможное качество К.

Основной вывод, который можно сделать из рисунка 1: за качество продукции надо платить уменьшением объемов ее выпуска. В связи с этим задача максимизации объемов при максимизации качества не может быть выполнена.

Таким образом, применяя метод последовательных уступок, можно установить зависимость объема выпуска продукции от качества и на основании этой зависимости выбирать связанные между собой оптимальные значения параметров О и К.

В более общем случае, когда ставится задача максимизации по большему числу параметров, один из них следует принять в качестве целевой функции, а остальные ввести в ограничения.

Метод определения экспертных оценок

В ряде методов многопараметрической оптимизации необходимо знать относительную важность каждого оптимизируемого параметра. Одним из методов определения степени относительной важности является назначение коэффициентов веса. Коэффициенты веса находят с помощью методов экспертных оценок. Этих методов известно достаточно много. Рассмотрим три из них.

Непосредственное назначение коэффициентов веса

Согласно этому методу, каждый i-й эксперт для каждого k-го параметра должен назначить коэффициент веса aik таким образом, чтобы сумма всех коэффициентов веса, назначенных одним экспертом для различных параметров, равнялась единице. Это требование можно записать так:

(3)

где n – число экспертов.

По результатам экспертизы составляют таблицу 4. В качестве коэффициента веса k-го параметра ak принимают среднее значение по результатам экспертизы всех экспертов

(4)

Таблица 4 – Определение коэффициентов веса

Эксперт	Параметр
1	…	k	…	K
1	a11		a1k		a1K	1
…
i	ai1		aik		aiK	1
…
n	an1		ank		anK	1
ak	a1		ak		aK	1

Поясним этот метод на примере. Нас интересует сравнительная важность двух параметров: объема выпуска продукции и ее качества. Для экспертизы пригласили 8 человек. В таблице 5 представлены результаты экспертизы.