Многокритериальные оптимизационные задачи (стр. 3 )

В этой целевой функции оптимизацию проводят по К параметрам. Безразмерность параметров обеспечивается введением нормирующей величины xkн, а степень компромисса назначается с помощью коэффициентов ak. В целях увеличения целевой функции для улучшающих параметров и уменьшения для ухудшающих для улучшающих ставится знак плюс, для ухудшающих – минус.

Для оптимизации такой целевой функции необходимо иметь дополнительные величины xkн и ak. Значение нормирующей величины xkн можно назначать разными способами. Наиболее распространены два способа. В первом случае xkн = xkзад, где xkзад принимается из утвержденного документа, например, технического задания. Также можно решить задачу оптимизации при максимизации этой величины, т. е. F = xk→max, и полученное в результате оптимизации значение x*k принять за нормирующее. Следовательно, в этом случае xkн = x*k.

Коэффициенты веса назначаются при условии с помощью экспертных оценок.

Применим компромиссную целевую функцию для решения нашей задачи. Оптимизацию будем проводить по двум параметрам: объему и качеству выпускаемой продукции. Тогда целевую функцию можно записать следующим образом:

(6)

В качестве нормирующих значений Он и Кн принимаем их максимальные значения, полученные в результате оптимизации отдельно по каждому параметру: Он = 1340; Кн = 1028.

Если к целевой функции (6) добавить ограничения, составленные на основании данных, приведенных в таблице 1, то получим математическую модель:

О = 7х1 + 12х2 + 13х3;

К = 9х1 + 7х2 + 10 х3; (7)

0,2х1 + 0,3 х2 + 0,4 х3 ≤ 35;

0,5 х1 + 0,4 х2 + 0,3 х3 ≤ 42;

0,6 х1 + 0,8 х2 + 1,2 х3 ≤100;

хj ≥ 0; .

Результаты решения этой задачи при различных значениях коэффициентов веса a1 и a2 приведены в таблице 10.

Таблица 10

Характеристика	Вариант
1	2	3
a1	1	0,5	0
a2	0	0,5	1
F	1,0	0,922	1,0
О	1340	1260	1107,62
К	830	930	1027,62
П1	0	20	48,57
П2	90	50	0
П3	20	40	59,05
Резерв ресурсов
Трудовых	0	0	1,67
Материальных	0	0	0
Финансовых	4	0	0

Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы:

1.  С точки зрения объема выпускаемой продукции наиболее выгодной является продукция П2. По мере снижения коэффициента веса a1 ее выпуск уменьшается. Самой невыгодной оказывается продукция П1, которая при a1 = 1 вообще не производится.

2.  Наиболее выгодной с позиции качества является продукция П1, наиболее невыгодной – продукция П2, которая при a2 = 1 не выпускается.

3.  Для обеспечения дальнейшего роста объема выпуска продукции необходимо увеличить трудовые и материальные ресурсы, а для повышения качества продукции – материальные и финансовые.

Зная желаемый компромисс, следует принять коэффициенты веса, которые и определят полученное решение. Это решение и будет оптимальным.

Многоцелевое программирование. Решая задачу последовательно по двум целевым функциям максимизации объема и максимизации качества, мы получили результаты, согласно которым при располагаемых ресурсах максимально возможные значения объема выпуска и качества продукции соответственно равны 1340 и 1028. Не следует забывать, что одновременно такие значения получены быть не могут.

Примем, что необходимо обеспечить одновременно выполнение экономических показателей О = 1500, К = 1100. При имеющихся ресурсах такие показатели не могут быть достигнуты, т. е. данная задача является несбалансированной между заданными экономическими показателями и располагаемыми ресурсами. Для решения задачи составим ее математическую модель:

О = 7х1 + 12х2 + 13х3 = 1500;

К = 9х1 + 7х2 + 10 х3 = 1100; (8)

0,2 х1 + 0,3 х2 + 0,4 х3 ≤ 35;

0,5 х1 + 0,4 х2 + 0,3 х3 ≤ 42;

0,6 х1 + 0,8 х2 + 1,2 х3 ≤100;

хj ≥ 0; .

Поскольку данная задача является несбалансированной, то она не имеет решения или ее решение несовместно. Кроме того, в данной системе нет целевой функции. Для получения совместного решения, а также для назначения целевой функции введем дополнительные переменные y1 – y8 и запишем систему в виде:

О = 7х1 + 12х2 + 13х3 + y1 = 1500;

К = 9х1 + 7х2 + 10 х3 + y2 = 1100; (8)

0,2х1 + 0,3 х2 + 0,4 х3 = 35 + y3;

0,5 х1 + 0,4 х2 + 0,3 х3 = 42 + y4;

0,6 х1 + 0,8 х2 + 1,2 х3 = 100 + y5;

Дополнительные переменные y1 и y2 показывают, насколько полученные значения объема выпуска и качества продукции отличаются от заданных; y3 – y5 определяют объемы дополнительного ресурса, который необходимо иметь для решения поставленной задачи. Эти переменные являются тем средством, которое дает возможность избежать получения несовместного решения.

Введенные дополнительные переменные позволяют формулировать различные многопараметрические целевые функции. Рассмотрим две из них.

1.  Целевая функция

F1 = y3 + y4 + y5 → min

обеспечивает решение, гарантирующее выполнение двух заданных экономических показателей: объема выпуска и качества продукции.

2.  Целевая функция

F2 = y3 + y4 + y5 = 0

позволяет получить решение, при котором дополнительные ресурсы, необходимые для решения поставленной задачи, будут минимальны.

Результаты решения по обеим целевым функциям представлены в таблице 11.

Таблица 11

Целевая функция	Характеристики
F	О	К	П1	П2	П3	y1	y2	y3	y4	y5
F1	0	1500	1100	45,8	98,3	0	0	3,64	20,20	6,10	0
F2	0	1260	930	20	50	40	240	170	0	0	0

Анализируя результаты решения задачи, можно сделать следующие выводы:

1.  При решении по первой целевой функции заданные экономические показатели О = 1500 и К = 1100 выполняются, при этом располагаемые ресурсы используются полностью, для достижения заданных экономических показателей требуются дополнительные ресурсы: (трудовые) y3 = 3,64; (материальные) y4 = 20,20; (финансовые) y5 = 6,10.

2.  При решении по второй целевой функции заданные ресурсы используются полностью, резервов нет; дополнительные ресурсы не требуются; величины О и К не достигают заданных значений и равны соответственно 1260 и 930; отклонения от заданных значений определяются дополнительными переменными y1 = 240; y2 = 170.