Численные методы расчета значений математических функций и интегралов.
ВВЕДЕНИЕ
ЦВМ при выполнении арифметических операций в отличии о человека не знает правил вычисления производных, извлечения корня, нахождения значений логарифмов и тригонометрических функций. Поэтому в ЦВМ реализованы численные методы выполнения перечисленных ранее действий. При расчете значений алгебраических функций используются аппроксимирующие зависимости или представление этих функций в виде числового ряда. При этом в зависимости от быстродействия ЦВМ может изменяться количество слагаемых ряда, которые учитываются при определении значения функции. При этом соответственно изменяется и точность определения значения искомой функции.
Вычисление значений определенных интегралов, используя правила интегрального исчисления, не всегда позволяет получить результат. Поэтому для вычисления значения определенных интегралов применяются численные методы. Определенный интеграл от функции численно равен площади под кривой, ограниченной пределами интегрирования. Поэтому суть численных методов состоит в разбиении этой площади на большое количество простейших геометрических фигур, определение площади которых не составляет большого труда. Чем больше число разбиений, тем выше точность вычислений, но больше время счета.
Целью данной лекции является изучение численных методов вычисления определенных интегралов.
1. Численные методы расчета значений математических и
тригонометрических функций
Для расчета математических и тригонометрических функций на ЭВМ используются численные методы на основе приближенных вычислений по эмпирическим формулам:
Y = lnx »
или Y = lnx »
,
lgx =
,
Y = 
» 
,
,
Y = sinx »
,
Y = tgx »
или tgx »
.
Расчет можно производить также с помощью разложения в ряд:
Y = ex »
,
Y = sinx »
,
Y = cosx »
,
Y = sin2 x »
.
2. Численные методы расчета значений
определенных интегралов
В случае когда подынтегральную функцию нельзя проинтегрировать аналитическим путем или когда аналитическое интегрирование требует большего объема работы, можно воспользоваться численными методами.
Метод криволинейной трапеции
Приближенное вычисление определенного интеграла 
методом криволинейной трапеции заключается в том, что площадь, ограниченная графиком подынтегральной функции у = f(x) и двумя ординатами х=а и х=b, заменяется некоторой кривой у = j(x) описывающей параболу 2-го порядка и имеющей с функцией у = f(x) несколько общих точек. Точность вычисления зависит от совпадения функций у = f(x) и у = j(x).
Метод входящих и выходящих
прямоугольников
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольников заключается в том, что вместо криволинейной площади, ограниченной графиком подынтегральной функции у = f(x) и двумя ординатами х=а и х=b, вычисляют сумму площадей прямоугольников, помещенных на отрезке [a, b]. Размеры прямоугольника определяют следующим образом: высота одной из сторон прямоугольника ограничивается графиком подынтегральной функции у = f(x), а длина основания зависит от количества прямоугольников, помещенных на отрезке [a, b]. С увеличением количества прямоугольников увеличивается точность вычисления определенного интеграла.
Метод криволинейной трапеции
Метод входящих прямоугольников
 |
 |
 |
Метод трапеций
Метод трапеций
Приближенное вычисление определенного интеграла
методом трапеций заключается в том, что вместо криволинейной площади, ограниченной графиком подынтегральной функции у = f(x) и двумя ординатами х=а и х=b, вычисляют сумму площадей трапеций, помещенных на отрезке [a, b]. Размеры трапеций определяют следующим образом: высоты сторон трапеции ограничиваются графиком функции у = f(x), а размер основания зависит от количества трапеций, помещенных на отрезке [a, b]. С увеличением количества трапеций увеличивается точность вычисления определенного интеграла.
Метод парабол (метод Симпсона)
Приближенное вычисление определенного интеграла методом парабол (метод Симпсона) заключается в том, что вместо криволинейной площади, ограниченной графиком подынтегральной функции у = f(x) и двумя ординатами х=а и х=b, заменяют некоторой кривой у = j(x), которая описывается дугами парабол 2-го порядка, оси которых параллельны оси ОУ и имеющих с подынтегральной функцией у = f(x) несколько общих точек. Для более точного вычисления определенного интеграла количество парабол необходимо увеличить, но общее количество их должно быть обязательно четное число.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Применение численных методов позволяет, используя ЭВМ вычислить значение любого определенного интеграла. Результат получается приближенным, так как площадь под кривой интегрируемой функции заменяется площадью большого количества элементарных фигур. Чем меньше площадь элементарной фигуры, тем выше точность вычисления значения определенного интеграла. Наименьшей точностью обладает метод криволинейной трапеции, наибольшей – метод Симпсона, при одинаковом количестве разбиений площади под кривой. Реализация рассмотренных численных методов позволяет получить простые и эффективные алгоритмы вычисления значений определенных интегралов любой степени сложности.
