Итак, множество объектов вида (Еy, u, u+) может быть сначала увеличено за счет антиподов до множества объектов вида (Еy, u, ±u+) (здесь под записью (Еy, u, - u+) я имею в виду объект -(Е(1-y), u, u+), где 1-y(u+) = {1-y(x)}), а затем это увеличенное множество может быть прорежено двумя отношениями эквивалентности – сдвиговой эквивалентностью и отношением сильной сонаправленности. В общем случае, как это будет видно из дальнейшего, оказывается, что оба полученных множества из классов эквивалентности обладают свойствами векторного пространства, и каждый класс эквивалентности может быть представлен как вектор. Различие между двумя этими случаями векторного пространства может состоять лишь в том, что второе пространство может содержать больше векторов за счет различия прямых и антиподных направлений. И здесь также могут быть различные случаи. Может оказаться так, что на каждое антиподное направление (u, - v) найдется прямое направление (u, w), которое будет представлять антиподное направление, или не на всякое антиподное направление такое прямое направление найдется, или даже ни на одно антиподное направление не найдется представляющего его прямого направления. Далее, если даже антиподное направление может быть представлено прямым направлением, то может возникнуть ситуация, когда разным антиподным направлениям будет сопаставлено только одно прямое направление, или же – другой случай - разные прямые направления. Не слишком богатый случай таких векторных пространств будет выглядеть как даже конечное множество прямых и антиподных направлений, исчерпывающих все возможные направления некоторой субъектной онтологии. Причем, как правило, далеко не все антиподные направления могут быть обеспечены прямыми (реальными) направлениями. Можно представлять себе подобную ситуацию так, что прямые направления – это реальные направления онтологии, по которым субъект может реально двигаться. Антиподные направления, которым не сопоставлены прямые направления, - это некоторые «мнимые» направления, которые могут быть лишь представлены субъектом или даны как направления силы, хотя и способной быть приложенной, но не способной реализоваться в данном направлении. Простой пример – направление в сторону непроходимого препятствия. Субъект не может переместиться в этом направлении, и реально этого направления для него может не существовать. Но, тем не менее, субъект может приложить силу к данному препятствию, и может быть определено направление подобной силы. Это направление и будет виртуальным направлением, которое может быть представлено только как антиподное направление для некоторого реального перемещения. В общем случае понятие антиподного направления затрагивает, по-видимому, проблему виртуального направления и перемещения в субъектной онтологии, которое может уже не быть связано обязательно с антиподным направлением, но относиться и к прямым направлениям.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В первом векторном пространстве D# не выделены антиподные направления, второе пространство D## обогащено относительно D# антиподными направлениями, и здесь всегда для любого вектора можно ввести пространственно-противоположный вектор. Однако, и в случае более богатого векторного пространства D## третьи элементы ±u+ троек в векторах (Еy, u, ±u+)## указывают только направления (u, ±u+) вектора (Еy, u, ±u+)##, но ничего не сообщают о концах этих векторов. Мы можем знать только то, что вектор (Еy, u, ±u+)## отложен от точки u в сторону точки ±u+, но где именно находится конец этого вектора, этого ни пространство D##, ни пространство D# различить не могут. В то же время хотелось бы естественно знать и о такой более точной характеристике вектора. Причем, у нас, как будто, есть и средство для решения этой проблемы. Это величина ||(Еy, u, ±u+)##|| вектора (Еy, u, ±u+)##. Вполне естественно предполагать, что чем больше эта величина, тем на большем расстоянии находится конец вектора от начальной точки u. Но здесь тогда нужна некоторая единица, которая бы позволила соизмерить между собою эти финальные точки. В качестве такой единицы можно выбрать, например, расстояние между точками u и u+, предположив, что существует некоторая стандартная величина N0 = ||(Е0y, u, u+)##||, такая, что она как раз равна расстоянию от u до u+. И кажется естественным связать, как и ранее, с наибольшей индивидуальностью вектора (Еy, u, ±u+)## именно y-функцию. Тогда на удаление-приближение конца вектора должна влиять только величина Е: с ее ростом-падением конец вектора должен удаляться-приближаться. Так постепенно оформилась идея еще более подробного определения вектора в Еy-поле, включающего в себя не только величину и указание направления, но и возможность пространственной локализации начала и конца вектора. Правда, можно спросить: но разве уже в рамках пространства D# мы не знали полностью вектор, зная его величину и направление? Верно, мы знали оба этих параметра, однако величина вектора известна нам и в пространстве D#, и в пространстве D## абстрактно – только как число, вне возможности своей проекции на элементы онтологии. Из такой проекции нам известно только начало вектора, но не его конец. Итак, постановкой проблемы еще более точного определения векторов в Еy-поле мы выходим к необходимости построения и еще более подробного векторного пространства. В самом деле, пытаясь различить вектор с точностью до положения его конца, нам нужно уже рассматривать объекты (Еy, u, ±u+) и (Е*y, u, ±u+) с разными величинами Е и Е*, но одной y-функцией как разные векторы, концы которых лежат на разных расстояниях от одного начала. Однако, такую тонкую дифференциацию не может обеспечить даже более тонкое отношение сильной сонаправленности, лежащее в основании построения пространства D##. Если вектора (Еy, u, у)## и (Е*y*, u, z)## равны, то Еy º Е*y* + С и у = z. Однако, отношение Еy º Е*y* + С совсем не исключает того, что Е окажется не равным Е*. Следовательно, это отношение эквивалентности не подходит для различения векторов с точностью до их пространственной проекции. Необходимо новое отношение эквивалентности, которое я назвал «проективной эквивалентностью» и обозначил как «@». Будем говорить, что два элемента (Еy, u, у) и (Е*y*, u, z) проективно эквивалентны, и обозначать это как (Еy, u, у) @ (Е*y*, u, z), если эти элементы сильно сонаправленны, и, кроме того, Е = Е*. Класс эквивалентности по @, включающий элемент (Еy, u, у), я обозначаю как (Еy, u, у)*. На основе этого отношения можно построить третье векторное пространство D*, в котором различимо все то, что различимо в предыдущих двух пространствах, но, кроме того, еще и концы векторов. Вектор (Еy, u, у)* предполагается имеющим конец в точке eу, где e = и N = ||(Еy, u, у)*||, N0 = ||(Е0y, u, у)*||. В связи с этим, вектор (Еy, u, у)* можно еще обозначить как (Еy, u, eу)*, причем, как и в случае антиподов, точка eу совсем не обязательно должна реально существовать в онтологии (в терминах теории поля она может относиться к ирреальному уровню жизненного пространства). Такую точку, положение дел, следует трактовать как виртуальное состояние. Если такому состоянию не находится соответствия в реальной онтологии, то можно предполагать, что вектор (Еy, u, eу)* может реализоваться в некоторой подходящей для eу реальной точке, лежащей на том же направлении (u, у).

В связи с тремя векторными пространствами, можно трояко мыслить себе и понятие вектора, и вытекающее отсюда понятие силы. Поэтому ниже я вначале ввожу три вида сил в Еy-полях, но в дальнейшем предпочитаю использовать тот вид сил, который включает в себя по содержанию (являясь более богатым) все виды сил, - это понятие силы (вектора), построенного на основе отношения проективной эквивалентности.

Наконец, постоянной «точкой опоры» для меня была классическая механика Ньютона. Движение консервативной механической системы можно представить как частный случай градиентного движения по механическим степеням себя, если в качестве последних рассматривать величину отношения кинетической энергии системы к ее полной энергии. Как известно, в случае консервативных механических систем сила F может быть представлена в виде F=gradj, где j – силовая функция. Потенциальная энергия W в этом случае равна W= - j, т. е. F= - gradW. Для консервативных систем, как известно, верен закон сохранения энергии, т. е. E=K+W, где Е – полная энергия системы, K - кинетическая энергия системы. Введем в этом случае механическую степень себя системы, yM, как величину yM = , выражающую степень кинетизации состояния механической системы. Так как 0£K£E, то yMÎ[0,1]. В этом случае получим F=-gradW=-grad(E-K)=gradK=gradEyM=EgradyM – движение механической консервативной системы может быть представлено как движение по градиенту в скалярном поле механических степеней себя. При рассмотрениии множества А как бесконечно малой окрестности точки u фазового пространства механической системы оказывается, что максимум функции yМ достигается здесь в точке u+, такой, что она лежит от точки u по направлению вектора градиента gradEyM(u), и yМ+ = yМ(u+) = {yМ(x)}= y(u) + ||grad(y(u))||dt. В этом случае мы могли бы отождествить объект gradEyM(u) и объект (yM, u, u+)*, где функция EyM определена на множестве А как бесконечно малой окрестности точки u. В самом деле, здесь величина (yM, u, u+)* равна (yМ(u+) - yМ(u)) = ||grad(y(u))||dt = ||grad(Еy(u))||. Наконец, grad[EyM(u)+C] = gradEyM(u), что соответствует эквивалентности (yM, u, u+) и (yM+С, u, u+), дополненной сонаправленностью и проективной эквивалентностью векторов grad[EyM(u)+C] и gradEyM(u). С этой точки зрения объект (Еy, u, u+)* обобщает свойства не просто векторов, но векторов градиента в Еy-полях, в связи с чем я и назвал такого рода объекты обобщенными градиентами. Гладкая функция Еy приближается в бесконечно малой окрестности точки u как линейное отображение, которое принимает максимальное значение только на границах бесконечно малой окрестности. Но точки, лежащие на границах, максимально удалены от точки u сравнительно со всеми точками окрестности. Отсюда следует, что любые бесконечно малые величины будут меньше расстояния до этих точек, в том числе это относится и к любым бесконечно малым приращениям ||grad(Еy(u))||dt функции Еy. Следовательно, величина e в (Еy, u, eu+)* будет всегда не больше единицы. Можно пытаться это соотношение распространить и на общий случай.

Так, опираясь на подобные эвристические размышления, я постепенно пришел к той структуре исчисления обобщенных градиентов, основные определения которого привожу ниже.

Пусть Y(А) – множество функций y, определенных на некотором множестве А и принимающих значения на отрезке [0,1]. Е – неотрицательное вещественное число.

Рассмотрим далее функции вида Еy, где Е³0, y ÎY(А). Предположим, что на таких функциях определены следующие операции:

1. Некоторая операция Å:

Е1y1 Å Е2y2 = Е3y3,

для которой выполнены свойства коммутативности и ассоциативности, а также следующие свойства

(*)(E1y1 + С1) Å (E2y2 + С2) º (E1y1 Å E2y2) + С3, где С1, С2, С3 – вещественные числа

(* ’) E1y Å E2y º E3y + С, где С – вещественное число

(* ’ ‘) Ey Å 0 º Ey

(* ‘’’) Е1y1 Å Е2y2 = Е3y3, где Е3 = f(E1, E2)

2. Операция взятия противоположного элемента:

- Еy = Е(1-y)

3. Операция умножения на вещественное число b:

b(Еy) = (bЕ)y, если b³0,

b(Еy) = (|b|Е)(1-y), если b<0,

Далее рассмотрим множество объектов вида

±(Ey, а, а+)

где а - некоторый элемент множества А,

а+ - такой элемент из А, что y+ = y(а+), где y+ = {y(x)}, и

+ (Ey, а, а+) = (Ey, а, а+)

– (Ey, а, а+) = (E(1-y), а, –а+)

Под элементом –а+ будем понимать некоторый новый элемент, возможно, не входящий в А, и понимаемый как «антипод» элемента а+ относительно элемента а. Предполагается, что сдвиг от а+ до а (что можно обозначить как пару (а+,а)) – тот же самый, что сдвиг от а до «антипода» –а+ (т. е. (а, –а+)). Множество А, пополненное элементами –а+, обозначим через . Положим также, что – (–а+) = а+.

Поскольку, если yÎY(А), то и 1-y Î Y(А), то я буду использовать для общего выражения объектов ±(Ey, а, а+) также запись (Ey, а, ±а+). В этом случае необходимо иметь в виду, что запись (Ey, а, –а+) означает, что а+ определен здесь не для функции y, а для функции 1-y.

На элементах вида ±(Ey, а, а+) введем следующие отношения:

1. Отношение параллельности || : будем говорить, что элементы ±(E1y1, а, а1+) и ±(E2y2, а, а2+) параллельны, и обозначать это как ±(E1y1, а, а1+) || ±(E2y2, а, а2+), если а1+ = а2+ или а1+ = –а2+.

2. Отношение сонаправленности ­­ : будем говорить, что элементы ±(E1y1, а, а1+) и ±(E2y2, а, а2+) сонаправленны, и обозначать это как ±(E1y1, а, а1+) ­­ ±(E2y2, а, а2+), если а1+ = а2+.

3. Отношение противонаправленности ­¯ : будем говорить, что элементы ±(E1y1, а, а1+) и ±(E2y2, а, а2+) противонаправленны, и обозначать это как ±(E1y1, а, а1+) ­¯ ±(E2y2, а, а2+), если а1+ = –а2+.

4. Отношение сильной параллельности ||| : будем говорить, что элементы ±(E1y1, а, а1+) и ±(E2y2, а, а2+) сильно параллельны, и обозначать это как ±(E1y1, а, а1+) ||| ±(E2y2, а, а2+), если элементы параллельны, и, кроме того, если элементы сонаправленны, то y1ºy2+С, или, если элементы противонаправленны, то y1º (1-y2)+С, где С – вещественное число, «º» - отношение тождественного равенства функций на множестве А.

5. Отношение сильной сонаправленности ­­­ : будем говорить, что элементы ±(E1y1, а, а1+) и ±(E2y2, а, а2+) сильно сонаправленны, и обозначать это как ±(E1y1, а, а1+) ­­­ ±(E2y2, а, а2+), если элементы сонаправленны, и, кроме того, y1ºy2+С.

6. Отношение сильной противонаправленности ­½¯ : будем говорить, что элементы ±(E1y1, а, а1+) и ±(E2y2, а, а2+) сильно противонаправленны, и обозначать это как ±(E1y1, а, а1+) ­½¯ ±(E2y2, а, а2+), если элементы противонаправленны, и, кроме того, y1º (1-y2)+С.

Из данных выше определений вытекает, что, если элементы сильно параллельны, то они либо сильно сонаправленны, либо сильно противонаправленны.

Для объекта ±(Ey, а, а+) введем отображение || || (“величина”) по следующему правилу:

|| ± (Ey, а, а+) || = | E(y+ - y(а)) | = E(y+ - y(а))

Пусть ||(E1y1, а, ±а1+)|| = N1, ||(E2y2, а, ±а2+)|| = N2. Для объектов вида ±(Ey, а, а+) также определим следующие операции:

1.  Операцию * по правилу:

(E1y1, а, ±а1+) * (E2y2, а, ±а2+) = (E3y3, а, (±а1+)Å(±а2+)),

где E3y3 = E2y2 Å E1y1,

(±а1+)Å(±а2+) =

Здесь, как обычно, а3+ - такой элемент из А, что y3+ = y3(а+), где y3+ = {y3(x)}. Далее для операции * я также буду использовать символ Å и называть ее «суммой».

2.  Операцию взятия противоположного элемента:

– [±(Ey, а, а+)] = (Ey, а, а+)

В частности, если yºconst, то полагаем, что -(Ey, а, а) = (E(1-y), а, а).

3.  Операцию умножения на вещественное число b:

b[±(Ey, а, а+)] = ±(b(Ey), а, а+), если b³0,

b[±(Ey, а, а+)] = (|b|(Ey, а, а+), если b<0,

Для операции Å потребуем выполнения следующих свойств:

(**) Для любого вещественного числа b верно: b((E1y1, а, ±а1+) Å (E2y2, а, ±а2+)) = [b(E1y1, а, ±а1+)] Å [b(E2y2, а, ±а2+)] – свойство левой дистрибутивности

(***) Для любых вещественных чисел b и g верно: (b+g)(Ey, а, ±а+) = [b(Ey, а, ±а+)] Å [g(Ey, а, ±а+)] – свойство правой дистрибутивности

(+) Если элементы А и В сильно сонаправленны, то ||А Å В|| = ||А|| + ||В||

(++) Если элементы А и В сильно противонаправленны, то ||А Å В|| = | ||А|| - ||В|| |

Можно показать, что операция Å для третьих элементов троек коммутативна и ассоциативна. Коммутативность видна непосредственно из определения и коммутативности операции Å для функций Еy. Рассмотрим свойство ассоциативности.

Лемма 0. Операция Å для третьих элементов троек вида (Ey, а, ±а+) ассоциативна.

Доказательство. Пусть даны элементы А1=(E1y1, а, ±а1+), А2=(E2y2, а, ±а2+) и А3=(E3y3, а, ±а3+). Рассмотрим следующие случаи, исчерпывающие все возможности:

1)  Неверно, что все три элемента являются сильно параллельными. В этом случае при вычислении как суммы (А1Å(А2ÅА3)), так и суммы ((А1ÅА2)ÅА3), при втором сложении будут приниматься во внимание только первые элементы троек, а третьи элементы окажутся полностью от них зависимыми.

2)  Все три элемента являются сильно параллельными. Здесь, в свою очередь, возможны следующие случаи: а) все три элемента сильно сонаправленны – сложение идет по первым элементам троек, б) два элемента сильно сонаправленны, третий элемент сильно противонаправлен первым двум. Пусть, например, А1 и А2 сильно сонаправленны, а А3 сильно противонаправлен им обоим. Обозначив ±а1+ через у, получим, что ±а2+ = у и ±а3+ = - у. Будем также через А3 обозначать третий элемент А. Здесь возможны следующие случаи:

(i)  Если ||А2|| < ||А3|| и

а) ||A1|| < ||А2ÅА3||. Тогда (А2ÅА3)3 = - у, и (А1Å(А2ÅА3))3 = - у. С другой стороны, (А1ÅА2)3 = у, и, по свойству (++), ||А2ÅА3|| = | ||А2|| - ||А3|| | = ||А3|| - ||А2||. Т. о. ||A1|| < ||А3|| - ||А2||, т. е. ||A1|| + ||А2|| < ||А3||. Т. к., согласно свойству (+), ||A1|| + ||А2|| = ||A1ÅА2||, то окончательно получаем: ||A1ÅА2|| < ||А3||, т. е. ((А1ÅА2)ÅА3)3 = - у.

б) ||A1|| > ||А2ÅА3||. Тогда (А2ÅА3)3 = - у, и (А1Å(А2ÅА3))3 = у. С другой стороны, (А1ÅА2)3 = у, и, по свойству (++), ||А2ÅА3|| = | ||А2|| - ||А3|| | = ||А3|| - ||А2||. Т. о. ||A1|| > ||А3|| - ||А2||, т. е. ||A1|| + ||А2|| > ||А3||. Т. к., согласно свойству (+), ||A1|| + ||А2|| = ||A1ÅА2||, то окончательно получаем: ||A1ÅА2|| > ||А3||, т. е. ((А1ÅА2)ÅА3)3 = у.

в) ||A1|| = ||А2ÅА3||. Тогда (А2ÅА3)3 = - у, и (А1Å(А2ÅА3))3 = а. С другой стороны, (А1ÅА2)3 = у, и, по свойству (++), ||А2ÅА3|| = | ||А2|| - ||А3|| | = ||А3|| - ||А2||. Т. о. ||A1|| = ||А3|| - ||А2||, т. е. ||A1|| + ||А2|| = ||А3||. Т. к., согласно свойству (+), ||A1|| + ||А2|| = ||A1ÅА2||, то окончательно получаем: ||A1ÅА2|| = ||А3||, т. е. ((А1ÅА2)ÅА3)3 = а.

(ii)  Если ||А2|| > ||А3||, то (А2ÅА3)3 = у, и (А1Å(А2ÅА3))3 = у. С другой стороны, (А1ÅА2)3 = у, и ||A1|| + ||А2|| > ||А3||. Т. к., согласно свойству (+), ||A1|| + ||А2|| = ||A1ÅА2||, то окончательно получаем: ||A1ÅА2|| > ||А3||, т. е. ((А1ÅА2)ÅА3)3 = у.

(iii)  Если ||А2|| = ||А3||, то (А2ÅА3)3 = а, и (А1Å(А2ÅА3))3 = у. С другой стороны, (А1ÅА2)3 = у, и либо ||A1|| + ||А2|| > ||А3|| и ||A1|| >0, либо ||A1|| + ||А2|| = ||А3|| и ||A1|| = 0. Т. к., согласно свойству (+), ||A1|| + ||А2|| = ||A1ÅА2||, то окончательно получаем: ||A1ÅА2|| ³ ||А3||. Если ||A1ÅА2|| > ||А3|| и ||A1|| >0, то ((А1ÅА2)ÅА3)3 = у. Если же ||A1ÅА2|| = ||А3|| и ||A1|| = 0, то у=а, и вновь ((А1ÅА2)ÅА3)3 = у.

Таким образом, во всех рассмотренных случаях (А1Å(А2ÅА3))3 равен ((А1ÅА2)ÅА3)3, что и означает ассоциативность сложения третьих элементов объектов А1, А2 и А3. Если же сильно сонаправленны какие-либо другие два элемента, например, А1 и А3, а элемент А2 сильно противонаправлен им, то, учитывая коммутативность операции Å, можем записать: (А1Å(А2ÅА3)) = (А1Å(А3ÅА2)), чем этот случай будет сведен к только что рассмотренному.

Итак, во всех рассмотренных случаях ассоциативность операции сложения для третьих элементов троек выполнена.

На множестве D объектов (Ey, а, ±а+) введем далее следующее отношение эквивалентности:

(E1y1, а, ±а1+) » (E2y2, а, ±а2+) если только если Е1y1 º Е2y2 + С, где С – вещественное число. Замечу, что для такой эквивалентности достаточно только соотношения первых элементов троек, а третьи элементы в этом случае во внимание не принимаются.

На основе этого отношения разбиваем множество D на классы эквивалентности. Пусть D# - множество классов эквивалентности на D, а Grad(Еy(а)) = (Ey, а, ±а+)# - тот класс эквивалентности, который содержит элемент (Ey, а, ±а+). Объект Grad1(Еy(а)) я буду далее называть «обобщенным 1-градиентом». На классах эквивалентности введем следующие операции:

1.  Операцию “суммы” Å, где

Grad1(Е1y1) Å Grad1(Е2y2) = (E1y1, а, ±а1+)# Å (E2y2, а, ±а2+)# =

(Е1y1ÅE2y2, а, (±а1+)Å(±а2+))# = Grad1(Е1y1 Å Е2y2)

2.  Операцию умножения на вещественное число b:

b(Grad1(Еy)) = (b(Ey, а, ±а+))# = Grad1((bЕ)y)

Докажем следующие леммы.

Лемма 1.1. Операция Å корректна.

Доказательство. Необходимо показать, что операция Å не зависит от конкретного элемента класса эквивалентности, т. е., если (E1y1, а, ±а1+) » (E2y2, а, ±а2+) и (E3y3, а, ±а3+) » (E4y4, а, ±а4+), то (E1y1, а, ±а1+) Å (E3y3, а, ±а3+) » (E2y2, а, ±а2+) Å (E4y4, а, ±а4+). Пусть (E1y1, а, ±а1+) » (E2y2, а, ±а2+) и (E3y3, а, ±а3+) » (E4y4, а, ±а4+). Тогда Е1y1 º Е2y2 + С1 и Е3y3 º Е4y4 + С2. Отсюда E1y1 Å E3y3 = (E2y2 +С1) Å (E4y4 + С2) º (E2y2 Å E4y4) + С3, в силу свойства (*). Тем самым лемма доказана.

Лемма 2.1. Операция умножения класса эквивалентности Grad1(Еy(а)) на вещественное число корректна.

Доказательство. 1) Пусть b - неотрицательное вещественное число, и (E1y1, а, ±а1+) » (E2y2, а, ±а2+). Тогда Е1y1 º Е2y2 + С. bЕ1y1 º bЕ2y2 + bС º bЕ2y2 + С*, где С* = bС. 2) Пусть b - отрицательное вещественное число, и вновь (E1y1, а, ±а1+) » (E2y2, а, ±а2+). Тогда Е1y1 º Е2y2 + С. Отсюда |b| Е1(1-y1) º |b| Е1 - |b| Е1y1 º |b| Е1 - |b| (Е2y2 + С) º |b|Е1 - |b| Е2y2 - |b|С + |b|Е2 - |b|Е2º |b|Е2 - |b| Е2y2 + |b|(Е1 - С - Е2) º |b| Е2 (1- y2) + С*, где С* º |b|(Е1 - С - Е2). Т. о. получаем, что b(E1y1, а, ±а1+) » b(E2y2, а, ±а2+).

Лемма 3.1. Множество D# вместе с операцией Å образует абелеву группу.

Доказательство. Корректность операции Å следует из Леммы 1.1. Так как операция Å на классах эквивалентности сводится к подобной операции на тройках, а последняя – к соответствующей коммутативной и ассоциативной операции на первых элементах троек, то операция Å на классах эквивалентности коммутативна и ассоциативна. Нейтральным элементом операции Å является элемент 0* = Grad1(0). Элементом, противоположным элементу Grad1(Еy), является элемент - Grad1(Еy).

Теорема 1.1. Множество D# является линейным пространством над полем вещественных чисел.

Доказательство. Корректность операций Å и умножения на вещественное число следует из Леммы 1.1 и Леммы 2.1. Лемма 3.1 доказывает групповые свойства операции Å как операции сложения элементов D#. Для доказательства утверждения теоремы остается проверить свойства ассоциативности и унитарности операции умножения на число, свойства правой и левой дистрибутивности. Первые два свойства прямо вытекают из определения операции умножения на число. Вторые два свойства следуют из (**) и (***).

Теорема 2.1. Если (Е1y1, а, ±а1+) » (Е2y2, а, ±а2+), то ||(Е1y1, а, ±а1+)|| = ||(Е2y2, а, ±а2+)||.

Доказательство. Пусть (Е1y1, а, ±а1+) » (Е2y2, а, ±а2+). Тогда Е1y1 º Е2y2 + С. Отсюда получаем: ||(Е1y1, а, ±а1+)|| = Е1((y1)+ - y1(а)) = Е1(y1)+ - Е1y1(а) = (Е1y1)+ - (Е1y1)(а) = (Е2y2 + С)+ - (Е2y2 + С)(а) = (Е2y2)+ + С - (Е2y2)(а) – С = (Е2y2)+ - (Е2y2)(а) = (Е2y2)+ - (Е2y2)(а) = Е2((y2)+ - y2(а)) = ||(Е2y2, а, ±а2+)||.

Доказанная теорема позволяет ввести понятие «величины» для обобщенного 1-градиента по следующему правилу:

||Grad1(Еy(а))|| = ||(Еy, а, ±а+)#|| = ||(Еy, а, ±а+)||.

Далее, на множестве D объектов (Ey, а, ±а+) рассмотрим второе отношение эквивалентности – отношение сильной сонаправленности:

(E1y1, а, ±а1+) ­­­ (E2y2, а, ±а2+) если только если Е1y1 º Е2y2 + С, где С – вещественное число и а1+ = а2+. Замечу, что такое отношение эквивалентности предполагает принятие во внимание соотношения как первых, так и третьих элементов троек. Эквивалентность «­­­» влечет эквивалентность «»».

На основе этого отношения разбиваем множество D на классы эквивалентности. Пусть D## - множество классов эквивалентности на D, а Grad2(Еy(а)) = (Ey, а, ±а+)## - тот класс эквивалентности, который содержит элемент (Ey, а, ±а+). Объект Grad2(Еy(а)) я буду далее называть «обобщенным 2-градиентом». На классах эквивалентности введем следующие операции:

3.  Операцию “суммы” Å, где

Grad2(Е1y1) Å Grad2(Е2y2) = (E1y1, а, ±а1+)## Å (E2y2, а, ±а2+)## =

(Е1y1ÅE2y2, а, (±а1+)Å(±а2+))## = Grad2(Е1y1 Å Е2y2)

4.  Операцию умножения на вещественное число b:

b(Grad2(Еy)) = (b(Ey, а, ±а+))## = Grad2((bЕ)y)

Докажем следующие леммы.

Лемма 1.2. Операция Å корректна.

Доказательство. Необходимо показать, что операция Å не зависит от конкретного элемента класса эквивалентности, т. е., если (E1y1, а, ±а1+) ­­­ (E2y2, а, ±а2+) и (E3y3, а, ±а3+) ­­­ (E4y4, а, ±а4+), то (E1y1, а, ±а1+) Å (E3y3, а, ±а3+) ­­­ (E2y2, а, ±а2+) Å (E4y4, а, ±а4+). Но так как в данном случае эквивалентные элементы не сильно противонаправленны, то сложение третьих элементов троек здесь полностью определяется сложением первых элементов, и задача доказательства корректности операции Å полностью сводится к случаю Леммы 1.1.

Лемма 2.2. Операция умножения класса эквивалентности Grad2(Еy(а)) на вещественное число корректна.

Доказательство. Пусть b - неотрицательное вещественное число, и (E1y1, а, ±а1+) ­­­ (E2y2, а, ±а2+), т. е., в частности, а1+ = а2+. Тогда (E1y1, а, ±а1+) » (E2y2, а, ±а2+), и, по Лемме 2.1, b(E1y1, а, ±а1+) » b(E2y2, а, ±а2+). Кроме того, третьи элементы троек b(E1y1, а, ±а1+) и b(E2y2, а, ±а2+) также будут равны, т. к. они либо остались неизменными при положительности b, либо стали равны а при b=0, либо одинаково поменяли знак на противоположный при b<0. Следовательно, b(E1y1, а, ±а1+) ­­­ b(E2y2, а, ±а2+).

Лемма 3.2. Множество D## вместе с операцией Å образует абелеву группу.

Доказательство. Корректность операции Å следует из Леммы 1.2. Так как операция Å на классах эквивалентности сводится к подобной операции на тройках, а последняя – к соответствующей коммутативной и ассоциативной операции на первых и третьих элементах троек, то операция Å на классах эквивалентности коммутативна и ассоциативна. Нейтральным элементом операции Å является элемент 0## = Grad2(0) = Grad1(0). Элементом, противоположным элементу Grad2(Еy), является элемент - Grad2(Еy).

Теорема 1.2. Множество D## является линейным пространством над полем вещественных чисел.

Доказательство. Корректность операций Å и умножения на вещественное число следует из Леммы 1.2 и Леммы 2.2. Лемма 3.2 доказывает групповые свойства операции Å как операции сложения элементов D##. Для доказательства утверждения теоремы остается проверить свойства ассоциативности и унитарности операции умножения на число, свойства правой и левой дистрибутивности. Первые два свойства прямо вытекают из определения операции умножения на число. Вторые два свойства следуют из (**) и (***).

Теорема 2.2. Если (Е1y1, а, ±а1+) ­­­ (Е2y2, а, ±а2+), то ||(Е1y1, а, ±а1+)|| = ||(Е2y2, а, ±а2+)||.

Доказательство. Если (Е1y1, а, ±а1+) ­­­ (Е2y2, а, ±а2+), то (Е1y1, а, ±а1+) » (Е2y2, а, ±а2+), т. е., по Теореме 2.1, ||(Е1y1, а, ±а1+)|| = ||(Е2y2, а, ±а2+)||.

Доказанная теорема позволяет ввести понятие «величины» и для обобщенного 2-градиента по следующему правилу:

||Grad2(Еy(а))|| = ||(Еy, а, ±а+)##|| = ||(Еy, а, ±а+)||.

Далее, на множестве D объектов (Ey, а, ±а+) рассмотрим третье отношение эквивалентности – отношение проективной эквивалентности:

Будем говорить, что (E1y1, а, ±а1+) проективно эквивалентен (E2y2, а, ±а2+), и обозначать это как (E1y1, а, ±а1+) @ (E2y2, а, ±а2+), если только если (E1y1, а, ±а1+) ­­­ (E2y2, а, ±а2+) и Е1 = Е2. Проективная эквивалентность влечет эквивалентности «­­­» и «»».

На основе этого отношения разбиваем множество D на классы эквивалентности. Пусть D* - множество классов эквивалентности на D, а Grad3(Еy(а)) = (Ey, а, ±а+)* - тот класс эквивалентности, который содержит элемент (Ey, а, ±а+). Объект Grad3(Еy(а)) я буду далее называть «обобщенным 3-градиентом». На классах эквивалентности введем следующие операции:

5.  Операцию “суммы” Å, где

Grad3(Е1y1) Å Grad3(Е2y2) = (E1y1, а, ±а1+)* Å (E2y2, а, ±а2+)* =

(Е1y1ÅE2y2, а, (±а1+)Å(±а2+))* = Grad3(Е1y1 Å Е2y2)

6.  Операцию умножения на вещественное число b:

b(Grad3(Еy)) = (b(Ey, а, ±а+))* = Grad3((bЕ)y)

Докажем следующие леммы.

Лемма 1.3. Операция Å корректна.

Доказательство. Необходимо показать, что операция Å не зависит от конкретного элемента класса эквивалентности, т. е., если (E1y1, а, ±а1+) @ (E2y2, а, ±а2+) и (E3y3, а, ±а3+) @ (E4y4, а, ±а4+), то (E1y1, а, ±а1+) Å (E3y3, а, ±а3+) @ (E2y2, а, ±а2+) Å (E4y4, а, ±а4+).

Пусть (E1y1, а, ±а1+) @ (E2y2, а, ±а2+) и (E3y3, а, ±а3+) @ (E4y4, а, ±а4+). Тогда (E1y1, а, ±а1+) ­­­ (E2y2, а, ±а2+) и Е1 = Е2, и (E3y3, а, ±а3+) ­­­ (E4y4, а, ±а4+) и Е3 = Е4. Отсюда (E1y1, а, ±а1+) Å (E3y3, а, ±а3+) ­­­ (E2y2, а, ±а2+) Å (E4y4, а, ±а4+) и E1y1 Å E3y3 º E2y2 Å E4y4 + С (по свойству (*)). Т. к. Е1 = Е2 и Е3 = Е4, то получаем, что E1y1 Å E3y3 º E1y2 Å E3y4 + С. Пусть E1y1 Å E3y3 º Еy и E1y2 Å E3y4 º Е*y*. По свойству (* ‘’’), получим, что Е = f(E1, E3) = E*. Отсюда следует, что (E1y1, а, ±а1+) Å (E3y3, а, ±а3+) @ (E2y2, а, ±а2+) Å (E4y4, а, ±а4+).

Лемма 2.3. Операция умножения класса эквивалентности Grad3(Еy(а)) на вещественное число корректна.

Доказательство. Пусть b - вещественное число, и (E1y1, а, ±а1+) @ (E2y2, а, ±а2+). Тогда (E1y1, а, ±а1+) ­­­ (E2y2, а, ±а2+) и, по Лемме 2.2, b(E1y1, а, ±а1+) ­­­ b(E2y2, а, ±а2+). Кроме того, Е1 = Е2, и, следовательно, bЕ1 = bЕ2. Следовательно, b(E1y1, а, ±а1+) @ b(E2y2, а, ±а2+).

Лемма 3.3. Множество D* вместе с операцией Å образует абелеву группу.

Доказательство. Корректность операции Å следует из Леммы 1.3. Так как операция Å на классах эквивалентности сводится к подобной операции на тройках, а последняя – к соответствующей коммутативной и ассоциативной операции на первых и третьих элементах троек, то операция Å на классах эквивалентности коммутативна и ассоциативна. Нейтральным элементом операции Å является элемент 0* = Grad3(0) = Grad1(0). Элементом, противоположным элементу Grad2(Еy), является элемент - Grad3(Еy).

Теорема 1.3. Множество D* является линейным пространством над полем вещественных чисел.

Доказательство. Корректность операций Å и умножения на вещественное число следует из Леммы 1.3 и Леммы 2.3. Лемма 3.3 доказывает групповые свойства операции Å как операции сложения элементов D*. Для доказательства утверждения теоремы остается проверить свойства ассоциативности и унитарности операции умножения на число, свойства правой и левой дистрибутивности. Первые два свойства прямо вытекают из определения операции умножения на число. Вторые два свойства следуют из (**) и (***).

Теорема 2.3. Если (Е1y1, а, ±а1+) @ (Е2y2, а, ±а2+), то ||(Е1y1, а, ±а1+)|| = ||(Е2y2, а, ±а2+)||.

Доказательство. Если (Е1y1, а, ±а1+) @ (Е2y2, а, ±а2+), то (Е1y1, а, ±а1+) » (Е2y2, а, ±а2+), т. е., по Теореме 2.1, ||(Е1y1, а, ±а1+)|| = ||(Е2y2, а, ±а2+)||.

Доказанная теорема позволяет ввести понятие «величины» и для обобщенного 3-градиента по следующему правилу:

||Grad3(Еy(а))|| = ||(Еy, а, ±а+)*|| = ||(Еy, а, ±а+)||.

Для 3-градиента Grad3(Еy(а)) = (Еy, а, а+)* можно ввести представление о таком значении Е0, что величину N0 = ||(Е0y, а, а+)*|| можно интерпретировать как расстояние от точки а до точки а+. Тогда вектор (Еy, а, ±а+)* с величиной N = ||(Еy, а, ±а+)*|| можно записать в виде (Еy, а, ±eа+)*, где e = . Изменение значений Е будет выражаться в переходе от одного 3-градиента к другому, и эти 3-градиенты будут различаться только по значениям Е, и, следовательно, по значениям своих третьих элементов там, где подобных различий не будет отражаться ни для 2-, ни для 1-градиентов. Запись ±eа+ для третьего элемента в (Еy, а, ±а+)* в этом случае можно интерпретировать как не просто указание направления вектора (Еy, а, ±а+)*, но указание концевой точки этого вектора, если его откладывать от точки а. В общем случае, подобно антиподам, не все элементы вида ±eа+ могут быть элементами множества А, являясь виртуальными элементами, за счет которых множество А также может быть пополнено. Если ±eа+ - виртуальный элемент, то вектор (Еy, а, ±eа+)* не может прямо реализоваться в субъектной онтологии, и можно предполагать, что он будет реализовывать себя через такой (Е*y, а, ±gа+)*, что ||(Е*y, а, ±gа+)*|| < ||(Еy, а, ±eа+)*||, и вектор (Е*y, а, ±gа+)* - ближайший к (Еy, а, ±eа+)* из всех подобных векторов.

Теорема 3. Операция Å существует.

Доказательство. Можно проверить, что операция Å, такая, что

Grad(Е1y1) Å Grad(Е2y2) = Grad(E3y3),

где Е3 = Е1 + Е2,

y3 = .

удовлетворяет всем предъявленным выше требованиям как для 1-градиента, так и для 2-градиента и 3-градиента.

Ниже под обобщенным градиентом я буду понимать обобщенный 3-градиент, обозначая его как Grad(Еy(u)).

Рассмотрим один специальный случай определения Grad(Еy).

Пусть функция y дифференцируема, и

Grad(y(а)) =(y, а, а+)*, где y(а+) = y+ = y(а) + grady(а)×,

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3