Муниципальное общеобразовательное учреждение Виткуловская средняя общеобразовательная школа Сосновского района Нижегородской области
Программа элективного курса
«Избранные вопросы математики»
Авторы составители - учителя математики:
,
высшая квалификационная категория,
учитель – методист;
, высшая квалификационная категория,
старший учитель.
с. Виткулово
2011год
§1. Методические основы разработки элективного курса
Пояснительная записка. Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Данный элективный курс связан с основным курсом математики, развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. Данная программа предназначена для учащихся 10-11 классов естественно-математического профиля. Главная цель предлагаемой программы не только подготовка к ЕГЭ (хотя и это важно), а и учить ученика самостоятельно мыслить, творчески подходить к любой проблеме. В школьном курсе математики есть много уравнений и неравенств, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся. Это создаст предпосылки для рождения ученика как математика-профессионала, но даже если это не произойдёт, умение мыслить творчески, нестандартно, не будет лишним в любом виде деятельности в будущей жизни ученика. Учебный материал, касающийся нестандартных методов решения уравнений и неравенств, содержится в учебных пособиях для подготовки к ЕГЭ по математике, к конкурсным экзаменам в вузы. Во временных рамках уроков полностью этот материал рассмотреть невозможно, поэтому есть смысл вынести его на курсы по выбору. Элективный курс «Решение нестандартных задач» рассчитан на 34 часа для учащихся 10 классов и на 34 часа для учащихся 11 класса. Данная программа курса сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика, кому она понадобится при учебе, подготовке к различного рода экзаменам, и главное к ЕГЭ. Программа содержит материал необходимый для достижения запланированных целей.
Используются различные формы организации занятий, такие как лекция и семинар, групповая, индивидуальная деятельность учащихся. Результатом предложенного курса должна быть успешная сдача ЕГЭ. При проверке результатов может быть использован компьютер.
Актуальность элективного курса «Решение нестандартных задач по математике» определяется тем, что данный курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.
Цели курса:
· углубление и расширение знаний учащихся;
· привить ученику навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач;
·
·
·
·
· познакомить учащихся с некоторыми приёмами решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций, показать применение производной при решении задач;
· обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений;
· формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
· выявление и развитие их математических способностей, ориентация на профессии, существенным образом связанных с математикой;
· подготовка учащихся к итоговой аттестации и к обучению в вузе.
Требования к подготовке учащихся. В результате изучения данного элективного курса ученик
должен знать:
· знать, как используются математические формулы, примеры их применения для решения математических и практических задач;
· знать, как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания.
· основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;
· знать способы и приёмы решения нестандартных задач.
должен уметь:
· уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ, а также как прикладного инструмента в будущей профессиональной деятельности;
· уметь самостоятельно работать с таблицами и справочной литературой;
· уметь составлять алгоритмы решения типичных задач;
· уметь решать тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства;
· применять рациональные приёмы вычислений.
Тематика и содержание данного элективного курса отвечает следующим требованиям:
· поддержание изучения базового курса алгебры;
· повышение уровня образованности учащихся, расширение их кругозора, удовлетворяются познавательные интересы в области математики;
· развитие математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы.
На занятиях используются различные формы и методы работы с учащимися:
- при знакомстве с новыми способами решения - работа учителя с демонстрацией примеров;
- при использовании традиционных способов - фронтальная работа учащихся;
- индивидуальная работа;
- анализ готовых решений.
На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: как индивидуально, так и в группах. Такая организация учебной деятельности способствует реализации поставленных целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих школьников. Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. Методы преподавания определяются целями курса, направленными на формирование математических способностей учащихся и основных компетентностей в предмете.
Ожидаемый результат изучения курса:
· сформировать навыки использования нетрадиционных методов решения задач;
· сформировать умения решать задания, по типу приближенных к заданиям ЕГЭ;
· сформировать умения уметь самостоятельно работать с таблицами и справочной литературой;
· сформировать умения составлять алгоритмы решения текстовых и геометрических задач;
· сформировать умения решать тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства;
· сформировать умения применять различные методы исследования элементарных функций и построения их графиков;
· сформировать умение работать в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения).
Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки. Уровень достижений учащихся определяется в результате:
· наблюдения активности на практикумах;
· беседы с учащимися;
· анализа творческих, исследовательских работ;
· проверки домашнего задания;
· выполнения письменных работ;
· самостоятельно созданных слайдов, мини-задачников, выполненных проектов, которые могут быть индивидуальными и коллективными.
· На занятии ученикам ставятся баллы за выполненные задания, а потом за 1-2 занятия выставляются оценки:
Оценка: «5» – 7-9 баллов;
«4» – 5-6 баллов;
«3» – 2-4 балла.
Итоговая аттестация проводится в виде пробного экзамена в форме ЕГЭ, состоящего из двух блоков: В - задания с краткой записью ответа; С - задания, предполагающие развернутый ответ.
Предлагаемый курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает конкурентоспособность школы, так как реализация элективного курса дает более глубокие знания по математике, увеличивает уровень интеллектуального развития.
В тематическом планировании выделяется практическая часть, которая реализуется на знаниях учащихся, полученных в ходе курса теоретической подготовки. По окончанию каждого раздела предполагается промежуточный контроль в форме срезовых и тестовых заданий и других активных методов.
Результативность курса определяется в ходе итогового зачёта, с последующей записью элективного курса в аттестат о среднем образовании.
Материал программы построен с учётом использования активных методов обучения, а рациональное распределение разделов программы позволит получить качественные знания и достичь запланированных результатов.
Учебно-тематический план
Название разделов | Количество часов | Формы контроля | ||
Всего | Теорети ческих | Практи ческих | ||
10 класс | 34 | 9 | 25 | |
1. Алгебраические выражения. Преобразование выражений. | 3 | 1 | 2 | срез |
2. Методы решения нелинейных систем уравнений | 3 | 1 | 2 | срез |
3. Уравнения и неравенства с модулем | 3 | 1 | 2 | тест |
4. Иррациональные уравнения и неравенства | 4 | 1 | 3 | тест |
5. Упрощение выражений, содержащих показательные функции и логарифмы | 3 | 1 | 2 | тест |
6. Решение уравнений, содержащих показательные и логарифмические функции | 5 | 5 | зачёт | |
7. Решение неравенств, содержащих показательные и логарифмические функции | 3 | 3 | срез | |
8. Тождественные преобразования тригонометрических выражений | 2 | 1 | 1 | срез |
9.Решение тригонометрических уравнений | 4 | 1 | 3 | тест |
10. Решение тригонометрических неравенств | 4 | 1 | 3 | срез |
11 класс | 34 | 10 | 24 | |
11. Текстовые задачи | 3 | 1 | 2 | тест |
12. Прогрессии и последовательности | 2 | 1 | 1 | срез |
13. Функции и графики | 3 | 1 | 2 | срез |
14. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Решение заданий из части «С» ЕГЭ. | 7 | 2 | 5 | зачёт |
15. Производная функции | 2 | 1 | 1 | тест |
16. Задачи с параметрами | 5 | 2 | 3 | срез |
17. Геометрические задачи. Планиметрия. | 3 | 1 | 2 | тест |
18. Геометрические задачи. Стереометрия | 3 | 1 | 2 | срез |
19. Типичные ошибки абитуриентов на вступительных экзаменах | 2 | 2 | срез | |
20. Итоговый зачёт | 4 | 4 | пробный экзамен |
Содержание курса
№ урока | Раздел | Содержание курса |
1-3 | 1. Алгебраические выражения. Преобразование выражений. | 1) Преобразования выражений с модулем; 2) выражения, содержащие степень с дробным показателем; 3) преобразование дробно-рациональных выражений; 4) решение заданий из части «С» ЕГЭ. |
4-6 | 2. Методы решения нелинейных систем уравнений | 1) метод подстановки 2) метод алгебраического сложения 3) метод разложения на множители 4) метод замены переменных 5) метод линейных преобразований 6) графический метод решения систем уравнений |
7-9 | 3. Уравнения и неравенства с модулем | 1) Определение модуля, геометрическая интерпретация определения модуля и использование её при решении уравнений и нер-ств; 2) применять переход от уравнения к равносильной системе; 4) научить применять метод промежутков при решении уравнений с модулем. |
10-13 | 4. Иррациональные уравнения и неравенства | 1) Функционально-графический; 2) алгебраический (возведение в степень); 3) введение новой переменной; 4) исследование ОДЗ; 5) умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель; 6) выделение полного квадрата; 7) метод оценки; 8) использование свойств монотонности функций; 9) переходи к модулю; 10) использование теорем равносильности для реш. ирр. неравенств. |
14-16 | 5. Упрощение выражений, содержащих показательные функции и логарифмы | 1) Основные свойства степеней; 2) основные свойства логарифмов. |
17-21 | 6. Решение уравнений, содержащих показательные и логарифмические функции | 1) Решение заданий из части «В» ЕГЭ; 2) решение заданий из части «С» ЕГЭ. |
22-24 | 7. Решение неравенств, содержащих показательные и логарифмические функции | 1) Решение заданий из части «В» ЕГЭ; 2) решение заданий из части «С» ЕГЭ. |
25-26 | 8. Тождественные преобразования тригонометрических выражений | 1) Формула одного и того же элемента 2) тригонометрические функции двойного угла 3) тригонометрические функции половинного угла 4) формулы сложения 5) формулы приведения 6) формулы преобразования тригонометрических сумм в произведение 7) преобразование тригонометрических произведений в сумму 8) соотношение для обратных тригонометрич. функций |
27-30 | 9.Решение тригонометрических уравнений | 1) Решение уравнений разложением на множители; 2) решение уравнений, сводящихся к квадратным; 3) решение однородных тригонометрических уравнений; 4) введение дополнительного аргумента; 5) решение уравнений, содержащих тригонометрическую функцию под знаком радикала; 6) отбор корней; 7) решение заданий из части «С» ЕГЭ. |
31-34 | 10. Решение тригонометрических неравенств | 1) Решение неравенств с помощью окружности; 2) графический способ решения неравенств; 3) решение заданий из части «С» ЕГЭ. |
35-37 | 11. Текстовые задачи | 1) Методы решения задач на «проценты» и «смеси»; 2) методы решения задач на «движение»; 3) методы решения задач на «работу». |
38-39 | 12. Прогрессии и последовательности | 1) Арифметическая прогрессия; 2) геометрическая прогрессия; 3) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия |
40-42 | 13. Функции и графики | 1) Функции и их основные свойства; 2) использование области определения функций; 3) использование монотонности функций. |
43-49 | 14. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Решение заданий из части «С» ЕГЭ. | Методы решения уравнений: 1) методы решения уравнения вида 2) использование понятия области изменения функции при решении уравнений; 3) использование понятия области изменения функции при решении уравнений; 4) использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство; 5) использование свойств четности или нечетности и периодичности функций; 6) закрепление знаний учащихся по изученному материалу; 7) зачёт. |
50-51 | 15. Производная функции | 1) Геометрический и механический смысл производной; 2) применение производной к исследованию функции. |
52-56 | 16. Задачи с параметрами | 1) Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена; 2) использование ограничений функции; 3) использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. |
57-59 | 16. Геометрические задачи. Планиметрия | 1) Планиметрические задачи части «С» ЕГЭ. |
60-62 | 19. Геометрические задачи. Стереометрия | 1) Стереометрические задачи; 2) решение задач повышенной сложности, рассмотреть различные способы построения сечений; 3) решение задач на комбинацию стереометрических тел; 4) применение метода координат, задачи части «С» ЕГЭ. |
63-64 | 20. Учимся на чужих ошибках. Типичные ошибки выпускников на внутренних экзаменах | 1) Арифметические ошибки при вычислениях ошибки, связанные с незнанием или с неправильным использованием формул; 2) ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритма решения задач конкретного типа. |
65-68 | 21. Итоговый зачет | 1) Пробный экзамен в форме ЕГЭ; 2) конференция. |
;Изучение каждой темы заканчивается проверочной работой, которая может быть составлена на основе материалов разнообразных сборников, различных вариантов ЕГЭ, открытого банка заданий в Интернете.
Организация работы на занятиях должна несколько отличаться от работы на уроке: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, и, тем самым, самостоятельно добиваться результата.
Итоги работы элективного курса подводятся по результатам учебной деятельности (посетил не менее 65% занятий по этому курсу и выполнил не менее 65% заданий проверочных работ).
Предлагаемый элективный курс соответствует:
· современным целям общего образования;
· основным положениям концепции профильной школы;
· перспективным целям математического образования в школе.
Программа обеспечивается необходимым для её реализации учебно-методическим комплексом, курс обеспечен раздаточным материалом, подготовленным на основе прилагаемого ниже списка литературы.
Учебно-методическое обеспечение
Для учителя:
1. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве. /, – М.: Издательство «Экзамен», 2011.
2. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / под ред. , . – М.: Издательство «Экзамен», 2011.
3. ЕГЭ. Теоретические и практические вопросы подготовки к ЕГЭ по математике / Авторы составители: доцент кафедры теории и методики обучения ГОУ ДПО НИРО; доцент кафедры теории и методики обучения ГОУ ДПО НИРО; , зав кафедрой теории и методики обучения ГОУ ДПО НИРО – Нижний Новгород: НИРО, 2011.
4. Единый государственный экзамен 2011. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ– М.: Интеллект-Центр, 2011.
5. Задачи с параметром и их решение. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы. / – М.: АРКТИ, 2005.
6. Задачи с параметром и их решение. Применение свойств функции, преобразование неравенств. / – М.: АРКТИ, 2010.
7. Задачи с параметрами и их решения. Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы.10 класс. / – М.: АРКТИ, 2008.
8. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие. / – М.:АРКТИ, 2003.
9. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. / – М.: АРКТИ, 2010.
10. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. / В. В.,
Амелькин, – Мн : , 2004.
11. Изучение алгебры и начал математического анализа в 10 классе: кн. для учителя / , . – М. : Просвещение, 2008.
12. Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе: кн. для
учителя / , . – М. : Просвещение, 2009.
13. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С1). Отбор корней в тригонометрических уравнениях. / Авторы составители: , : www. , 2011.
14. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С2). Многогранники: виды задач и методы их решения. / Авторы составители: , : www. , 2011.
15. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С3). Методы решения неравенств с одной переменной. / Авторы составители: , : www. , 2011
16. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С4). Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи). / Авторы составители: , : www. , 2011.
17. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С5). Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. / Авторы составители: , , www. , 2011.
18. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С6). Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных). / Авторы составители: , , www. , 2011.
19. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач. , , ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010.
20. О преподавании математики в учебном году. / Методическое письмо под редакцией , . - МИОО учебники» 2010.
21. Подготовка к ЕГЭ по математике. Задания С1-С6. / Авторы составители:
доцент кафедры теории и методики обучения ГОУ
ДПО НИРО; доцент кафедры теории и методики
обучения ГОУ ДПО НИРО; , зав кафедрой теории и
методики обучения ГОУ ДПО НИРО – Нижний Новгород: НИРО, 2011.
22. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2011: Математика /авт.-сост. , , и др.; под ред. , – М.: АСТ: Астрель, 2011. – (Федеральный институт педагогических измерений).
23. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами /, –М.: Астрель», 2001.
24. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. / , , : ДРОФА, 2003 г.
25. Учебно-методические материалы для председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2011 года. Часть 1. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом. / Математика. http://www. *****/– Москва, 2011.
Для учащихся:
1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для
общеобразовательных учреждений: базовый и проф. уровни / Ю. М.
Колягин, , – М. :
Просвещение, 2009.
2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и проф. уровни / , , – М. : Просвещение, 2010.
3. Геометрия 7 - 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / , , и др. – М. : Просвещение, 2009.
4. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / , , и др. – М. : Просвещение, 2009.
5. ЕГЭ. Математика. Решение задач группы В: универсальные материалы с методическими рекомендациями, решениями и ответами. / , , . – М.: Издательство «Экзамен», 2011.
6. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С1. , / Под ред. , . – М.: МЦНМО, 2011.
7. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С2. / Под ред. , . – М.: МЦНМО, 2010.
8. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С3. , / под ред.
и . – М.: МЦНМО, 2010.
9. Задачи с параметрами. Учебное пособие. –М.:МИЭТ,2004.
10. Математика: 10 настоящих вариантов заданий для подготовки к единому государственному экзамену-2007 [Текст] / А. Г. Клово. – М.: Федеральный центр тестирования, 2007.
11. Нестандартные задания по математике 5-11 классы. –М.
12. Издательство «Первое сентября», 2003.
13. http://www. / – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.
14. http://eek. *****/ – сайт по оказанию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике.
15. http://www. ***** – единый государственный экзамен (от А до Я).
15. http://***** - открытый банк заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
§2. Разработка занятий элективного курса
Уроки по теме: Функции и их основные свойства. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Решение заданий из части «С» ЕГЭ.
3. Свойства функций. Построить эскизы графиков функций (индивидуальная дом. работа):
Вариант1 
Вариант 2 
Вариант 3 
Вариант 4 
Вариант 5 
Вариант 6 
Вариант 7 
Вариант 8 
Вариант 9 
Вариант 10 
Вариант11 
Вариант 12 
Вариант 13 
Вариант 14 
Занятие № 41 Тема: «Использование области определения функций».
Цель: познакомить учащихся с методом решения уравнений и неравенств, основанном на применении области определения, входящих в них функций.
Ход занятия:
1. Актуализация знаний
1)Что называется областью определения функции?
2)Найдите область определения функций:
А)
; Б)
.
3)Что называется областью определения уравнения (неравенства)? (Множество всех значений переменной, при которых уравнение (неравенства) имеет смысл, или ОДЗ).
Найдите ОДЗ уравнения 
.
4)Учитель делает вывод, что для того, чтобы найти ОДЗ переменной данного уравнения, необходимо найти область определения функций, в него входящих, и посмотреть при каких x одновременно имеют смысл выражения, стоящие в левой и правой частях.
2. Изучение нового материала.
1)Рассмотрим пример: 
. Найдем корни этого уравнения. Заметим, что если уравнение имеет решения, то они содержатся только в области определения уравнения. А ОДЗ мы уже нашли {-2;2}. Осталось подставить эти значения в уравнение. Ответ: 2.
2) Рассмотрим на примере, как знание области определения помогает найти решение неравенства: 
ОДЗ неравенства есть все x, удовлетворяющие условию 
. Для всех x из этого промежутка имеем 
, а 
. Следовательно, решением этого неравенства является промежуток .
3. Решение задач. Учащиеся самостоятельно решают в тетради. Ответы проверяются и фиксируются на доске учителем. Задания, вызвавшие затруднения, разбираются учителем или одним из учеников на доске.
Решите уравнение или неравенство (список задач написан на доске):
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
.
Постановка домашнего задания.
1)Решите уравнение 
.
2) Решите уравнение 
.
3) Решите неравенство 
.
4) Подготовить доклады на тему «Способы доказательства возрастания (убывания) функций» (по определению) и «Как монотонность помогает решать уравнения и неравенства» (сформулировать теоремы о корне, 1 доказать). Это задание выполняют два ученика по желанию.
Занятие № 42 Тема: «Использование монотонности функций»
Решите уравнение или неравенство:
1) ;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) ;
6) 
;
7) 
.
1. Подведение итогов занятия.
Учитель выставляет баллы за работу на занятии. По одному баллу за доклад, по одному баллу за каждую задачу, решённую у доски.
Выставляются оценки за полученные баллы этого и предыдущего урок:
Оценка: «5» – 7-9 баллов;
«4» – 5-6 баллов;
«3» – 2-4 балла;
5. Постановка домашнего задания.
1)
;
2)
;
3)
4) 
.
Занятие № 43 Тема: Уравнения вида 
.
1. Решение задач. Решение первой задачи учитель подробно разбирает на доске.
1)
.
В обеих частях уравнения стоят функции, похожие внешне. Поэтому имеет смысл рассмотреть функцию .
‑ Назовите область определения этой функции (R).
‑ Исследуйте функцию на монотонность (убывает на R).
Если выполняются эти условия, то исходное уравнение равносильно уравнению 
. Найдем корни этого уравнения, они будут корнями исходного уравнения.
2) . В этом задании следует обратить внимание учеников на то, что функция 
определена не на всей числовой прямой, поэтому уравнение 
равносильно системе 
;
3) 
;
4) 
;
5) .
2. Подведение итогов занятия.
3. Постановка домашнего задания.
1) Повторить теоретический материал, связанный с понятием области изменения функции.
2) Решить уравнения:
;
;
;
.
4. Проверочная работа.
Вариант №1
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Вариант №2
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Критерии оценивания:
«5» - верно выполнены все задания;
«4» - верно выполнены любые два задания;
«3» - верно выполнено любое одно задание.
Занятие № 44 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
Пример 3. Решить уравнение 
Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, 
. Найдем их множество значений 
. Воспользуемся утверждением 1: так как множества значений имеет общую точку 2, от уравнения можно перейти к системе 
. Решением системы, а, значит, и исходного уравнения является 
.
Утверждение 4. Пусть дано неравенство 
. Если множества значений этих функций имеют общую точку
; 
, то неравенство равносильно системе 
.
Пример 4. Решить неравенство 
.
ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме -1. Разобьем ОДЗ на три промежутка 
и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков. На первом и третьем промежутках неравенство выполняется для любого x: 
(
); 
(
); 
(
). Следовательно, оба промежутка являются решением неравенства. На втором промежутке 
, то есть неравенство решений не имеет. Исходя из этого получаем решением неравенства 
.
1. Постановка домашнего задания.
1) Выучить теоретический материал.
2) Найти множество значений функций:
а)
; б) 
.
3) Решить уравнение 
.
Занятие № 45 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
1. Решение задач. На доске написан список задач. Учащиеся по одному решают у доски. Учитель напоминает, что данные уравнения и неравенства решаются с использованием множества значений функций, в них входящих.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) ;
5) 
;
6) 
7) 
;
8) 
;
9)
;
10) 
.
2. Постановка домашнего задания
Решить уравнения и неравенство:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Занятие № 46 Тема: «Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство».
Пример1. Решить уравнение 
.
Преобразуем уравнение 
. Наше уравнение будет равносильно системе 
, которая не имеет решений. Значит и исходное уравнение решений не имеет.
Аналогичное утверждение можно сформулировать и для неравенств.
Утверждение 2. Пусть имеется неравенство 
. Если множество значений каждой из функций 
принадлежит промежутку 
, то неравенство равносильно системе 
.
Пример 2. Решить неравенство 
.
Так как для любого x справедливы неравенства 
, то неравенство равносильно системе 
, решением которой является 
. Значит, неравенство имеет единственное решение 
.
Утверждение 3. Пусть имеется неравенство 
. Если множество значений каждой из функций принадлежит промежутку , то решениями неравенства являются все x из ОДЗ, за исключением тех x, которые являются решениями системы .
Пример 3. Решить неравенство 
ОДЗ неравенства 
. Для нахождения решения неравенства нужно исключит из его ОДЗ все решения системы 
. Решениями неравенства являются все x из множества 
.
1. Решение задач. На доске написаны два варианта заданий. Учащиеся в течение 13-15 минут решают каждый свой вариант, затем в паре обмениваются тетрадями и проверяют решение соседа по парте и ставят баллы (по одному за каждое верное решение уравнения или неравенства). Учитель выписывает ответы на доске.
Вариант 1.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Вариант 2.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
2. Подведение итогов занятия. Учитель выставляет баллы полученные учениками. оценка ставится ученику, объяснявшему домашнее задание.
3. Постановка домашнего задания
Решите уравнения и неравенство:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Занятие № 47 Тема: «Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций».
‑Исследовать функции на четность: 
;
.
‑Сформулируйте определение периодической функции.
‑Какие из перечисленных функций являются периодическими, укажите их период: 
, 
, 
.
1) Решить уравнение 
Период, входящих в уравнение функций Т=200p. Возведем обе части в квадрат и получим 
; 
. Проверим корни в пределах периода:
Решением уравнения является 
.
2) Решить уравнение 
;
Заметим, что в обеих частях уравнения стоят четные функции, поэтому решим данное уравнение с использованием свойств четной функции. С учетом сказанного выше для четной функции, достаточно найти решения для x≥0. Но x=0 не есть корень уравнения. Рассмотрим два промежутка (0, 2], (2, ∞). На промежутке (0, 2] имеем 
; 
; x= . На промежутке (2, ∞) имеем 
; 
; 3x=2x; x=0. Но так как x=0 не является корнем уравнения, то для x>0 данное уравнение имеет корень x=
. Но тогда x= ‑ также является корнем уравнения.
3) 
;
4) 
.
Занятие № 48 «Морской бой»
Цели: закрепить имеющиеся знания учащихся по изученному материалу.
Правила игры.
Занятие проводится в форме игры «Морской бой». Основой игры является детская игра «Морской бой». Поле с проставленными на нем очками является игровым полем для данной игры. Например, для морского боя 5*5 клеток игровое поле и поле ведущего будут выглядеть следующим образом:
На игровом поле проставлены очки и буквы «Б» блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов), «М» - музыкальный конкурс (спеть песни, в которых содержаться числительные, кто больше), «К» - конкурс капитанов.
На поле у ведущего расположены корабли, координат которых играющие не знают.
Команды распределяют между собой поровну корабли (по 2 корабля каждой команде) и ведущий называет командам в тайне от других координаты этих кораблей.
Та команда, которой выпадает по жребию начинать игру, называет координату первого «выстрела». Если на этой клетке стоит корабль, то команда получает в плюс очки, проставленные на клетке и продолжает стрельбу. Если на этой точке нет корабля, то ведущий предлагает команде вопрос той сложности, сколько очков стоит на этой клетке. Если команда ответила правильно, то очки засчитываются в плюс, если неправильно или не ответила, то в минус. Ход переходит к противнику.
Команда выбывает из игры, если «потоплены» все её корабли. Выигрывает та команда, которая к моменту, когда сбиты все корабли, наберет больше очков (победителем может считаться и та команда, у которой остался последний корабль «на плаву»).
Участники: команды по 10 человек.
Продолжительность игры: около 90 минут.
Система судейства: воспитатели и группа детей.
Реквизит: игровое поле, табло для очков, модели кораблей для жеребьевки, фломастеры, для обозначения ходов на игровом поле.
Ход занятия:
Задания.
5 баллов:
1. 
;
2. 
;
4 балла:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
3 балла:
1. 
;
2. 
;
3. 
4. 
;
2 балла:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
1 балл:
1. 
;
2. ;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
.
«К» - конкурс капитанов.
1. «БУКВЫ»: для проведения этого конкурса понадобится подготовить буквы алфавита по 3 – 4 пары каждой. Капитаны команд вытягивают из ящика (коробки) заранее оговоренное ведущим число букв (8 – 10). Задание – из букв сложить возможное количество слов. Победителем становится тот, кто быстрее и правильнее выполнит задание.
2. «СЛОГИ»: капитаны обмениваются слогами, перебрасывая, друг другу мяч. Например, первый говорит «да», второй «ча». И так до тех пор, пока кто-нибудь не запнется, не сможет составить слово. (Составляемые слова должны быть по изученной теме)
«М» - музыкальный конкурс (спеть песни про математику или в тексте которых содержится числительное, кто больше).
«Б» - блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов).
Примерные вопросы:
‑Что называется функцией?
‑Перечислите основные свойства функций.
‑Что называется областью определения функции?
‑Что называется множеством значений функции?
‑Какая функция называется четной?
‑Какая функция называется четной?
‑Приведите пример ограниченной функции.
‑Какая функция называется монотонной?
‑Приведите пример функции возрастающей на всей области определения.
Подведение итогов: выяснить допущенные ошибки, недостатки в проведении игры. Узнать мнение участников и зрителей о проведенном мероприятии. Команде-победителю вручается диплом и каждому члену команды ставится 5 баллов. Команде, занявшей второе место ставится 4 балла. Можно наградить отдельных участников в номинациях «Приз зрительских симпатий», «Лучший капитан», и т. д.
В конце урока напомнить учащимся, что следующее занятие зачетное.
Занятие № 49 Зачет.
А1. Решите уравнение 
.
1) -2; 2) 2; 3)1; 4) не имеет корней.
А2. Решите уравнение 
и укажите верное утверждение о его корнях.
1) корень только один, и он положительный;
2) корень только один, и он отрицательный;
3) корней два, и они разных знаков;
4)корней два, и они отрицательные.
А3. Найдите область значений функции 
.
1)[-2;0]; 2)[-2;1]; 3)[-3;1]; 4)[-2;2].
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.
В1. Решите уравнение 
. (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
В2. Решите уравнение 
В3. Решите неравенство 
Часть 3
На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.
С1. Найдите нули функции 
Вариант 2.
Часть 1
При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.
А1. Решите уравнение 
.
1) -5; 2) 5; 3)4; 4) не имеет корней.
А2. Решите уравнение 
и укажите верное утверждение о его корнях.
1) корней два, и они разных знаков;
2) корней два, и они положительные;
3) корень только один, и он положительный;
4) корень только один, и он отрицательный.
А3. Найдите область значений функции 
.
1)[3;+∞); 2)(-∞;+∞); 3)(-∞;3); 4)(3;+∞).
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.
В1. Решите уравнение 
. (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
В2. Решите уравнение 
В3. Решите неравенство 
Часть 3
На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.
С1. Найдите нули функции 
.
Ответы к зачетной работе.
Номер задания | А1 | А2 | А3 | В1 | В2 | В3 | С1 |
Вариант 1 | 2 | 2 | 3 | 0 | 3 | 0 | -2 |
Вариант 2 | 2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 3 | Нет решений |
Критерии оценок:
Часть А: каждое задание оценивается по 1 баллу. Всего можно получить 3 балла.
Часть В: за верное выполнение задания выставляется 1 балл. Всего – 3 балла.
Часть С: максимум – 3 балла, если приведена верная последовательность всех шагов решения, все тождественные преобразования выполнены верно, получен верный ответ;
2 балла – приведена верная последовательность всех шагов решения, при решении одного из уравнений допущена одна описка, или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения;
1 балл ‑ приведена верная последовательность всех шагов решения, допущена грубая ошибка в тождественных преобразованиях, в результате которой получен неверный ответ;
0 баллов – все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.
Оценка: «5» – 7-9 баллов;
«4» – 5-6 баллов;
«3» – 2-4 балла;
Не зачтено – 0-1 балл.
1. Подведение итогов занятия. Учащимся выставляются оценки за урок.
