Экономико-математические модели

ГЛАВА 13. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

13.1. Математические модели и точность

экономических расчётов

Всякая теория является своеобразной приставкой к измерительным средствам, существенно расширяющей объём информации, который они дают. Как и измерительные средства, математическая модель имеет погрешность, мерой которой является расхождение её предсказаний с практикой.

Широко применяющийся в настоящее время термин «математическая модель» вошёл в употребление сравнительно недавно – лет 50 тому назад. Ранее это же самое называли и проще и точнее – «приближённая теория» (такого-то явления), причём само собой подразумевалось, что каждое явление может быть описано несколькими вариантами теории, обладающими разными уровнями погрешности. Недостаток термина «математическая модель» состоит в том, что в нём отсутствует существенный эпитет «приближённая», подчёркивающий существование связи «модели» с описываемым ею явлением и неполную адекватность этой связи. Это иногда даёт повод для формально-математического подхода к моделям в отрыве от тех конкретных задач, для решения которых они предназначены.

При рассмотрении любой задачи (экономической, социологической, экологической, управленческой и т. п.) на основании её математической модели не следует забывать как о конечной цели расчёта, которой является отнюдь не число, а получение информации о картине рассматриваемого явления и о взаимном влиянии характеризующих его параметров, так и о погрешности математической модели.

Что касается точности экономических расчётов, то следует помнить, что «первое правило всяких вычислений состоит в том, чтобы точность результатов, ими доставляемых, соответствовала той практической потребности, для которой вычисления производятся. Очевидно, что расчёты не точны, но слова «не точны» не равносильны словам не пригодны для дела» (из доклада академика председателю Морского технического комитета, 1904 г.).

13.2. Равновесие спроса и предложения

Микроэкономика занимается анализом деятельности отдельных звеньев хозяйственной системы. Это могут быть отдельные фирмы, предприятия, рынки конкретных видов товаров и услуг и т. д. Один из важнейших вопросов микроэкономики состоит в изучении взаимодействия спроса и предложения.

Спрос на данный товар – это потребность в определённом количестве товара, ограниченная действующими ценами и платёжеспособностью потребителей. Предложение можно определить как количество товара, которое может быть представлено на рынке для продажи по данной цене.

Выпуск дополнительной продукции требует дополнительных затрат. Чтобы побудить к этому производителя, надо предложить ему повышенную цену, т. е. предложение является некоторой функцией цены. Если обозначить предложение через S, а цену через P, то сказанное выше можно записать в виде

. (13.1)

Эта функция может быть достаточно сложной, и, кроме того, предложение S может зависеть не только от цены на товар P, но и от других факторов. Этими факторами сейчас пренебрежём. В экономике график зависимости предложения от цены называется кривой предложения. Экономисты предпочитают независимую переменную P откладывать на вертикальной оси координат, а значение функции S – на горизонтальной оси. Разрешая равенство (13.1) относительно цены P, можно записать его в виде:

, (13.2)

где функция, называемая обратной функцией по отношению к и имеющая графиком ту же кривую предложения.

Конкретный вид зависимости (13.2) может быть получен или из статистических данных, или из экономической теории. Сделаем предположение, что эту зависимость можно представить в первом приближении самой простой, а именно линейной функцией:

, (13.3)

где и некоторые постоянные величины, называемые параметрами и определяемые эмпирически.

Разумеется, предположение о линейной зависимости цены P от предложения S является сильным упрощением действительности. Однако, во-первых, линейная функция самая простая и анализировать её легче всего, во-вторых, это даёт возможность хотя бы немного приблизиться к решению задачи. Такой приём, при котором мы выделяем некоторые существенные черты из реальной задачи, а потом делаем упрощающие предположения, получил название «моделирование». При этом реальная задача «заменяется» какой-либо моделью, исследуя которую мы можем делать предсказания. Чем ближе модель к действительности, тем она сложнее и тем точнее предсказания, которые можно с её помощью сделать.

Экономическая теория и здравый смысл подсказывают, что предложение товара растёт с ростом цены. Действительно, чем выше цена на товар, тем большее число производителей стремится предложить этот товар на рынке. Это, в свою очередь, означает, что функция (13.3) является возрастающей функцией, т. е. (рис. 96).

Займёмся теперь изучением кривой спроса. В отличие от кривой предложения она является убывающей функцией. Действительно, если цена на какой-то товар растёт, то количество проданного товара будет уменьшаться. Предположим теперь, что и кривую спроса можно в первом приближении также представить прямой линией. Тогда, будучи убывающей функцией, кривая спроса может быть записана в виде:

, , (13.4)

где цена, спрос, и постоянные величины, т. е. параметры. График кривой спроса в линейном приближении изображён на рис. 97.

Рис. 96 Рис. 97

Спрос и предложение относятся к какому-то определённому виду товара или группе товаров. Количество товара в зависимости от вида может измеряться в различных единицах: автомобили в штуках, нефтепродукты в тоннах и т. д. Важно, что эти единицы для спроса и предложения одни и те же. Поэтому, обозначая количество товара буквой , мы можем кривые спроса и предложения изобразить на одном графике (рис. 98).

В микроэкономике представляет интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка называется точкой равновесия, соответствующая ей ценаравновесной ценой, а количество товара с равновесной ценой равновесным объёмом спроса – предложения. Такие названия связаны с тем обстоятельством, что в точке равновесия спрос приходит в соответствие с предложением, т. е. весь произведённый товар находит своего покупателя, и все желающие купить данный товар имеют возможность сделать это.

Рис. 98 Рис. 99

Не меньше чем равновесная цена представляет интерес и отклонение рыночной цены от равновесной. Из рис. 98 видно, что если рыночная цена больше равновесной цены , то количество товара , отвечающее предложению, больше количества товара , отвечающего спросу, т. е. предложение превышает спрос. Следствием этого будет оседание нереализованной продукции на складах. В свою очередь это будет побуждать производителей уменьшить цену на продукцию, т. е. рыночная цена будет стремиться к равновесной цене . Это явление известно как «давление рынка».

Предположим теперь, что рыночная цена меньше равновесной цены . Из рис. 99 видно, что в этом случае количество товара , соответствующее рыночной цене , меньше количества товара , определяемого спросом по той же рыночной цене . Это в свою очередь означает, что спрос превышает предложение. В такой ситуации производители товара, пользуясь дефицитом, повышают цену, т. е. рыночная цена вновь стремится к равновесной цене . Таким образом, установление равновесной рыночной цены данного товара в условиях конкурентного рынка формируется паутинообразной моделью.

Необходимо подчеркнуть, что рассмотренная экономико-математическая модель сильно упрощает действительность. Во-первых, она содержит предположение о линейности функций спроса и предложения. Во-вторых, спрос и предложение зависят не только от цены, но и от ряда других факторов. Некоторые из этих факторов будут рассмотрены позже с помощью функций нескольких переменных.

13.3. Максимальная прибыль

Одним из важнейших понятий в экономике и бизнесе, позволяющем оценить эффективность деятельности любого предприятия или фирмы, является прибыль. Деятельность может быть разной: производственной, финансовой, торговой, посреднической и т. д. В наиболее общем виде прибыль можно определить как разность между полным доходом (выручкой) предприятия (фирмы) от реализации продукции или услуг и полными издержками (затратами). Если обозначить прибыль через , полный доход – , а полные затраты – , можно записать

. (13.5)

Полный доход, получаемый от продажи количества товара по цене за единицу товара, задаётся простой формулой

. (13.6)

В последней формуле цена сама является функцией от количества товара . Конкретный вид этой функции даётся кривой спроса, так как цена определяется не тем, сколько хочет получить производитель, а тем, сколько готов заплатить потребитель. Возьмём для кривой спроса линейное приближение, т. е.

, (13.7)

где , , так как кривая спроса – убывающая функция. Подставляя из (13.7) в (13.6), получим функцию полного дохода

. (13.8)

Издержками называют выраженные в денежных единицах текущие затраты на производство продукции или её обращение. Последнее включает, например, торговые издержки, издержки транспортировки и др. Кроме полных издержек рассматриваются издержки на единицу продукции. Издержки, не зависящие от объёма выпускаемой продукции, называются постоянными. Они включают арендные платежи, содержание зданий и оборудования, фиксированные оклады руководящему персоналу и т. д. С другой стороны, переменные издержки пропорциональны выпуску продукции и включают стоимость материалов, электроэнергии, зарплату сдельщикам и т. д. Полные издержки, таким образом, можно представить как сумму постоянных и переменных издержек:

, (13.9)

где постоянные издержки; единичные переменные издержки; объём выпускаемой продукции (количество товара). Если рассматривать и как постоянные параметры, то мы имеем линейную относительно функцию полных издержек.

Перейдём теперь к решению задачи определения максимальной прибыли, т. е. нахождения такого объёма производства товара , при котором прибыль будет наибольшей. Для этого достаточно графики функций (13.8) и (13.9) поместить в одной и той же системе координат с учётом экономических требований , (рис. 100):

Рис. 100

Необходимо отметить, что на рис. 100 мы неявно предполагаем, что продан весь произведённый товар. Из этого же рисунка видно, что производство прибыльно, т. е. доход больше издержек, когда количество произведённого товара удовлетворяет условию

. (13.10)

Наличие точки очевидно. Если производится мало товара, производство становится убыточным. Точка же нетривиальна, так как на первый взгляд кажется, что «чем больше, тем лучше». Однако рост производства выше некоторого уровня может вести к «опережающему» росту затрат, после чего производство становится убыточным.

Для нахождения точек , и точки , в которой достигается наибольшая прибыль, выразим прибыль , полный доход и полные издержки через количество товара :

, (13.11)

где обозначено .

Поскольку параметр квадратичной функции , то ветви параболы (13.11) направлены вниз, и функция имеет максимум, который достигается в точке

. (13.12)

Точки и , определяющие границы прибыльности производства, выражаются через параметры кривой спроса и параметры , полных издержек по известной формуле корней квадратного трёхчлена, стоящего в правой части (13.11):

. (13.13)

Чем точнее определяются указанные параметры, тем точнее полученное решение.

13.4. Предельный анализ в экономике

Предельным анализом называется применение дифференциального исчисления в экономике и бизнесе. В экономике широко используются средние величины: средняя стоимость продукции, средняя производительность труда и т. д. В равной степени средние величины важны и при коммерческой деятельности: средний доход, средний объём продаж и т. д.

Но при планировании развития производства, да и любой предпринимательской деятельности, возникает такая задача: требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты, и, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. Оперируя средними величинами, ответа на такой вопрос получить нельзя. Здесь речь идёт о приростах переменных величин. В подобных задачах нужно находить предел отношения приращений рассматриваемых величин или, как говорят, предельный эффект. Следовательно, здесь применимо понятие дифференциального исчисления – производной функции.

Поясним сначала понятие предельного дохода. Полный или суммарный доход определяется в первом приближении функцией (13.8):

,

где , , график которой представлен на рис. 100.

Предельный доход определяется как производная от суммарного дохода по количеству товара (единственная переменная, от которой в нашей простой модели зависит ). Таким образом, по определению предельный доход есть

. (13.14)

Приращение дифференцируемой функции, согласно формуле (3.21), приближённо равно дифференциалу этой функции:

. (13.15)

Отсюда экономический смысл предельного дохода достаточно прост: он приближённо равен изменению суммарного дохода при изменении количества реализованного товара на величину . Прилагательное «предельный» в экономике характеризует не сами величины (как суммарная или средняя величина), а эффект их изменения относительно изменения другого исследуемого фактора на одну его единицу. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчётов и дискретности экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т. д.).

Кроме понятия предельного дохода используется также понятие среднего дохода, который определяется как доход на единицу продукции:

. (13.16)

Это общее выражение показывает, что средний доход совпадает с ценой. Конкретное выражение для среднего дохода можно получить, подставляя вместо функцию спроса. В случае «монопольной» модели, т. е. такой ситуации на рынке, когда одна или несколько фирм полностью контролируют предложение определённого товара или услуги и, соответственно, цены на них, имеем

. (13.17)

Графики зависимости среднего и предельного доходов в условиях монопольного рынка приведены на рис. 101.

Рис. 101 Рис. 102

В противоположность монополии рассмотрим другой крайний случай – совершенного, конкурентного рынка. Эта модель предполагает, что имеется большое число независимых фирм, продающих однородную продукцию, и нет никаких препятствий для «вхождения в рынок». Кроме того, каждая фирма производит (продаёт) лишь небольшую долю от общего объёма продукции и не способна контролировать цены (сговор исключается). При этих условиях возможна устойчивая продажа только по преобладающей рыночной цене. Если обозначить эту постоянную цену, т. е. не зависящую от действий отдельной фирмы, через , то кривая спроса будет иметь уравнение

. (13.18)

Соответственно, суммарный доход

,

предельный доход

, (13.19)

средний доход

. (13.20)

Отсюда следует, что в модели чистого рынка предельный и средний доходы совпадают (рис. 102), а в условиях модели монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода (рис. 101).

Рассмотренный выше подход может быть применён и к другим экономическим понятиям. Например, если известна функциональная зависимость издержек (затрат) от объёма продукции в виде , то можно определить предельные издержки как

. (13.21)

Экономический смысл этой формулы таков: предельные издержки приближённо равны изменению полных издержек при изменении выпуска на одну единицу.

Рассмотрим теперь модель производственной функции, т. е. экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). В общем случае производство продукции, включая коммерческую и финансовую деятельность, зависит от многих факторов. Такая зависимость одной величины от ряда других является функцией нескольких переменных и будет рассматриваться позже. Сейчас же ограничимся случаем, когда количество продукции зависит только от приложенного труда (для фирмы это просто численность персонала). В краткосрочном плане такое допущение приемлемо, и производственная функция может быть записана так

. (13.22)

Для оценки эффективности производства часто используется средняя производительность труда , которую естественно определить в виде отношения

. (13.23)

Руководителей фирмы часто, однако, интересует вопрос, как изменится объём продукции при увеличении (уменьшении) численности персонала . Ответ можно получить, введя понятие предельной производительности труда как производную от продукции по величине приложенного труда

. (13.24)

Экономический смысл этого понятия: предельная производительность труда приближённо равна изменению объёма выпускаемой продукции при изменении численности персонала на одну единицу.

Рассмотрим пример, когда производственная функция имеет вид

.

Будем считать, что эта формула эмпирическая. Вычисляя производную, находим предельную производительность труда

.

Для примера возьмём: ;;;;. Подставляя в полученную формулу значения , легко находим соответствующие величины предельной производительности труда. Результаты вычислений представим в таблице 9.

Таблица 9

	1	9	100	2500	22500
	146	46	11

Из таблицы 9 видно, что предельная производительность труда уменьшается с ростом численности персонала и, начиная с некоторой численности, становится отрицательной. Это означает, что при дальнейшем увеличении персонала производство продукции будет падать! Неожиданный результат, который тем не менее часто наблюдается на практике: если для какого-то дела привлекается слишком много исполнителей, они просто начинают мешать друг другу.

13.5. Эластичность экономических функций

Одна из важнейших задач любого бизнеса – установление связи между изменением цены на реализуемую продукцию и доходом. Наивная уверенность, что доход тем больше, чем выше цена, при рыночной экономике рано или поздно приводит к банкротству. Действительно, суммарный доход выражается формулой , где цена единицы продукции, а её количество. Если фирма повышает цену на единицу продукции, это уменьшает объём продаж (вспомним, что кривая спроса – убывающая функция). Интуитивно ясно, что здесь важны не абсолютные изменения цены и количества продукции, а относительные. Для решения подобных задач используется понятие эластичности функции.

Рассмотрим функцию . Пусть приращение аргумента в точке , а соответствующее приращение функции. Тогда относительное изменение аргумента, относительное изменение функции. Величина, равная отношению относительного изменения функции к относительному изменению аргумента

, (13.25)

называется средней эластичностью функции по аргументу на отрезке .

О п р е д е л е н и е. Эластичностью функции называется предел её средней эластичности при , обозначаемый символом :

. (13.26)

Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%. Например, эластичность спроса (или объёма потребления) относительно цены (или дохода ) это есть коэффициент, определяемый по формуле (13.26) и показывающий приближённо, на сколько процентов изменится спрос (объём потребления) при изменении цены (дохода) на 1%. Следовательно, если эластичность спроса от цены равна (), это означает, что при повышении данной цены на 1% спрос уменьшится на 2%, а при понижении данной цены на 1% спрос увеличится на 2%.

Если эластичность спроса от цены , то спрос считают эластичным, если же неэластичным. Если , то говорят о спросе с единичной эластичностью. Отметим, что эластичности взаимнообратных функций – взаимно обратные величины:

. (13.27)

Установим теперь наиболее важное соотношение между предельным доходом и эластичностью спроса от цены. В начале п. 13.4, когда определялся предельный доход, предполагалось, что кривая спроса – линейная функция. Теперь же мы будем считать кривую спроса произвольной убывающей функцией:

. (13.28)

Тогда предельный доход будет:

.

Учитывая, что в соответствии с формулой (13.27) эластичность спроса от цены обратна эластичности цены от спроса, т. е. , а также, то что (производная убывающей функции в формуле (13.26) отрицательна), получим при произвольной кривой спроса

. (13.29)

Если спрос неэластичен, т. е. , то очевидно, что

,

т. е. предельный доход отрицателен при любой цене. Это в свою очередь означает, что суммарный доход – это убывающая в той области функция, где спрос неэластичен.

Аналогично, если спрос эластичен, т. е. , то

,

и из формулы (13.29) непосредственно видно, что предельный доход положителен независимо от цены. Отсюда можно сделать вывод, что для товаров эластичного спроса суммарный доход – это возрастающая функция.

Таким образом, с возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – уменьшается.

13.6. Зависимость спроса от цен и доходов

В реальных случаях спрос на товар и услуги может зависеть от многих факторов, т. е. спрос – это функция нескольких переменных. Предположим для определённости, что спрос на некоторый товар зависит от цены , доходов потребителей и цены альтернативного товара . В общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных условиях зависит также от уровня цен всех товаров. Практически, однако, наибольший интерес представляет изучение влияния цены какого-то одного товара, который и называется альтернативным. Таким образом, в нашем случае спрос – это функция трёх переменных

. (13.30)

Спрашивается: как меняется спрос при изменении цен и доходов? Количественно ответ на этот вопрос даётся с помощью понятия эластичности. В п. 13.5 было введено понятие эластичности функции одной переменной . Аналогично можно ввести понятие частной эластичности функции нескольких переменных относительно переменной :

. (13.31)

Частная эластичность спроса от цены (собственной) в нашем случае определяется формулой

(13.32)

при неизменных значениях цены альтернативного товара и доходов . Напомним, знак «минус» используется для того, чтобы частная эластичность была положительной.

Аналогично вводится перекрёстный коэффициент эластичности спроса, определяемый по формуле

(13.33)

и показывающий приближённо процентное изменение спроса на данный товар при изменении цены альтернативного товара на 1%. Очевидно, что для взаимозаменяемых товаров , так как увеличение цены одного товара приводит к увеличению спроса на другой. В то же время для взаимодополняющих товаров , ибо в этом случае рост приводит к уменьшению спроса , так как общие затраты на приобретение двух видов товаров увеличиваются.

Взаимозаменяемыми товарами и услугами называются те, которые служат одним и тем же целям, когда покупателю безразлично, какие из товаров и услуг выбрать. Примерами могут служить автобусы и троллейбусы, куры и индейки и т. д. Взаимосвязь почти никогда не бывает абсолютной. Здесь важна связь между ценой на один товар и спросом на другой, взаимозаменяемый: если снизится цена на один товар, спрос на другой уменьшится, и наоборот. Взаимодополняющими товарами называют те, которые в совокупности удовлетворяют одну и ту же потребность. Например, автомобили и покрышки и т. п.

Наконец, частная эластичность спроса от доходов при постоянных ценах как самого товара, так и альтернативного товара, определяется формулой

. (13.34)

Интуитивно ясно, что с ростом доходов предпочтение начинает отдаваться более качественным и дорогим товарам. Поэтому для них спрос увеличивается с ростом доходов и . С другой стороны, потребление низкосортных товаров с ростом доходов не увеличивается, а уменьшается. Для таких товаров , т. е. эластичность спроса от дохода отрицательна.

П р и м е р. Возьмём функцию спроса в виде линейной зависимости

и найдём определённые выше эластичности при значениях

, , .

Р е ш е н и е. Начнём с вычисления величины спроса при указанных значениях:

.

Вычисляем далее частную производную по :

.

Теперь находим частную эластичность спроса от цены:

.

Аналогично, вычисляя

,

находим перекрёстный коэффициент эластичности

.

Он положителен, поэтому товары взаимозаменяемы и увеличение цены одного из них приведёт к увеличению спроса на другой. Наконец, вычисляя

,

находим эластичность спроса от доходов:

.

Знак эластичности показывает, что с ростом доходов спрос на основной и альтернативный товары будет увеличиваться.

13.7. Экономический смысл частных производных

В п. 13.4 уже рассматривалась производственная функция, т. е. уравнение, связывающее ресурсы (факторы производства) и выпуск продукции объёма . В рыночной экономике к ресурсам относятся: земля, капитал (основные фонды), труд и предпринимательская способность, т. е. способность объединить все виды ресурсов в едином процессе производства товаров и услуг.

Ограничимся для простоты двумя ресурсами: капиталом и трудом . Тогда производственная функция может быть записана так:

. (13.35)

Предельным продуктом фактора производства называется добавочный продукт, полученный в результате добавления одной единицы данного фактора (ресурса) при неизменной величине остальных факторов производства, т. е. частная производная производственной функции по соответствующей переменной (ресурсу).

Таким образом, предельный продукт капитала (или предельная фондоотдача) – это

. (13.36)

Если капитал изменяется на величину , а приложенный труд остаётся неизменным, то

. (13.37)

Аналогично определяется предельный продукт труда (или предельная производительность труда):

. (13.38)

Для малых изменений труда при постоянном капитале также имеет место приближённое равенство , в частности, при имеем .

Если капитал и труд изменяются одновременно, приращение выпуска продукции может быть приближённо найдено по формуле

. (13.39)

Линия на плоскости , в каждой точке которой различные сочетания факторов производства и дают одно и то же количество выпускаемой продукции, называется кривой безразличия производства или изоквантой. Другими словами, изокванта состоит из таких пар точек , в которых значения производственной функции одинаковы (линия одинакового объёма продукции). Математически изокванта определяется уравнением

, (13.40)

где некоторая постоянная величина выпуска продукции. Характерные графики изоквант приведены на рис. 103.

Величина углового коэффициента

касательной к изокванте, взятая с обратным

знаком, определяет коэффициент заменяе-

мости ресурсов

.

Рис. 103 Поскольку угол наклона касательной

к изокванте тупой, то угловой коэффициент касательной отрицателен, а коэффициент заменяемости ресурсов при таком определении положителен. Вычисляя его по правилу дифференцирования неявной функции, заданной уравнением (13.40), и используя (13.36) и (13.38), получим:

. (13.41)

Таким образом, коэффициент заменяемости ресурсов равен предельному продукту труда, делённому на предельный продукт капитала.

В качестве примера найдём коэффициент заменяемости для модели производственной функции Кобба – Дугласа, которая применялась при анализе развития экономики США в 20-30-х годах прошлого века. Производственная функция в этой модели имеет простую алгебраическую форму:

, (13.42)

где положительные постоянные и .

Дифференцируя по , легко находим предельный продукт капитала

. (13.43)

Аналогично вычисляем предельный продукт труда

. (13.44)

Подставляя в формулу для коэффициента заменяемости ресурсов полученные выражения, окончательно находим

. (13.45)

Отсюда видно, что коэффициент заменяемости ресурсов не является постоянной величиной, а сам зависит от капитала и приложенного труда, а также от постоянных и . Выясним экономический смысл параметров и .

Найдём эластичность выпуска продукции по труду . Используя определение частной эластичности функции (13.31), получим

. (13.46)

Итак, параметр имеет ясный экономический смысл – это эластичность выпуска продукции по труду.

Аналогичный смысл имеет и параметр это эластичность выпуска продукции по капиталу (фондам).

13.8. Полезность товаров и услуг

Когда говорят о цели производителей и предпринимателей, ясно, что это получение максимальной прибыли.

Сложнее обстоит дело с мотивацией поведения потребителей. Можно, конечно, предположить, что потребители стремятся максимально увеличить свои личные доходы. Однако если бы это было единственной целью, то все стремились бы работать семь дней в неделю по двадцать четыре часа в сутки. В действительности это не так, и люди стараются находить разумный компромисс между работой, отдыхом и досугом.

Потребители делают покупки, выбирая из ряда различных товаров нужные и руководствуясь ценой, качеством и другими факторами. Попробуем описать поведение потребителя. Потреблению благ ставится в соответствие число , называемое полезностью. Чем выше оценка, которую даёт потребитель этим благам, тем больше число . Другими словами, полезность – субъективная числовая оценка данным индивидом полезности набора товаров и услуг (благ).

Предположим, например, что имеется два вида товаров и и потребитель приобретает первый товар в количестве , а второй – в количестве . Тогда полезность представляет собой некоторую функцию от и , которая может быть записана как

. (13.47)

В нашем случае полезность представляет собой функцию двух переменных, для которой могут быть вычислены частные производные

; . (13.48)

Эти частные производные получили название предельных полезностей. Если переменные и меняются незначительно, то результирующее изменение полезности можно приближённо получить по следующей формуле:

. (13.49)

К функциям полезности относятся, например: функция стоимости , где цены благ; неоклассическая функция , где , . Типичной функцией полезности является .

Пусть, например, полезность задана функцией

.

Оценим изменение полезности, когда уменьшается от 100 до 99, а увеличивается от 200 до 201.

Для решения находим частные производные

, .

Подставляя и , находим численные значения

; .

Приращения независимых переменных имеют значения:

, .

Подставляя найденные числовые значения в формулу (13.49), приближённо находим изменение полезности

.

Линия на плоскости , в каждой точке которой различные сочетания благ и дают одно и то же значение полезности , называется кривой безразличия. Математически она определяется уравнением

, (13.50)

где некоторая постоянная величина (рис. 104).

Пусть доход потреби-

теля, который он желает с максимальной

полезностью истратить на приобретение

благ . Тогда касательная к кривой безразличия в точке опти-

Рис. 104 мального количества благ должна

совпадать с прямой (рис. 104).

Используя условие равенства угловых коэффициентов касательной и прямой, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

(13.51)

из которой можно найти оптимальные количества благ и , имеющих максимальную полезность .

П р и м е р. Пусть функция полезности потребителя имеет вид . Цена на благо равна 5, на благо равна 10, доход потребителя равен 200. Найти оптимальный набор благ потребителя.

Р е ш е н и е. Находим частные производные и их частное

, ,

.

По условию задачи , , . Записываем и решаем систему (13.51):

Ответ: .

13.9. Балансовые модели

Математические понятия: векторы, матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений находят многочисленные приложения в экономике. Рассмотрим одно из таких приложений, имеющее важнейшее значение в экономической теории и практике.

Пусть имеется экономическая система, состоящая из отраслей, каждая из которых производит только один вид продукта (товара), а каждый вид продукта производится единственной отраслью. Любой продукт частично используется для производства во всех отраслях, а частично идёт на внешнее потребление.

Пусть затраты i-го продукта на производство j-го продукта , количество продукта, производимого j-й отраслью , количество этого продукта, идущее на внешнее потребление .

Введём три матрицы:

, , . (13.52)

Матрицу называют матрицей прямых затрат. Матрицы – столбцы называют соответственно: вектором выпуска (планом) и вектором конечного спроса (ассортиментным набором). Вектор называют также вектором валового выпуска (продукции), а вектор вектором товарного выпуска (продукции).

Обычно предполагается, что имеет место линейная зависимость затрат от выпуска, т. е. количество i-го продукта, затрачиваемое на производство единиц j-го, а общее количество i-го продукта, затрачиваемое на производство во всех отраслях. Тогда для каждой i-й отрасли получаем уравнение

, , (13.53)

а для всей экономической системы имеем систему уравнений, которая в матричной форме имеет вид

, (13.54)

где единичная матрица n-го порядка.

Модель, описываемая этим уравнением, называется линейной балансовой моделью (модель Леонтьева), или моделью «затраты – выпуск».

Если нулевая матрица, т. е. для всех i, то вся продукция расходуется внутри экономической системы, а модель называется закрытой. В противном случае (если хотя бы для одного i) модель называется открытой.

Для закрытой модели имеем . Если существует вектор , являющийся решением этого уравнения, то закрытая модель называется продуктивной. Такой вектор по определению является собственным вектором матрицы , соответствующим её собственному числу . Таким образом, для продуктивности закрытой модели необходимо, чтобы матрица прямых затрат имела собственное число .

Предположим, что все элементы положительны, . Можно доказать, что если наибольшее собственное число матрицы равно 1, то существует единственный (с точностью до постоянного множителя) собственный вектор валового выпуска со строго положительными компонентами .

Рассмотрим теперь открытую балансовую модель

, (13.55)

продуктивность которой по определению означает, что существуют неотрицательные векторы и , удовлетворяющие уравнению (13.55). Одна из основных задач планирования состоит в определении вектора валового выпуска по заданному вектору конечного спроса .

Если матрица имеет обратную , то существует единственное решение

(13.56)

балансового уравнения (13.55). При произвольной матрице нельзя гарантировать неотрицательности , но если матрица неотрицательна, то, очевидно, в силу неотрицательности будет неотрицательным и . Можно доказать, что если наибольшее по абсолютной величине собственное число матрицы меньше 1, то матрица неотрицательна и, следовательно, для любого вектора конечного спроса существует единственный вектор .

Обозначим :

. (13.57)

Решение балансового уравнения (13.56) в развёрнутом виде будет следующим:

(13.58)

Выясним экономический смысл элементов матрицы . Пусть на внешнее потребление выпускается только одна единица продукта k-й отрасли, т. е. вектор имеет вид:

или , при . (13.59)

Тогда

. (13.60)

По определению равенства векторов имеем:

.

Значит это затраты i-й отрасли на производство единицы товарного продукта k-й отрасли, т. е. продукта, идущего на внешнее потребление. Таким образом, в отличие от матрицы прямых затрат , характеризующей затраты на выпуск валового продукта, матрица характеризует затраты на выпуск товарного продукта. Поэтому матрицу называют матрицей полных затрат. Доказывается, что в продуктивной модели с положительной матрицей полные затраты всегда больше прямых, т. е. для всех .

З а м е ч а н и е. Если сумма элементов каждой строки матрицы не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева межотраслевого баланса продуктивна. Самая трудоёмкая часть задачи планирования баланса – это вычисление обратной матрицы , так как её порядок в реальных задачах может достигать нескольких сотен.

13.10. Цепи Маркова

Представим себе экономическую систему, которая может находиться в любом из различных состояний, образующих полную группу. Обозначим эти состояния . В определённые моменты времени в результате испытания происходят смены состояний. При этом вероятность смены , в какой бы момент она не происходила, одна и та же и равна . Другими словами, есть условная вероятность перехода системы за один шаг из состояния в состояние . В частности, после испытания система может остаться в том же состоянии . Бесконечная последовательность состояний, сменяющих друг друга с определёнными вероятностями перехода , и есть цепь Маркова.

В соответствии со сказанным матрица из чисел вида

(13.61)

называется матрицей переходов (или матрицей перехода).

Для полного описания цепи Маркова недостаточно знания одной лишь матрицы . Необходимо ещё задать «начальные данные», точнее, вероятность каждого из состояний системы для первого испытания, так как первому испытанию не предшествует никакое другое. Эти вероятности будем обозначать и называть начальными вероятностями. Например, есть вероятность того, что при первом испытании наступит состояние . Если экономическая система с одинаковой вероятностью может находиться в любом из состояний, то начальное распределение вероятностей есть вектор-строка .

Цепь Маркова считается заданной, если указаны вероятности переходов и начальные вероятности .

Числа и не могут выбираться произвольно – они должны удовлетворять некоторым обязательным соотношениям, имеющим вид:

, , (13.62)

, (13.63)

. (13.64)

Обязательность условий (13.62) следует из определения вероятности события. Соотношение (13.63) вытекает из того факта, что при первом испытании обязательно наступает одно из состояний системы , причём эти состояния попарно несовместимы. Соотношения (13.64) следуют из того, что, каким бы ни был исход первого испытания, при втором испытании наступает одно из состояний .

Говорят, что мерный вектор-строка есть шаговое распределение вероятностей марковской цепи, если представляет собой вероятность того, что после -го испытания система оказывается в состоянии .

Если даны начальное распределение вероятностей и переходная матрица, то можно найти распределение вероятностей и матрицу переходов для всех последующих испытаний согласно теореме.

Т е о р е м а. Если начальное распределение вероятностей марковской цепи с переходной матрицей , то распределение вероятностей системы после одного испытания есть , а шаговое распределение вероятностей есть , где матрица переходов за шагов.

П р и м е р. Найти распределение вероятностей после 1-го и 2-го испытаний, если трём состояниям экспериментальной системы соответствует матрица переходов

и первоначально система находится в первом состоянии .

Р е ш е н и е. Матрица переходов за два шага будет равна

.

Начальное распределение вероятностей есть вектор-строка . Поэтому и

. Это означает, в частности, что при 2-м испытании система возвращается в первое состояние с вероятностью .