Вопросы к экзамену по математике
1 курс 1 семестр ПРО ДО 2012–13 уч. год
Сост. ст. преп.
«УТВЕРЖДЕНЫ»
на заседании кафедры матанализа
№ протокола _5_____
«__12_»_12._2012 г.
Зав. каф. матанализа__________
1. Множества. Основные операции над множествами.
2. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования матриц.
3. Определители, их основные свойства. Решение систем с помощью определителей.
4. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
5. Обратная матрица и ее вычисление. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
6. Векторы. Основные операции над векторами. Понятие коллинеарности и компланарности.
7. Проекция вектора на ось. Свойства скалярных проекций. Направляющие косинусы вектора.
8. Компланарность векторов. Разложение вектора в пространстве.
9. Скалярное произведение векторов. Основные свойства и приложения.
10. Векторное произведение векторов. Основные свойства и приложения.
11. Смешанное произведение трех векторов. Вычисление и приложения.
12. Полярная система координат на плоскости. Связь с декартовой системой координат. Параметрическое задание линии на плоскости.
13. Различные уравнения прямой в плоскости.
14. Окружность. Эллипс, основные понятия, формулы.
15. Гипербола, основные понятия, формулы.
16. Парабола, основные понятия, формулы.
17. Различные уравнения плоскости.
18. Прямая в пространстве. Пересечение прямой с плоскостью.
19. Поверхности второго порядка.( Уравнение, вид поверхности )
20. Функция. Элементарные свойства функций: монотонность, ограниченность, четность, периодичность.
21. Понятие обратной функции. Особенность расположения графиков прямой и обратной функции. Функции ax и logax, sinx и arcsin x, tg x и arctg x, cos x и arccos x, xn и x1/n.
22. Элементарные преобразования графиков.
23. Последовательность. Основные понятия (ограниченность, монотонность). Предел последовательности. Геометрический смысл существования предела.
24. Бесконечно малые последовательности. Их основные свойства. Бесконечно большие последовательности, связь с бесконечно малыми.
25. Основные теоремы о пределе последовательности (единственность, необходимое условие сходимости, арифметические операции и т. д. )
26. Предел функции в точке. Односторонние пределы, основная теорема.
27. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва.
28. Свойства функций, непрерывных на отрезке
29. Первый замечательный предел, следствия. Эквивалентные БМФ.
30. Второй замечательный предел. Следствия. Эквивалентные БМФ.
31. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.
32. Определение непрерывности функции в точке на языке приращений. Необходимое условие дифференцируемости.
33. Основные теоремы дифференциального исчисления.
34. Таблица производных основных элементарных функций.
35. Частные производные функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Дифференциал функции двух переменных.
36. Понятие о производных высших порядков. Дифференцирование параметрически заданных функций.
37. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям. Дифференциал функции двух переменных.
38. Теоремы о среднем дифференциального исчисления. Их геометрический смысл.
39. Связь между монотонностью и дифференцируемостью функций.
40. Понятие об экстремуме. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
41. Выпуклость кривой. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие перегиба.
42. Асимптоты к кривой. Основные виды асимптот.
43. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на множестве.
44. Схема полного исследования функций (основные формулы и теоремы).
45. Комплексные числа в алгебраической форме, операции над ними.
46. Геометрическое изображение комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
47. Последовательность комплексных чисел. Предел последовательности, основные теоремы. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
48. Действительная и мнимая часть ФКП. Предел и непрерывность ФКП.
49. Дифференцирование ФКП, условия Коши-Римана. Аналитические функции.
Задачи
1. Вычислить скалярное и векторное произведение векторов: 1)
, 
; 2)
, 
.
2. Найти 
, если 
, 
3. Найти угол между векторами
, 
4. С помощью векторного произведения найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
5. Вычислить смешанное произведение 
, 
и 
.
6. При каком значении p векторы 
и 
перпендикулярны?
7. При каком значении m и n векторы коллинеарны: 
, 
?
8. При каком значении p векторы 
, 
и 
компланарны?
9. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1,3,-4) и В(0,1,0).
10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,0,0), В(0,1,0) и С(0,0,-5).
11. Найти координаты точек пересечения прямых: 
, 
.
12. Написать уравнение плоскости, проходящей через т. А(-2; 1;0) перпендикулярно вектору 
.
13. Найти угловой коэффициент прямой 3у-5х=7.
14. Написать уравнение прямой, проходящей через т. А(-2; 3; 1) параллельно вектору .
15. Найти точки пересечения плоскости 
с осями координат.
16. Написать уравнение прямой, перпендикулярной плоскости 
и проходящей через точку (1, 2, -1).
17. Найти угол между плоскостями 
18. Написать уравнение окружности с центром (2, 3) радиуса 2.
19. Найти уравнение директрисы и фокус параболы 
.
20. Найти все параметры эллипса 
.
21. Построить эллипс 
, найти фокусы.
22. Найти все параметры гиперболы 
, сделать чертеж.
23. Построить график функции 
.
24. Решить неравенство: 
.
25. Решить систему 
26. Решить систему методом Гаусса
27. Найти пределы: 1) 
; 2)
; 3)
;4) 
; 5)
; 6)
; 7) 
; 8) 
; 9)
; 10)
; 11)
; 12) 
; 13)
; 14) 
; 15)
.
28. Вычислить 
, если : 1)
; 2)
; 3) 
4)
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8)
29. Вычислить
, если: 1) 
; 2)
; 3)
; 4)
30. Найти первую и вторую производные
.
31. Написать уравнение касательной к графику функции :1) 
в точке х0=-1; 2) 
в точке М(0, 3).
32. Найти наименьшее и наибольшее значение функции 
на отрезке 
.
33. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 
в точке xо=0.
34. Исследовать функцию на возрастание и убывание: 
.
35. Найти область определения функции :1)
; 2)
.
36. Вычислить частные производные 
, если: 1)
; 2)
.
37. Исследовать функцию на возрастание и экстремумы: 
.
38. Выполнить действия:
1) 
2) 
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
;
39. Найти показательную форму комплексного числа 
40. Найти тригонометрическую и показательную форму комплексного числа 
41. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z для которых
1) 
2) 
3) 
42. Изобразить 
на комплексной плоскости. Найти его модуль и аргумент.
43. Найти действительную и мнимую части функции 1)
; 2)
; 3)
; 4)
, 5)
, 6)
Проверить выполнение условий Коши-Римана.
44. Найти решения уравнения 
45. Вычислить 
, если 
46. Вычислить 
, если 
; 
47. Вычислить 
, если 
; 
48. Вычислить .
49. 
Вопросы к зачёту по математике
1 курс 2 семестр ПРО ДО 2012–13 уч. год
Сост. ст. преп.
«УТВЕРЖДЕНЫ»
на заседании кафедры матанализа
№ протокола _5_____
«__12_»_12._2012 г.
Зав. каф. матанализа__________
1. Первообразная. Неопределенный интеграл, основные свойства. Теорема существования.
2. Таблица основных интегралов, ее обоснование. Принцип независимости вида первообразной от переменной интегрирования.
3. Интегрирования по частям в неопределенных интегралах.
4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
5. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций.
6. Интегрирования тригонометрических функций.
7. Интегрирование иррациональных выражений
8. Задача о площади криволинейной трапеции. Задача о пройденном пути. Понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смысл.
9. Понятие определенного интеграла, его основные свойства.
10. Интеграл с переменным верхним пределом, основные свойства.
11. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов. Примеры.
12. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
13. Применение определенных интегралов для вычисления площади и объема.
14. Дифференциал длины дуги, его вычисление. Длина кривой.
15. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (I рода)
16. Несобственные интегралы от неограниченной функции (II рода).
17. Определение двойного интеграла, физический и геометрический смысл, основные свойства.
18. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Замена переменной в двойном интеграле, переход к полярным координатам.
19. Основные приложения двойных интегралов.
20. Тройной интеграл, его вычисление. Переход к сферическим координатам.
21. Приближенное вычисление определенных интегралов: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
22. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье. Теорема Дирихле. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
23. Неполные ряды Фурье (по синусам и косинусам).
24. Криволинейные интегралы по координатам. Определение, вычисление, физический смысл.
25. Формула Грина, ее сущность. Основные теоремы о криволинейных интегралах II рода.
26. Основные приложения криволинейных интегралов II рода (площадь плоской области, работа силы, восстановление функции U(x, y) по полному дифференциалу).
27. Задачи; приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные понятия.
28. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Д. У. с разделенными переменными.
29. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешимые в квадратурах (с разделяющимися переменными, в полных дифференциалах, однородные, линейные).
30. Основные типы Д. У. высших порядков, допускающие понижение порядка.
31. второго порядка. Основные понятия и теоремы. Теорема о структуре решения линейного однородного дифференциального уравнения.
32. Теоремы о структуре решения линейного однородного Д. У. и линейного неоднородного Д. У.
33. Линейные однородные Д. У второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры.
34. Решение линейных неоднородных Д. У. второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
Задачи к зачету
1. Вычислить интегралы:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
; ; ; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; ; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
2. Исследовать сходимость несобственного интеграла:
; 
; 
; 
; 
; 
.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 1)
, 
, 
; 2) 
, 
, 
; 3) 
, 
.
4. Найти первообразную функции 
, график которой проходит через точку А(1, -3).
5. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры D: 
, 
6. Найти длину кривой в полярных координатах: 
7. Вычислить длину кривой:1)
, где 
; 2) 
, 
8. Найти массу кривой: 
, 
, если линейная плотность 
.
9. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ области D: 1) 
, 
; 2)
, 
10. Вычислить:
, где D: 
, 
,
11. Найти: 
, если D: 
.
12. Вычислить интеграл:
, где D: 
, 
.
13. Вычислить: 
, где , 
.
14. Вычислить: 
, где D: , 
.
15. Вычислить: 
, где D: , 
.
16. Вычислить: 
, где D: , 
.
17. Вычислить: 
, где D: 
, 
, .
18. Вычислить двойной интеграл: , где D: , 
19. Вычислить: 
, D: , , .
20. Вычислить 
, , 
.
21. Вычислить 
, где , 
, 
.
22. Вычислить интеграл: 
если, , 
23. С помощью двойного интеграла вычислить массу пластины, занимающей область D: y=0, y=x, x=1, если поверхностная плоскость γ(М)=yx.
24. Вычислить криволинейный интеграл первого рода: 1)
, где , 
; 2) 
, где 
х от 0.
25. Вычислить:
, где 
, 
, 
.
26. Вычислить 
где 
, х изменяется от0 до 2.
27. Вычислить 1)
, А(1, 2), В(0; 0), y=2x2 ; 2)
вдоль
28. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом 1)
; 2)
: 3)
. Если «да», восстановить функцию.
29. Найти работу силы: 
, вдоль кривой 
, где х изменяется от 0 до 2.
30. Найти работу силы 
вдоль кривой , 
.
31. Вычислить работу силы 
вдоль кривой , где х изменяется от0 до.
32. Найти работу силы:
вдоль линии
, t возрастает от 0 до 1.
33. Найти ряд Фурье для f(x)=2x, x
34. Найти разложение функции 
в неполный ряд Фурье по косинусам, 
.
35. Найти неполный ряд Фурье по синусам на (0; 1] функции 
.
36. Найти общее решение ДУ 1) 
2) 
3)
4)
; 5)
6)
;7)
8)
9) 
10) 
11)
12)
13)
14) 
15)
16)
17) 
; 18)
; 19)
; 20)
; 21)
22)
; 23)
; 24)
25)
26) 
; 27)
; 28)
; 28)
29) 
; 30)
; 31) 
; 32)
33)
; 34) 
35)
; 36) 
37)
; 38)
39)
; 40)
; 41)
42)
; 43)
; 44)
; 45)
; 46); 47)
; 48)
; 49)
; 50)
