Математические методы обоснования многокритериальных решений

5 Математические методы обоснования многокритериальных решений

5.1 Постановка задачи

Модель оптимизации, рассмотренная в предыдущих разделах пособия, предполагает, что для любого варианта решения определено конкретное значение единственного критерия оптимальности. Между тем, практически для всех реальных задач оптимизации это является лишь идеализацией, поскольку всегда имеет место неопределенность. Одним из основных ее видов является неопределенность критериев. Она проявляется в том, что эффективность варианта решения не может быть достаточно полно охарактеризована одним числом, а требует задания целого набора чисел. Каждое из них измеряет какой-то один аспект эффективности, и лишь в совокупности они всесторонне оценивают вариант. Так вместо единственного критерия оптимальности f(y) возникает вектор критериев оптимальности

.

Следующим видом является неопределенность исходных данных. Она проявляется в том, что на значение вектора критериев влияют, помимо выбираемого варианта y и в точности известных исходных данных, еще и такие исходные данные, точные значения которых в момент выбора варианта неизвестны. Для этих неопределенных исходных данных может быть указан лишь диапазон значений - некоторое множество Х, которому принадлежит вектор этих данных x. Это множество называется множеством неопределенностей.

С учетом неопределенности критериев и исходных данных эффективность варианта y измеряется вектором критериев

Отметим, что математически любая из этих неопределенностей может быть представлена в виде другой.

Третьим видом неопределенности является неопределенность модели, состоящая в том, что само правило вычисления значений критериев оптимальности является неточным. Ее можно с помощью введения поправочных коэффициентов, значения которых лежат в пределах, определяемых точностью модели, также свести к неопределенности исходных данных.

Таким образом, возникает необходимость расширить классическую схему оптимизации решений, введя в рассмотрение, помимо множества допустимых вариантов решений Y, еще и множество неопределенностей Х, отражающее неопределенность критериев, исходных данных, и моделей. Тогда критерий оптимальности f(x, y) оказывается определенным на произведении этих множеств X*Y , что не позволяет путем простой его оптимизации однозначно выбрать наилучшее решение, так как каждому х из Х, вообще говоря, отвечает свой вариант наилучшего решения, получаемый оптимизацией f(x, y) на Y при данном х.

В этой формальной незамкнутости и состоит принципиальное отличие задач принятия решений от обычных задач оптимизации. В связи с незамкнутостью задачи, она требует непосредственного участия человека (лица, принимающего решение - ЛПР) в принятии решения. ЛПР при этом либо вводит дополнительную информацию, позволяющую избавиться от неопределенности, либо выбирает метод принятия решения в условиях неопределенности.

Основная идея подавляющего большинства методов, используемых в задачах принятия решений, состоит в том, чтобы осуществить переход от локального к целостному учету влияния неопределенности на эффективность различных вариантов решений. Правило, по которому осуществляется переход, назовем способом учета неопределенности. С математической точки зрения, способ учета неопределенности есть правило, сопоставляющее при фиксированном у из Y функции f(x, y), заданной на множестве Х, число F(X, y). Если критерий f(x, y) называть обобщенными потерями, то F(X, y) назовем н - обобщенными потерями, т. е. обобщенными потерями, вычисленными с учетом неопределенности. Н - обобщенные потери могут вычисляться как среднее значение обобщенных потерь на множестве Х или как наибольшее значение на этом множестве, или как-то иначе - все это различные способы учета неопределенности.

Если задан способ учета неопределенности, то задача принятия решения становится замкнутой. Действительно, тогда определены н-обобщенные потери на множестве допустимых решений F(X, y), , т. е. наилучшее решение может быть найдено из обычной задачи оптимизации F(X, y) на Y.

Однако на стадии постановки задачи принятия решения способ учета неопределенностей неизвестен (иначе это была бы простая задача оптимизации). Можно лишь представлять, что имеется некоторое множество допустимых способов учета неопределенности S, из которых ЛПР должен выбрать способ, адекватный решаемой задаче. С принципиальной точки зрения неважно, как описано это множество: перечислением его элементов (например, стандартных способов учета неопределенности), перечнем их свойств или просто интуитивными представлениями ЛПР. Важно, что выбор решения сводится к поиску ЛПР способа учета неопределенности.

Известны методы принятия решений, не использующие понятие способа учета неопределенности (например, попарное неформальное сравнение и отбраковка вариантов решений), однако их применение менее предпочтительно. Способ учета неопределенности позволяет концентрированно выразить в нем " человеческий фактор " принятия решений, возложив остальную работу на компьютер. Другим преимуществом является то, что на всех стадиях выбора решения сохраняется четкая количественная основа.

5.2 Многокритериальная теория полезности MAUT

В основе этого метода лежит понятие лотереи. Пусть Y - множество допустимых решений. Назовем лотереей ситуацию выбора одного из двух решений . Если вероятность выбора решения равна (тогда вероятность выбора соответственно равна ), будем говорить, что определена лотерея. Относительно двух решений введем отношения строгого доминирования, доминирования и эквивалентности. Предполагается, что множество вариантов решений связно, т. е. для любых двух вариантов решений либо доминирует , либо доминирует , и транзитивно, т. е. если доминирует , а доминирует , то доминирует . При некоторых дополнительных условиях доказано, что существует определенная на числовая функция полезности , такая что:

1)

2) ,

где - некоторое число, .

Под полезностью удобно понимать вероятность выбора ЛПР-м решения из множества допустимых вариантов решений .

Пусть, в простейшем случае, решения из задаются некоторой числовой характеристикой , например, стоимостью реализации решения. Будем полагать, что эта характеристика является критерием, т. е. ЛПР заинтересован, для определенности, в выборе решения с наименьшим значением характеристики . При выборе решения ему придется сопоставлять значения этого критерия со значениями других критериев на выбираемых решениях, поэтому хорошо было бы определить, насколько ему «на самом деле» важны те или иные величины , т. е. построить его функцию полезности . В соответствующей теории это предложено сделать, используя метод «мысленных лотерей». Ясно, что наименьшему значению критерия отвечает значение 1, наибольшему – 0. Затем ЛПР предлагается вопрос: при каком значении ему безразлично: примет ли критерий значение или значение критерия будет определено бросанием жребия между его наименьшим и наибольшим значениями. Например, на новогоднем празднике ЛПР может получить подарок стоимости либо кинуть монету и в зависимости от ее падения получить либо подарок в 100 рублей либо в 1 рубль, т. е. сыграть в лотерею . Ясно, что если =98 рублям, ЛПР предпочтет получить подарок заранее оговоренной стоимости, а при =2 рублям – кинуть жребий. А вот при некотором промежуточном значении ЛПР-у будет безразлично – жребий или оговоренная стоимость . Это означает, что полезность значения равна 0,5. Таким образом, уже получены три значения функции полезности:

Еще две точки можно получить, если рассмотреть равновероятные лотереи , и получить у ЛПР значения их определенностного эквивалента. Этим эквивалентам будут отвечать значения функции полезности 0,25 и 0,75. Такой процесс отыскания точек функции полезности можно продолжать необходимое число раз. В результате получим кусочно-линейную интерполяцию функции полезности на отрезке .

Сама по себе построенная таким образом функция полезности ничего нового в процесс выбора решений не вносит, однако ситуация меняется, когда требуется выбрать решение с учетом не одного, а нескольких критериев . В этом случае подход теории полезности позволяет предложить определенный алгоритм выбора MAUT (Multi-Attribute Utility Theory), описанный ниже. Он отличается следующими особенностями:

·  строится функция полезности, имеющая аксиоматическое (чисто математическое) обоснование;

·  некоторые условия, определяющие форму этой функции, подвергаются проверке в диалоге с ЛПР;

Основными этапами решения задачи при подходе MAUT являются:

1. Разработка перечня критериев.

2. Построение функции полезности по каждому из критериев.

3.Проверка некоторых условий, определяющих вид общей функции полезности.

4. Построение зависимости между оценками альтернатив по критериям и общим качеством альтернативы (многокритери­альная функция полезности).

5. Оценка всех имеющихся альтернатив и выбор наи­лучшей.

Точно так же, как и классическая теория полезности, MAUT имеет аксиоматическое обоснование. Это оз­начает, что выдвигаются некоторые условия (аксиомы), кото­рым должна удовлетворять функция полезности ЛПР.

При выполнении указанных аксиом доказывается теорема Кини о том, что функция полезности может быть представлена в виде линейной свертки функций полезности отдельных критериев

,

где

.

Таким образом, для того, чтобы ЛПР мог принять решение, необходимо построить однокритериальные функции полезности, а затем, проверив выполнение условий независимости, найти весовые коэффициенты в свертке. Эти две процедуры совмещаются следующим образом. Рассматриваются все пары критериев . Обозначим знаком «+» наиболее предпочтительное, а знаком « - » - наименее предпочтительное значение критерия. ЛПР-у задается вопрос, какой из вариантов сочетания критериев или он предпочитает при условии, что все другие критерии имеют какие-то конкретные значения. Допустим, предпочтительнее оказался первый вариант. Тогда опросом ЛПР, аналогичным выяснению значений однокритериальной функции полезности, выясняется, при каком значении вариант станет эквивалентен варианту и не изменится ли значение при изменении принятых конкретных значений других критериев. Если ответ положителен, то условия независимости считаются выполненными. В этом случае полагается, что значения функции полезности на вариантах и одинаковы, что дает одно уравнение для коэффициентов . Рассмотрев сочетания одного критерия со всеми остальными, мы получим уравнение относительно весовых коэффициентов. Совместно с уравнением

это дает замкнутую систему линейных уравнений для определения весовых коэффициентов.

Пример (построен совместно с М. Руденко). Рассмотрим этапы применения метода MAUT, используя в качестве примера задачу оптимального выбора игрока для покупки его в футбольный клуб по заданным критериям:

С1 - Награды мирового масштаба,

С2 - Награды внутреннего масштаба ( чемпионат страны и т. п.),

С3 - Техника работы с мячом ( по оценке эксперта ),

С4 – Годовой доход в прежнем кубе.

Например, ПФК “Крылья Советов” (Самара) хочет приобрести одного из футболистов (Зинедин Зидан, Девид Бэкхэм, Габриэль Батистута ). Значения критериев по состоянию на весну 2003 года приведены в таблице 33.

Таблица 33 – Критерии сравнения футболистов

Критерий выбора	З. Зидан	Д. Бэкхэм	Г. Батистута	Весовой коэффициент
С 1	4	0	0	0,1
С 2	3	8	3	0.037
С 3	8,5	8	6,8	0.625
С 4	13,6	10,3	10,1	0.266
Полезность	0,991	0,615	0,884

После построения однокритериальных функций полезности и нахождения весов критериев (последний столбец таблицы 33) многокритериальная функция полезности имеет вид

U = 0.1 U (C1)+ 0.037 U(C2 )+ 0.625U(C3)+ 0.266 U(C4).

Зная оценки альтернатив (вариантов выбора футболиста), можем подставить их в эту формулу, определить полезность каждой альтернативы, сравнить полезности и выбрать альтернативу с наибольшей полезностью. Зидан.

Заметим, что построение функции полезности позволило полностью выявить предпочтения ЛПР, так что при появлении нового кандидата на приобретение достаточно лишь подставить его данные в формулу полезности для того, чтобы узнать комплексную оценку его ценности для команды.

Рассмотрим еще один метод принятия решений на основе выявления предпочтений ЛПР.

5.3 Подход аналитической иерархии АНР

Подход АНР (Analytic Hierarchi Pricess) основан на том, что ЛПР-у предлагается сравнить между собой каждую пару критериев по следующей шкале, приведенной в таблице 34.

Если первый критерий менее значим, чем второй, то его коэффициент учета сравнительной значимости образуется делением единицы на коэффициент учета сравнительной значимости второго критерия по отношению к первому. Таким образом задаются коэффициенты учета сравнительной значимости критериев

На их основе рассчитывается т. н. собственный вектор каждого критерия

и, наконец, его весовой коэффициент в линейной свертке

.

Таблица 34 – Стандартные коэффициенты сравнения групп значимости

Уровень значимости первого критерия по отношению ко второму	Коэффициент учета сравнительной значимости
Равная значимость	1
Умеренное превосходство	3
Существенное или сильное превосходство	5
Значительное (большое) превосходство	7
Очень большое превосходство	9

5.4 Метод ПРИНН

5.4.1 Способ учета неопределенности и функция построения

Метод ПРИНН (ПРИнятие решений в условиях Неустранимой Неопределенности) отличается от рассмотренных выше методов тем, что в минимально необходимой степени требует непосредственного участия ЛПР. Используемая в нем модель принятия решений содержит три множества: допустимых вариантов решений Y, неопределенностей X и допустимых способов учета неопределенности S, и функцию обобщенных потерь f(x, y), выступающую в качестве локального обобщенного критерия оптимальности. Без ограничения общности эту функцию можно считать нормированной:

0 <= f(x,y) <= 1.

Выбор наилучшего решения в данных условиях является прерогативой ЛПР и сводится:

1) к уменьшению неопределенности за счет субъективной информации, если ЛПР считает это целесообразным;

2) к выбору одного из научно обоснованных способов учета неопределенности для окончательного принятия решений в условиях неопределенности;

3) к применению этого способа учета неопределенности и оценки полученного результата.

Для всестороннего учета неопределенности требуется:

1) описать все множество допустимых способов учета неопределенности;

2) выделить в нем наиболее представительный набор способов учета неопределенности, который и будет использован для выбора решений.

Эти задачи и решает метод ПРИНН. Перейдем к его описанию. Для сокращения записей там, где это возможно, будем опускать букву y в выражении f(x, y) , т. е. писать f(x).

Под способом учета неопределенности (СУН) будем понимать правило, однозначно сопоставляющее любому подмножеству с определенной на нем функцией f(x) некоторое число F(XA ). Это правило шире общепринятого понимания, при котором требуется задать одно число, соответствующее значениям f(x) сразу на всем множестве X . Такое соответствие является частным случаем введенного определения при XA = X. Вообще же оно предполагает возможность оценивать влияние множества неопределенностей как в целом, так и по частям. Таким образом, способ учета неопределенности есть одновременно функционал и функция от множества. При фиксированном ХА - это функционал над множеством определенных на Х функций ¦(x), при фиксированной на Х функции ¦(x) – это функция от подмножеств Х.

В соответствии с ранее сказанным, будем называть f(x) обобщенными потерями, F(XA) - Н-обобщенными потерями и считать f(x) нормированной:

0 <= f(x) <= 1 , x из X.

Отметим, что если рассматривать обобщенные потери как относительный (по сравнению с наивысшим) возможный уровень качества решения y в условиях x , то H-обобщенные потери выступают как осредненный уровень качества решения y на всем множестве XA , причем правило осреднения как раз и задается способом учета неопределенности.

Перечислим требования, которым должны удовлетворять допустимые способы учета неопределенности.

М о н о т о н н о с т ь

Если н-обобщенные потери на одном подмножестве больше, чем на другом, то при любом допустимом способе учета неопределенности добавление к ним общего подмножества не меняет характера этого соотношения:

если F(X1) > F(X2), то для любого ,

F(X1 U X3) > F(X2 U X3), при любых

Естественность этого требования становится понятной, если представить себе элементы множества неопределенностей как некоторые материальные элементы, каждый из которых обладает определенным качеством (измеряемым обобщенными потерями). Качество всей партии элементов измеряется н-обобщенными потерями. Пусть имеются две партии элементов и одна из них хуже, чем другая. Ясно, что правило расчета качества партий элементов должно быть таким, чтобы при добавлении к каждой из сравниваемых партий одного и того же набора новых элементов качество худшей партии оставалось худшим.

У с т о й ч и в о с т ь

Если, не нарушая других требований к допустимым способам учета неопределенности, изменить значения H-обобщенных потерь, рассчитываемых по некоторому допустимому способу учета неопределенности, на бесконечно малую величину, то получившийся при этом другой способ учета неопределенности также должен быть допустимым.

Это требование продиктовано необходимостью применения допустимых способов учета неопределенности в численных расчетах, которые всегда выполняются с некоторой погрешностью.

Используя приведенные выше требования, доказывается существование так называемой функции построения Ф (u, u); 0 £ u, u £ 1; 0 £ Ф £ 1, такой, что если Х1, Х2 – любые непересекающиеся подмножества внешнего множества Х, то

F (X1 È X2) = Ф (F (X1), F (X2)), (10)

т. е. н-обобщенные потери для множества Х1 È X2 зависят лишь от н-обобщенных потерь для составляющих его множеств Х1 и X2.

Функция построения симметрична и ассоциативна относительно своих аргументов:

Ф (u, n) = Ф (n, u);

Ф (u, Ф (n, z) = Ф (n, Ф (u, z)).

Отнесем к множеству допустимых способов учета неопределенности S лишь достаточно универсальные и простые способы учета неопределенности. Эти свойства проявятся в том, что описывающие их функции построения должны быть определены при любых значениях аргументов, заключенных между 0 и 1, и иметь непрерывные частные производные 1-го порядка. Для этого потребуем от элементов множества S удовлетворения еще двум условиям: универсальности и гладкости. Условие универсальности состоит в том, что функция построения определена для любых u, n Î [0; 1]. Условие гладкости состоит в том, что функция построения на [0; 1] ´ [0; 1] имеет непрерывные частные производные 1-го порядка.

Таким образом, оказывается, что все множество допустимых способов учета неопределенности изоморфно множеству функций двух переменных - функций построения. Но его можно описать еще более компактно, как это следует из теоремы.

Теорема 1.

" u, u Î [0, 1]; G (Ф (u, u)) = G (u) + G (u) – G (l), (11)

где G (t) – дифференцируемая, строго монотонно возрастающая на отрезке [0,1] функция – так называемая порождающая функция.

Следствие. Множество S способов учета неопределенности, удовлетворяющих перечисленным выше свойствам, описывается множеством порождающих функций, удовлетворяющих условиям G (0) = 0, G (l) = l.

Данное следствие вытекает из того, что по соотношению (2) семейство порождающих функций ík0+k1G (t)ýk0k1 описывает одну и ту же функцию построения. Следовательно, из этого семейства достаточно включить в S лишь функцию, удовлетворяющую указанным условиям. Такая функция существует в каждом указанном семействе, так как система уравнений:

k0 + k1 G (0) = 0;

k0 + k1 G (1) = 1

всегда имеет решение, ввиду строгой монотонности порождающих функций:

= G(1) – G(0) ¹ 0.

Описанное множество S весьма представительно. В частности, ему принадлежит функция построения – так называемая «обобщенная средняя Эйлера» (порождается функцией G = ts); функция Ф = uu, отражающая «надежностный» подход к учету неопределенности (порождается функцией G = ln t). В это подмножество не входят, правда, функции Ф = max (u, u), Ф = min (u, u), задающие экстремальные способы учета неопределенности. Эти функции недифференцируемы при u = u, однако они являются предельными для входящих в подмножество обобщенных средних Эйлера при s ® ± ¥. Разумеется, эти две функции следует включить во множество S, так как они широко применяются при учете неопределенности. Основанием для этого служит и то, что, как можно показать, требование строгой монотонности порождающей функции может быть заменено требованием монотонности.

Теорема 1 является необходимым условием для функции построения. По ее подобию можно сформулировать следующее достаточное условие.

Теорема 2. Для того, чтобы функция Ф = (u, u), была функцией построения, достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему функциональному уравнению:

G (Ф (u, u)) = G (u) + G (u) – G (l),

где G (t)– непрерывная порождающая функция, имеющая обратную, а l – некоторое фиксированное число.

5.4.2 Расчет н-обобщенных потерь

Получим явное выражение для способа учета неопределенности, порождаемого заданной функцией G (t). Будем рассматривать множество неопределенностей X двух видов: состоящее из конечного числа элементов N и являющееся замкнутой ограниченной областью n-мерного Евклидова пространства.

Пусть X состоит из конечного числа элементов: X = {xi}i = 1,…, N.

Рассматривая это множество как результат последовательного объединения его элементов и используя соотношение (7.1), имеем

F(X) = Ф (f (x1), Ф (f (x2, Ф (…, Ф (f (xN-1), f (xN)), …).

Тогда, последовательно используя соотношение (155), получим

G (F(x)) = G (Ф (f (x1), Ф (f (x2), Ф (…, Ф (f (xN-1), f (xN)), …) =

G (f (x1)) + G (Ф (x2), Ф (…, Ф (f (xN-1), f (xN)), …) – G (l) =

=…= G (f (x1)) + G (f (x2)) + … + G (f (xN)) – (N – 1) G (l) = .

Потребуем, чтобы пара (G (t), l), определяющая допустимый способ учета неопределенности, удовлетворяла свойству осреднения. Это накладывает (при f (xi) = C = F (X)) следующее условие:

,

откуда, ввиду строгой монотонности G (t), l = F(X). Тогда окончательно получим

что позволяет искомый функционал записать в виде

.

Пусть X – замкнутая ограниченная область Евклидова пространства меры W. Разобьем ее на N подобластей одинаковой меры Di = D = W/N, i = 1, …, N, выберем в каждой их них произвольную точку xiÎ X. Полученное конечное множество точек XN с известной точностью характеризует все множество X. Значение FN показателя эффективности решения, вычисленного с учетом XN вместо X, удовлетворяет равенству

.

С возрастанием N множество XN все полнее характеризует X, так что ввиду непрерывности G (t)

Итак, можно вычислять н - обобщенные потери по формулам:

для X={xi}i=1,...,N

(12)

для X - области конечно - мерного Евклидова пространства

(13)

где SX - мера области X.

Поясним использование этих соотношений на нескольких примерах, имеющих важное практическое значение.

1. Пусть порождающая функция имеет простейший вид

.

Тогда из (7.3)

а из (7.4)

что соответствует принципу Лапласа учета неопределенности, когда за н-обобщенные потери принимается среднее арифметическое потерь на всех элементах множества неопределенности. Пусть теперь требуется получить комплексную оценку решений, описываемых двумя критериями f1(e), f2(y). Введем линейную свертку этих критериев с неопределенными весовыми коэффициентами x1, x2:

,

удовлетворяющими известным условиям нормировки:

Тем самым мы сформировали оценку эффективности решения y на множестве неопределенностей X, показанном на рисунке 51. Используя (13), получим простую формулу для расчета н-обобщенных потерь

 

Рисунок 51 - Множество неопределенностей при использовании

двух равнозначных критериев

2. Рассмотрим теперь другой случай двухкритериальной оценки эффективности решения y, при котором критерий f1 является более значимым, чем f2. Необходимость использования такой размытой оценки “более значимый”, когда невозможно в точности указать, “насколько более”, как раз и составляет особенность оценки исходных данных в проблеме моделирования развития научных способностей. С рассматриваемых нами позиций, это просто добавляет неопределенность в задачу в виде условия, накладываемого на значения весовых коэффициентов:

Множество неопределенностей X имеет тогда вид, показанный на рисунке 52, а соотношение (13) принимает вид:

Таким образом, показано, что при использовании данного способа учета неопределенности (принципа Лапласа) “более значимый” критерий имеет в линейной свертке весовой коэффициент, в 3 раза больший, чем менее значимый, т. е. является “более важным” ровно в 3 раза.

X2

 

1

X1

1

Рисунок 52 - Множество неопределенностей при использовании

двух неравнозначных критериев

3. Пусть мы рассматриваем качественный критерий, т. е. переменную, принимающую не континуальное множество числовых значений, а конечный набор упорядоченных значений, например: “плохо”, “средне”, “хорошо”, “отлично”. Обозначим через k число уровней значимости этого критерия и пронумеруем их в порядке возрастания значимости номерами s =1,...,k. Осуществим переход к его адекватной количественной оценке, т. е. к некоторому количественному критерию, принимающему числовое значение Fs, когда исходный критерий находится на уровне s. Для этого представим количественный критерий как Н-обобщенные потери при способе учета неопределенности в задаче принятия решений с k вспомогательными вариантами решений и k вспомогательными критериями эффективности. S-й вариант вспомогательного решения ys отвечает s-му уровню исходного критерия. Вспомогательные критерии fi(ys), i=1,...,k представляют собой оценки значимости вспомогательных вариантов решений, причем вспомогательный критерий с большим номером является “более важным”, чем предшествующий. В соответствии с предыдущим примером, это означает, что при вычислении н-обобщенных потерь соответствующий ему весовой коэффициент будет в 3 раза больше, чем соответствующий предыдущему. Если обозначить через x1 весовой коэффициент, отвечающий f1, то из условия нормировки весовых коэффициентов получим

x1+3x1+32x1+...+3kx1=1,

откуда , или

Установим значения вспомогательных критериев на вариантах решения ys следующим естественным образом:

fi(ys)=1 при i<=s,

fi(ys)=0 при i>s.

Тогда н-обобщенные потери равны:

( 14)

Соотношение (14) позволяет обоснованно переходить от качественных k - уровневых критериев к количественным при способе учета неопределенности, соответствующем принципу Лапласа.

5.4.3 Типизация способов учета неопределенности

Выше указано, что множество допустимых способов учета неопределенности описывается всевозможными порождающими функциями G(t). Перейдем к решению второй из поставленных выше задач: заменить это множество, имеющее бесконечное число элементов, конечным набором элементов, достаточно полно представляющим все множество.

Формирование типовых наборов способов учета неопределен­ности состоит в размещении оптимальных e - сетей в множестве допустимых порождающих функций S={G(t), G(0)=0, G(1)=1}. Число элементов такой сети определяет число способов учета неопределенности, используемых ЛПР при выборе решения, а величина e характеризует, насколько полно эти способы отра­жают все многообразие различных аспектов влияния неопреде­ленности на эффективность решения.

Построение e - сетей во множестве S возможно лишь после вве­дения метрики, т. е. понятия «расстояния» D между двумя допу­стимыми способами учета неопределенности, характеризуемыми порождающими функциями G1(t) и G2(t). Эта метрика должна от­ражать инженерное понимание близости между способами учета неопределенности, но в то же время удовлетворять известным ак­сиомам метрики: тождества, симметрии и треугольника. Ясно, что естественной мерой близости между способами учета неопреде­ленности является различие в оценке эффективности решений, вы­численной с их использованием. Учитывая инвариантный харак­тер множества S, правилу определения расстояния в нем также следует придать инвариантный характер. Отсюда следует, что расстояние должно быть определено в рамках некоторой эталон­ной задачи. В качестве такой задачи примем расчет н-обобщенных потерь при функции локальной эффективности f(x)=x и множестве неопределенностей X=[0,1].

Самым естественным мерилом близости способов учета неопре­деленности в этой задаче была бы абсолютная величина разности между значениями н-обобщенных потерь, вычисленными по раз­личным способам учета неопределенности:

Однако в этом случае не выполняется аксиома тождества: расстояние между различными функциями G1(t) и G2(t) может оказаться равным нулю. Действительно, в выражении интегралы определяют площади S1 и S2 криволинейных трапеций, ограниченных графиками функций G1(t) и G2(t), а тогда н-обобщенные потери F1 и F2 могут совпадать. Поэтому от рассмотрения разности между «истинными» н-обобщенными потерями целесооб­разно перейти к рассмотрению разности «субъективных» н-обоб­щенных потерь G1(F1) и G2(F2), т. е. считать

В этом случае расстояние между порождающими функциями G1(t) и G2(t) определяется как площадь фигуры R и отлично от нуля. Однако, если допускается пересечение графиков функций G1(t) и G2(t), правило не удовлетворяет аксиоме тождества. Для получения окончательного правила определения расстояния, удовлетворяющего всем необходимым аксиомам, примем

т. е. определим расстояние как площадь графиками функций G1(t), G2(t). Такое расстояние достаточно естественно: если G1(t)>(<)G2(t) на [0,1], оно совпадает с разностью субъективных н-обобщен­ных потерь. В то же время для любых G1(t), G2(t)ÎS можно записать:

Два первых свойства очевидны. Докажем третье. Для этого запи­шем

откуда

т. е.

При полученных условиях построение e - сети в S сводится к задаче оптимизации стратегии гарантирующей многоцелевой системы áS, S, D(G1, G2)ñ. В этой многоцелевой системе множе­ство порождающих функций является и множеством неопределен­ности, и множеством стратегий. Отыскиваем n-элементную стра­тегию AÌS, обеспечивающую минимум функционалу, который определяет наибольшее расстояние от любых порождающих функ­ций G(t)ÎS до ближайших к ним порождающих функций из стратегии A.

Численное решение было получено для различного числа элементов -сети. Для практических целей существенным является вопрос о рациональном числе элементов типового набора способов учета неопределенности. С одной стороны, казалось бы, чем больше их количество, тем выше степень представления ими всего бесконечного множества, что повышает достоверность оценки. Однако, с другой стороны, при большом числе элементов увеличивается количество переборов в методе ПРИНН и резко нарастает вычислительная погрешность. Кроме того, не следует забывать, что оценка действительно ведется в условиях неопределенности и потому говорить о ее высочайшей “точности” все равно было бы самообманом. Исходя из этого, мы полагаем достаточным ограничиться таким числом элементов типового набора, при увеличении которого на единицу погрешность представления всего множества убывает менее чем на 1%. Этому условию отвечает набор из семи типовых способов учета неопределенности, приведенный в таблицу 35 и на рисунке 53, где различным порождающим функциям для удобства применения присвоены индивидуальные наименования и подобраны достаточно простые аналитические выражения.

5.4.4 Расчет н-обобщенных потерь для типового набора способов учета

неопределенности

Неопределенность критериев. Этот вид неопределенности состоит в том, что эффективность решения оценивается показателями эффективности . Дадим методы расчета н-обобщенных потерь для основного (семиэлементного) набора способов учета неопределенности. Для наихудшего учета неопределенности

для наилучшего

для среднего (), осторожного () и оптимистического () способов учета неопределенности

,

а для релейного (к=0.2) и нивелирующего (к=5)

Таблица 35 - Типовой набор порождающих функций

для всесторонней оценки решений в условиях неопределенности

Номер типового набора способов учета неопределенности	Название	Порождающая функция
1	Наилучший
2	Оптимистический
3	Средний	t
4	Осторожный	t4
5	Наихудший
6	Релейный
7	Нивелирующий

Рисунок 53 - Типовой набор порождающих функций

Полученные результаты позволяют рассчитывать н-обобщенные потери, минуя вычисление многомерных интегралов.

Полученные выше соотношения обладают особенностью: в случае равенства значений некоторых критериев оптимальности их знаменатели обращаются в нуль, что затрудняет их вычислительную реализацию. Можно показать, что если равными между собой оказываются критериев, то отвечающая соответствующим слагаемым часть суммы имеет вид

где считается, что равны между собой первые r критериев, их значение будет равно , а .

В ряде задач критерии оптимальности не являются для ЛПР однопорядковыми: одни из них представляются более важными, чем другие. При этом, конечно, ЛПР не может указать количественно насколько одни критерии важнее других. Дадим способ агрегированного учета этого вида неопределенности критериев.

5.4.5 Алгоритм оценки решений в условиях неопределенности

Процедура оценки решений в методе ПРИНН в соответствии с изложенной выше основной идеей является достаточно простой. Поясним ее с помощью аналогии. Представим себе, что каждый способ учета неопределенности, входящий в типовой набор, является математической моделью некоторого эксперта sj, привлеченного для оценки решений из множества Y. Этот эксперт по-своему (по формулам (12), (13) при соответствующей ему порождающей функции) учитывает неопределенность и в результате строит собственную оценку Fsj (y) для каждого решения y из Y. Типовой набор способов учета неопределенности описывает тогда гармонически подобранную группу экспертов. Ее гармоничность определяется тем, что эта группа с наименьшей возможной при данном количестве экспертов погрешностью отражает все разумные способы учета неопределенности. Каждый эксперт группы обладает еще и тем достоинством, что его отношение к учету неопределенности стабильно и не может быть изменено. Организуем теперь работу этой группы экспертов следующим эффективным образом. После того, как все эксперты дали решениям y из Y собственные оценки Fsj (y), j=1,...,k, где k - число экспертов, предложим им согласовать эти оценки. Для этого каждому эксперту следует, не меняя собственного подхода к неопределенности, построить оценку эффективности решения y в условиях неопределенности критериев, а именно, оценок, данных ему всеми другими экспертами. Иначе говоря, если первоначально исходной базой для построения экспертом своей оценки являлось множество чисел , то на этом этапе такой базой является множество k чисел Fsj (y) , j=1,...,k. Таким образом, каждый эксперт косвенно учитывает мнения других экспертов и их оценки сближаются (можно показать, что это происходит всегда, если оценки “экстремистских экспертов”, описываемых функциями построения

Ф(u, v) = min(u, v),

Ф(u, v) = max(u, v),

учитываются с меньшей значимостью). Повторная оценка ведется до тех пор, пока мнения экспертов не совпадут с заданной точностью. Практика показывает, что при семи экспертах для этого требуется 3-5 повторений.

Предложенный алгоритм хорошо отражает общепринятые методы согласования экспертных оценок.

С математической точки зрения алгоритм представляет собой функционал, сопоставляющий заданной на множестве X функции f(x,y) число F(x) (y выступает здесь в качестве параметра). В случае неопределенности критериев его можно рассматривать как функцию этих критериев. Численные расчеты показывают, что при большинстве значений аргументов данная зависимость может быть заменена линейной, соответствующей принципу Лапласа. Это позволяет при достаточно приближенных оценках пользоваться линейной порождающей функцией и соответствующими расчетными соотношениями.

5.4.6 Практическое применение метода ПРИНН

Как указывалось в разделе 5.1, почти все практически значимые задачи принятия решений связаны с необходимостью учета неопределенных факторов. В содержательном плане они характеризуются тем, какой метод (или методы) учета неопределенности положен в их основу. К ним относятся принцип гарантированного результата (Вальда), наименьшего "сожаления" (Сэвиджа), Гурвица, средневзвешенной оценки (Лапласа), крайнего «оптимизма», SТЕМ, построение дерева решений с оценкой вероятности (Райфа), мультипликативный, «ВЫБОР», «ЗАПРОС», «ЭЛЕКТРА П» и многие другие [18], как и представленный в пособии метод ПРИНН.

Различные методы принятия решений строятся на базе различных гипотез, однако с точки зрения ЛПР в этом отношении все они равноправны, хотя бы потому, что он не в состоянии квалифицированно сравнить эти гипотезы, в равной мере обсуждаемые специалистами. Не важна для него и трудоемкость различных методов, поскольку он будет использовать их компьютерную реализацию. При выборе метода для ЛПР существенно, какие возможности в описании его задачи открывает метод и насколько ЛПР в состоянии выполнить возлагаемые на него методом функции. В таблица 36 представлена сравнительная характеристика некоторых методов принятия многокритериальных решений.

Таблица 36 - Сравнительный анализ методов принятия решений

Название метода	Описание ситуации, в которой принимается решение	Возлагаемые на ЛПР функции
Весовых коэффициентов	Задается набор вариантов решения, эффективность которых оценивается набором количественных критериев	Задать числовые коэффициенты, определяющие сравнительную значимость различных критериев

Продолжение таблицы 36

Название метода	Описание ситуации, в которой принимается решение	Возлагаемые на ЛПР функции
Построение множества Эджворта-Парето	То же	Самостоятельно выбрать решение из исходного набора вариантов, из которого исключены варианты, худшие по всем критериям по сравнению с оставленными для рассмотрения
Процедуры оценки векторов	То же	Участвовать в работе компьютерной программы, многократно отвечая на вопросы: «Какое изменение по каждому иному критерию эквивалентно заданному изменению данного критерия?», «Какое из двух предъявленных решений лучше?»
Процедура STEM	То же	Проанализировать предъявленное ему пробное решение и, если оно не удовлетворяет, указать критерий с наименее удовлетворяющим значением и задать для него значение, которое казалось бы удовлетворительным; так действовать многократно
Многокритериальная теория полезности (MAUT)	То же	Построить для каждого критерия функцию полезности, отражающую ценность для ЛПР каждого значения этого критерия; задать значения весовых коэффициентов, устанавливающие для каждой пары критериев вероятность выбора, при которой соответствующие их значениям стратегии были бы эквивалентны

Окончание таблицы 36

Название метода	Описание ситуации, в которой принимается решение	Возлагаемые на ЛПР функции
Подход аналитической иерархии (AHP)	Задаются наборы вариантов решения и критериев	Экспертным путем сравнить папарно между собой критерии, а также варианты по каждому критерию, пользуясь качественными оценками: равная важность, умеренное превосходство, существенное превосходство, значительное превосходство, очень большое превосходство
Ранжирование многокритериальных альтернатив (ELECTRE)	Задается набор вариантов решения, эффективность которых оценивается набором количественных и качественных критериев	Задать коэффициенты важности критериев в виде целых чисел; последовательно рассматривать наборы вариантов, выделяемые из первоначального набора как «почти лучшие по большинству критериев», и уменьшая это «большинство», пытаться обосновать свой выбор окончательного варианта решения
Метод ПРИНН	Задается набор вариантов решения, эффективность которых оценивается набором количественных и качественных критериев	При необходимости отнести критерии к различным группам важности

Метод ПРИНН, с позиций ЛПР, выгодно отличается от перечисленных в таблице. Он не требует от ЛПР никакой дополнительной работы кроме постановки самой задачи. Это объясняется тем, что в нем запрограммированы в виде специальных математических алгоритмов типовые способы учета неопределенности, с максимальной точностью отражающие любые допустимые методы ее учета. ПРИНН реализован в виде различных компьютерных программ, которые позволяют достаточно обоснованно и с минимальными затратами труда произвести комплексную оценку вариантов решений. Последовательность действий при использовании программ такова:

1.  Составить перечень оцениваемых вариантов решений и ввести их в программу.

2.  Конкретизировать критерии (индикаторы эффективности или степени достижения цели, стоимостные характеристики и др.), составить их перечень и ввести в программу.

3.  Указать для каждого критерия его тип (качественный, количественный) и направление оптимизации (максимально, минимально или несущественно).

4.  Для всех вариантов решений ввести значения всех критериев.

5.  При желании в постановке задачи можно отразить тот факт, что некоторые критерии «более важны», чем другие (задать так называемую политику выбора). Для этого следует критерии, которые менее важны, отнести к группе 1, более важные – к группе 2, еще более важные – к группе 3 и т. д.

6.  Запустить режим расчета.

Программы рассчитывают комплексную эффективность каждого варианта решения, нормированную от 0 до 100%. При этом эффективность, равную нулю, будет иметь вариант, который по всем критериям хуже остальных, а эффективность 100% - вариант, который по всем критериям лучше остальных (если такие варианты имеются в решаемой задаче). Программы позволяют вводить и корректировать данные, производить расчет и сортировку вариантов решений по значениям эффективности, запоминать и считывать результаты, выводить их в текстовый файл.