Министерство образования и науки Красноярского края
КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»
Математика.
Математические предложения.
Математические доказательства
Учебное пособие
Специальность 050146 «Преподавание в начальных классах»
Специальность 050144 «Дошкольное образование»
Специальность 050141 «Физическая культура»
Канск 2012
Автор-составитель: , преподаватель Канского педагогического колледжа.
Рецензент: учитель математики высшей квалификационной категории, руководитель городского методического объединения учителей математики г. Канска
Математика. Математические предложения. Математические доказательства: учебное пособие / автор-сост. , рец. ; КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж». Канск, 2012. – 35 с.
Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но чтобы математические знания были достоверными, правильно отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны истинными. Но как узнать, истинное или ложное значение заключено в том. или ином математическом предложении? На этот и другие вопросы, с ним связанные можно найти ответы при изучении раздела «Математические предложения».
Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. Но тех представлений о доказательстве, которые возникли в процессе конкретных доказательств, конечно недостаточно. Учителю нужны более глубокие знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения, нужны знания о структуре и способах доказательства.
Учебное пособие предназначено для специальностей 050146 «Преподавание в начальных классах», 050144 «Дошкольное образование», 050141 «Физическая культура» по учебной дисциплине ЕН 01. «Математика».
© КГАОУ СПО «Канский педагогический колледж»
Математические предложения
Высказывания Определение: Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно. Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B,C,…..Z. “Истина” и “ложь” называются значениями истинности высказывания. Пишут: А – “л” или А – “и”. Примеры высказываний: - 7× 4+2 = 30 - и; - 7× 4+2 á 30 - л; - в любом прямоугольнике противоположные стороны равны – и; - число 6 является корнем уравнения (12-х) × 4 = 24 – и. - - |
Элементарные и составные высказывания Из двух предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы “и”, ”или”, “если….,то….”, “тогда и только тогда”, и др. C помощью частицы “не” или словосочетания “неверно, что” можно из данного предложения получить новое. Cлова “и”, ”или”, “если….,то….”, “тогда и только тогда, когда”, а также частицу “не” ( “неверно, что”) называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называются элементарными. Примеры составных высказываний: 1. Число 28 четное и делится на 7. Это предложение образовано из двух элементарных: - - с помощью логической связки “и”. 2. 3 £ 7. Это предложение образовано из двух элементарных: - - с помощью логической связки “или”. 3. Если число 28-делится на 2, то оно четное. Это предложение образовано из двух элементарных: - - С помощью слов «если,….то… .» 4. Число 14 не делится на 4. Это предложение образовано из предложения - с помощью частицы “не”. |
Конъюнкция высказываний Определение: Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание АÙВ (читают А и В), которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно высказывание ложно. Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, которая называется таблицей истинности.
В обыденной речи конъюнкция может выражаться не только с помощью союза “и”, но и другими, например, “а”, “но”, “однако”, “не только…, но” . | |||||||||||||||
Используя данное определение, найдем значение истинности высказываний. 1. “Число 28 четное и делится на 7.” Предложение состоит из двух элементарных предложений: - “ “, - “ “. Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит конъюнкция этих высказываний будет “ “. 2. “Число 28 четное и делится на 9.” Предложение состоит из двух элементарных предложений: - “ “, - “ “. Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит конъюнкция этих высказываний будет “ “. 3. “Число 28 простое и делится на 9.” Предложение состоит из двух элементарных предложений: - “ “, - “ “. Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит конъюнкция этих высказываний будет “ “. |
Дизъюнкция высказываний Определение: Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание АÚ В (читается А или В), которое истинно когда истинно хотя бы одно из высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. Таблица истинности для дизъюнкции:
Из определения дизъюнкции следует, что союз ”или” используется как неразделительный, т. е. допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. |
Используя данное определение, найдем значение истинности высказываний. 1. “Число 28 четное или делится на 7.” Предложение состоит из двух элементарных предложений: - “ “, - “ “. Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит дизъюнкция этих высказываний будет “ “. 2. “Число 28 четное или делится на 9.” Предложение состоит из двух элементарных предложений: - “ “, - “ “. Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит дизъюнкция этих высказываний будет “ “. 3. “Число 28 простое или делится на 9.” Предложение состоит из двух элементарных предложений: - “ “, - “ “. Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит дизъюнкция этих высказываний будет “ “. |
Отрицание высказываний Определение: Отрицанием высказывания А называется высказывание Таблица истинности отрицания:
Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложными. Построим отрицание высказываний: А – Число 28 делится на 9 - л.
|
, которое ложно, когда А истинно, и истинно, когда высказывание А ложно.
- 3 не меньше 7 - л.
Логическое следование (импликация) высказываний Определение: Импликацией высказываний А и В называется высказывание, ложное тогда, когда А истинно, а В ложно. (A ÞB, читается «Если А, то В» или «Из А следует В») Таблица истинности импликации:
A ÞB Û |
Используя данное определение, найдем значение истинности высказываний. 1.Если 3 не кратно двум, то 3-нечетное число. Предложение состоит из двух элементарных предложений: - , - . Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит, импликация этих высказываний будет “ “. 2.Если буква «е»-гласная, то буква «е» входит в слово «молоко». Предложение состоит из двух элементарных предложений: - , - . Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит, импликация этих высказываний будет “ “. 3.Если 7<2, то 2+5=8. Предложение состоит из двух элементарных предложений: - , - . Т. к. первое высказывание “ “, второе “ “, значит, импликация этих высказываний будет “ “. |
Составьте высказывание (дизъюнкцию) из данного предложения, пользуясь формулой A ÞB Û 2.Если буква «е»-гласная, то буква «е» входит в слово «молоко». 3.Если 7<2, то 2+5=8. |
Отрицание составных высказываний
|
1. Построить отрицание предложения «число 12 четное и делится на 3». Логическая структура предложения: , значит нужно воспользоваться формулой. А - В –
2. Построить отрицание предложения «прямые АВ и СD параллельны или пересекаются». Логическая структура предложения: , значит нужно воспользоваться формулой. А - В –
3. Построить отрицание предложения « Если 4 является делителем числа, то 12 число составное» Логическая структура предложения: , значит нужно воспользоваться формулой. А - В –
АÙ |
Задание 1. Раскройте логическую структуру высказываний и установите значение их истинности: - Париж - столица Франции. - Ель лиственное и хвойное растение. - Ель лиственное или хвойное растение. - Если береза-кустарник, то береза-растение. Задание 2.Постройте отрицание высказываний из задания 1. |
Высказывательные формы Определение: Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества Х. Высказывательные формы принято обозначать: А(х), В(х)…… . Х – область определения высказывательной формы, множество тех значений переменной, которые можно подставить в выскакзывательную форму. Среди всех возможных значений переменной в первую очередь интересны те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменной называют множеством истинности высказывательной формы. Множество истинности принято обозначать: Т Примеры высказывательных форм: 1. х + 3 = 8, Х =R, Т ={ 5 }; 2. A(x) – число х - двузначное, Х =N, Т |
.Согласно определению ТВысказывания с кванторами Чтобы из высказывательной формы получит высказывание можно: 1.Вместо переменной подставить ее значение. 2. В высказывтельную форму добавить квантор. Квантор – это слово, которое показывает, о скольких ( всех или некоторых) объектах идет речь в предложении. Различают кванторы общности и существования. Кванторы общности – это слова “любой”, “всякий”, “каждый”, “все”. Обозначение квантора общности: "(х). Кванторы существования – это слова “существует”, “некоторые”, “найдется”, “хотя бы один”. Обозначение квантора существования : $(х). Примеры высказывний с кванторами: - Все квадраты являются прямоугольниками – и. - Все прямоугольники являются квадратами – л. - Некоторые нечетные числа делятся на 5 – и. |
Выясним, как устанавливают значение истинности высказываний, содержащих кванторы.
|
Правила построения отрицаний высказываний с кванторами Отрицание высказывания с квантором можно построить двумя способами: 1. Поставить перед высказыванием слова “неверно, что”; 2.Для того, чтобы построить отрицание высказывания с квантором общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора, т. е.
Пример 1: Построим отрицание высказывания “ некоторые однозначные числа делятся на 10”. - “Неверно, что некоторые однозначные числа делятся на 10”. -“Все однозначные числа не делятся на 10.” Пример 2: Построим отрицание высказывания “ каждый четырехугольник является прямоугольником”. -“Неверно, что каждый четырехугольник является прямоугольником”. - Некоторые четырехугольники не является прямоугольниками”. |
= $(х)
;
= "(х)Отрицание высказывательных форм Пусть на множестве Х задана высказывательная форма А(х). Ее отрицание обозначают Предложение Пример: На множестве Х={1,2,3,4,5,6,7,8.} заданы высказывательные формы А(х)- х á 6, и В(х)- х – четное число. Найти ТĀ(х) и Т
|
- х - не четное число; Т
= Х\ 
ТКонъюнкция высказывательных форм Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) Ù В(х). Если Т Пример: На множестве Х={1,2,3,4,5,6,7,8.} заданы высказывательные формы А(х)- х á 6, и В(х)- х – четное число. Найти Т Решение: найдем Т Т Т А(х) Ù В(х) – х число четное и меньше шести. Т |
- множество истинности высказывательной формы В(х), то Т
= ТДизъюнкция высказывательных форм Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) Ú В(х). Если Т Пример: На множестве Х={1,2,3,4,5,6,7,8.} заданы высказывательные формы А(х)- х á 6, и В(х)- х – четное число. Найти Т Решение: найдем Т Т Т А(х) Ú В(х) – х число четное или меньше шести. Т |
= ТЛогическое следование (импликация) высказывательных форм Логическое следование высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) Þ В(х). Если Т Пример: На множестве Х={1,2,3,4,5,6,7,8.} заданы высказывательные формы А(х)- х á 6, и В(х)- х – четное число. Найти ТА(х)ÞВ(х) Решение: найдем ТА(х) , ТĀ(х) и ТВ(х). ТА(х) ={1,2,3,4,5.} ТĀ(х) ={6,7,8.} ТВ(х)= {2,4,6,8.} А(х) Þ В(х) – усли х число четное, то оно меньше шести. ТА(х)ÞВ(х) = {2,4,6,7,8.} |
Отношение следования между предложениями Определение: Высказывтельная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех знасениях х, при которых А(х) истинна. Для обозначения логического следования используется знак: Þ . Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание АÞВ, прочитать которое можно по-разному : - Из А следует В. - Всякое А есть В. - Если А, то В. - В есть следствие А. - А есть достаточное условие для В. - В есть необходимое условие для А. |
Из предложений А(х) - “число х кратно 4” и В(х) - “число х кратно 2” сформулируем логические следования : - А(х) Þ В(х) “если число х кратно 4, то оно кратно 2” и - В(х) ÞА(х) “если число х кратно 2, то оно кратно 4”. Определим, какое из них истинное. Для этого найдем множества истинности А(х) и В(х). Т T T
|
Необходимое и достаточное условие. Если А(х) ÞВ(х), то А(х) есть достаточное условие для В(х), а В(х) есть необходимое условие для А(х). В предложении “если число х кратно 4, то оно кратно 2” , предложение “число х кратно 4” является достаточным условием для предложения “число х кратно 2”., предложение “число х кратно 2” является необходимым условием для предложения “число х кратно 4”. Это предложение можно сформулировать по другому: - для того, чтобы х было кратным 4, необходимо, чтобы оно было кратным 2; - для того, чтобы х было кратным 2 достаточно, чтобы оно было кратным 4. |
Отношение равносильности между предложениями Определение: Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х). Для обозначения отношения равносильности используется знак Û. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком мы получаем высказывание А(х) Û В(х), которое можно прочитать по - разному: - А(х) равносильно В(х); - А(х) тогда и только тогда, когда В(х); - А(х) необходимое и достаточное условие для В(х); - В(х) необходимое и достаточное условие для А(х). Если А(х) Û В(х), то T Например: предложения “число делится на 3” и “сумма цифр числа делится на 3” равносильны. Прочитаем их по разному: |
Структура теоремы. Понятие логического следования позволяет уточнить ряд вопросов, связанных с предложениями, которые в математике называют теоремами. Теорема- это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида АÞВ, где А и В высказывательные формы. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее заключением. Теорема может быть сформулирована: - в категоричной форме ( Вертикальные углы равны); - в импликативной форме ( Если углы вертикальные, то они равны); - со словом “необходимо”(Для того, чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны) - со словом “достаточно” ”(Для того, чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными) |
Виды теорем А Þ В - теорема, В Þ А - предложение, обратное данному,
Задание: Для теоремы “если прямоугольник является квадратом, то его диагонали взаимно перпендикулярны” сформулируйте обратное, противоположное и обратное противоположному предложения. Найдите значение истинности каждого предложения. Решение: А - В –
В Þ А -
|
Математическое доказательство
Умозаключения и их виды В логике вместо термина “рассуждение” чаще используется (как его синоним) слово “умозаключение”. Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно. Умозаключения состоят из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходные данные. Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходных. Пример 1. Ученику предлагают объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: “Число 23 двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3.” Частная посылка: Общая посылка: Заключение(носит частный характер): Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6×3 = 3×6, 5×2 = 2×5, 3×7 = 7×3. А затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и b верно равенство a × b = b × a. Частные посылки: Заключение (носит общий характер): |
Дедуктивные умозаключения Определение: Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А А Дедуктивным является умозаключение, рассмотренное в примере 1. |
, А
,…..А
, заключение – буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так:Схемы дедуктивных умозаключений Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение. Но как строить такие умозаключения? В логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. 1. Правило заключения ( А(х)ÞВ(х), А(а) ) Þ В(а). А(х)ÞВ(х) – общая посылка, А(а) – частная посылка, В(а) – заключение. Пример использования правила заключения. Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Запись числа 135 заканчивается цифрой 5. Значит число 135 делится на 5. 2. Правило отрицания ( А(х)ÞВ(х), А(х)ÞВ(х) – общая посылка,
Пример использования правила отрицания. Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 177 не делится на 5. Значит его запись не оканчивается цифрой 5. 3.Правило силлогизма (А(х)ÞВ(х), В(х) ÞС(х)) А(х) ÞС(х) А(х)ÞВ(х) и В(х) ÞС(х) - посылки А(х) ÞС(х) – заключение. Пример использования правила силлогизма. Если число кратно 12, то оно кратно 6. Если число кратно 6, то оно кратно 3. Значит, если число кратно 12, то оно кратно 3. |
Индуктивные умозаключения Индуктивные умозаключения бывают полными и неполными. Определение: Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основе того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты этого класса. В примере 2 рассмотрено умозаключение, которое является неполной индукцией. Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, т. к. рассуждая по этой схеме можно прийти к ложному выводу. Поэтому к выводам полученным с помощью неполной индукции нужно относиться критически. Пример 3. Рассмотрим выражения: 3 +5 и 3 × 5, 2 +7 и 2 × 7 , 4 +8 и 4 × 8. Видим, что 3 +5 á 3 × 5, 2 +7 á 2 × 7 , 4 +8 á 4 × 8. Можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа, т. е. "(a, bÎN) a + b < a× b. Но это утверждение ложно, в чем можно убедить с помощью контрпримера: 1 + 2 > 1 × 2 . Определение: Полная индукция - это умозаключение, в котором вывод делается на основе рассмотрения всех частных и возможных случаев. Пример 4. Любое однозначное натуральное число является решением неравенства х+2>х. Рассмотрим случаи: При х=0 имеем 0+2 > 0, т. е. истинное числовое неравенство; При х=1 При х=2 При х=3 При х=4 При х=5 При х=6 При х=7 При х=8 При х=9 Т. о. мы доказали, что …….. |
Умозаключение по аналогии Определение: под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых свойствах и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Вывод по аналогии носит характер предположения, поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении. |
Способы математических доказательств Доказать какое-либо утверждение - это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений. По способу ведения (т. е. по форме) различают: прямые и косвенные доказательства. Прямые доказательства строятся на основе дедуктивных умозаключений. К косвенным относятся доказательства методом от противного и доказательство на основе закона контрапозиции. |
Для доказательства теоремы используйте схемы дедуктивных умозаключений. Задание 1. Доказать, что в прямоугольнике диагонали равны. Дано: Доказать: Док-во: |
Сущность метода от противного заключается в следующем: -пусть требуется доказать теорему А Þ В ; - допускаем, что заключение теоремы ( В ) - ложно, следовательно его отрицание -присоединяем предложение -строим цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получим утверждение, противоречащее условию; -делаем вывод о том, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы А Þ В. Задание 2. Доказать методом от противного, что если х Дано: Доказать: Док-во: |
- четное число, то и х - четное число.Задание 3. Доказать методом, основанным на законе контрапозиции. Если дробь Дано: Доказать: Док-во: Задание 4. Доказать, методом полной индукции, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n Дано: Доказать: Док-во: |
несократима, то и дробь 
тоже несократима.Математические понятия
В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы, явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов. Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т. д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова “предмет” говорят “геометрическая фигура”. Вообще, математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык. |
Объем и содержание понятий Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином. Содержание понятия – это множество всех существенных свойств. Рассмотрим понятие “квадрат ”. Объем понятия – это множество различных квадратов. А в его содержание входят такие свойства квадрата, как: - иметь четыре прямых угла, - - - - - - Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличить объем понятия, то уменьшится его содержание и наоборот.
|
Отношения между понятиями Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т. е. множествами. Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита – a, b,c,…..z. Пусть заданы два понятия a и b. Объемы их обозначим соответственно А и В. 1. Если А ÌВ, то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b- родовое по отношению понятия а. Например: а – понятие “ квадрат ”, а b - понятие “прямоугольник ”. А Ì В. Поэтому можно утверждать, что понятие “прямоугольник”- это …………… понятие по отношению к понятию “ квадрат”, а понятие “ квадрат”- это ……………. Понятие по отношению к понятию “прямоугольник”. - Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. - Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так для понятия прямоугольник родовыми понятиями являются понятия “четырехугольник”, “многоугольник”, “параллелограмм”. Среди них можно указать ближайший. Это “параллелограмм”. - Понятие рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие “параллелограмм”является родовым по отношению к понятию “прямоугольник ”, и видовым по отношению к понятию “четырехугольник”. 2.Если А=В, то говорят что понятия а и b тождественны. |
Определение понятий Определением называют предложение, разъясняющее суть нового термина ( или обозначения). Структурно-логическая схема определения
Û + Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые. |
Требования к определению понятий 1.Определение должно быть соразмерным. Это значит, что объемы определяемого понятия и определяющего понятий должны совпадать. Пример несоразмерного определения: квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны. 2.В определении не должно быть порочного круга. Это значит, что понятие нельзя определять через само себя или определять его через другое, которое в свою очередь, определялось через него. Например: “равные треугольники – это треугольники, которые равны”, “касательная к окружности – это прямая, которая касается окружности”. |
Обобщение понятий – система понятий, с увеличением объема понятий. Например: Специализация понятий – система понятий, с сужением объема понятий. Например: |
Оригинал-макет и компьютерная верстка:
, ,
методисты отдела информационных технологий
5
,
E-mail: *****@***ru
