МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Утверждено
на заседании кафедры прикладной математики и вычислительной техники 20.05.2011 г.
Математика (1 семестр)
Методические указания для
дополнительных занятий по математике
Ростов-на-Дону
2011
УДК 51(075.8)
Математика (1 часть): методические указания для дополнительных занятий по математике. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 22 с.
Переход от школьной математики к вузовской не всегда проходит гладко. Более сложные темы и соответствующие более сложные задачи зачастую вызывают у некоторых студентов 1-го курса объективные сложности. Данные методические указания призваны помощь студентам разобраться в тонкостях основных тем, изучаемых в 1-ом семестре. Упор сделан на решения стандартных примеров. Электронная версия методических указаний находится в библиотеке, ауд. 224.
УДК 51(075.8)
Составители:
к. ф.-м. н.
к. ф.-м. н.
к. ф.-м. н.
Редактор
Темплан 2011 г., поз.
Подписано в печать Формат 
. Бумага писчая. Ризограф.
Уч.-изд. л. 1,7. Тираж 100 экз. Заказ
Редакционно-издательский центр
Ростовского государственного строительного университета
Ростов-на-Дону, .
Ó Ростовский государственный
строительный университет, 2011
Раздел 1. Линейная алгебра
Пример 1. Даны матрицы 
и 
. Найти матрицу 
.
Решение.
Пример 2. Найти произведение матриц 
и 
.
Решение. 
.
Пример 3. Вычислить определитель матрицы 
.
Решение. 
Пример 4. Вычислить определитель матрицы 
.
Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:
;
;
.
Вычисляем исходный определитель
В дальнейшем при вычислении определителей мы будем пользоваться более короткой записью:
Пример 5. Дана матрица 
. Найти 
.
Решение.
и тогда, 
.
Пример 6. Решить систему уравнений двумя способами:
.
Решение. Используем метод Крамера:
Тогда
Проверим правильность полученных решений, для чего подставим их в условие:
Теперь решим ту же систему матричным методом. Найдем обратную матрицу к матрице системы 
. Вычислим все алгебраические дополнения:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Определитель матрицы найден выше (фактически это 
) и равен -12.
Следовательно, 
. Тогда
.
Ответ: 
.
Задачи для самостоятельной работы
Найти 
, 
,
1. 
, 
2. 
, 
Вычислить определители:
3. 
4. 
5.
6. 
7. 
8. 
Найти и сделать проверку:
9. 
10. 
11. 
12. 
Решить системы методом Крамера и матричным методом:
13. | 14. | 15. |
16. | 17. | 18. |
Пример 7. Выяснить, являются ли линейно зависимыми векторы 
и 
.
Решение. Определим, пропорциональны ли координаты векторов:
– верно.
Следовательно, векторы 
и 
линейно зависимы.
Пример 8. Определить, являются ли линейно зависимыми вектора
, 
и 
?
Решение. Составим и вычислим определитель из координат векторов:
Т. к. 
, то векторы , и 
- линейно независимы.
Пример 9. Даны векторы 
, 
, 
. Определить образуют ли векторы , и базис в пространстве 
и если да, то разложить вектор 
по этому базису.
Решение. Составим определитель из векторов , и :
Т. к. , то система 
- линейно независима и по теореме 12 образует базис в пространстве . Значит, вектор 
может быть единственным образом представлен в виде:
с пока неизвестными коэффициентами 
Переходя от равенства векторов к равенству их соответствующих координат приходим к системе линейных уравнений:
,
откуда:
.
Решая эту систему, например, методом Крамера (сделайте это самостоятельно), получим: 
, 
. Следовательно,
.
Пример 10. Найти площадь треугольника с вершинами 
, 
, 
.
Решение. Найдем координаты векторов 
и 
(напомним, что для этого нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала):
, 
Рис. 1.
Учитывая, что норма векторного произведения векторов и численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 2), для нахождения площади треугольника достаточно будет площадь параллелограмма разделить на два.
,
Таким образом, 
.
Пример 11. Даны вершины пирамиды: 
, 
, 
и
Найти:
a) длину ребра 
;
b) угол между ребрами 
и 
;
c) площадь грани 
;
d) объем пирамиды.
Решение.
|
, а затем его норму. Это и будет длина ребра .
, 
b) Угол между ребрами и будем находить как угол между векторами и 
(рис. 3), используя формулу:
.
.
Следовательно, 
c) 
, 
,
, 
.
d) Возьмем три вектора, на которых построена пирамида, например, 
, 
и 
, и найдем их смешанное произведение:
Значит, 
Задачи для самостоятельной работы
Проверить линейную зависимость (независимость) векторов
1. 
, 
2. 
, 
3. 
, 
4. 
, 
5. 
, 
, 
6. 
, 
, 
Доказать, что векторы 
образуют базис в 
и разложить по этому базису вектор
7. 
,
, 
8. 
,
, 
Доказать, что векторы образуют базис в 
и разложить по этому базису вектор 
9. 
, 
, 
, 
10. 
, 
, 
, 
Найти внутренние углы и длины всех сторон 
11. 
, 
, 
12. 
, 
, 
Определить при каком 
векторы и ортогональны
13. 
, 
14. 
, 
15. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и 
.
16. Дан : 
, 
, 
. Найти площадь и длину высоты, опущенной из вершины 
.
17. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
, 
.
18. Найти объем пирамиды с вершинами в точках 
, 
, 
, 
и длину высоты, опущенной из точки 
.
Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.
Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки 
и.
Решение. Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку 
, воспользовавшись формулой (2.2):
Остается найти угловой коэффициент прямой , применяя формулу (2.3):
Таким образом, уравнение прямой 
выглядит так:
.
Пример 2. Даны вершины треугольника 
. Найти
a) уравнение стороны ;
b) уравнение высоты 
;
c) уравнение медианы 
;
d) точку пересечения высоты и медианы .
Решение. a) Уравнение пучка прямых, проходящих через точку :
.
Находим угловой коэффициент прямой по двум заданным точкам
,
.
b) Используем уравнение пучка того же, что и в пункте a):
.
Для нахождения углового коэффициента высоты воспользуемся условием перпендикулярности прямых (рис. 8):
значит, 
, и тогда
c) Для нахождения медианы используем уравнение пучка прямых, проходящих через точку 
:
Найдем точку 
. Т. к. - середина отрезка 
, то 
, т. е. 
.
Тогда
,
.
d) Для того, чтобы найти точку пересечения прямых и (назовем эту точку 
), следует решить систему:
.
Таким образом, 
.
Пример 3. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки 
и 
.
Решение. В качестве направляющего возьмем вектор 
(рис.10),
Рис. 4.
а в качестве фиксированной точки – точку и запишем искомые параметрические уравнения
Канонические уравнения данной прямой будут иметь вид:
.
Пример 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки 
и 
.
Решение. Из точки выпустим два вектора 
и 
. Тогда в качестве нормали искомой плоскости можно взять векторное произведение векторов 
и 
(рис. 12),
Рис. 5
т. к. 
перпендикулярен вектору , вектору , а значит и плоскости, в которой они лежат.
, 
.
Запишем уравнение искомой плоскости по вектору нормали 
и, например, точке :
.
Окончательно, после упрощений, имеем:
.
Полученный результат следует повторить, подставляя в уравнение координаты точек 
и :
верно
верно
верно.
Пример 5. Найти точку пересечения прямой 
с плоскостью 
.
Решение. Решаем систему уравнений
Подставляя параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим
откуда 
. Это значение параметра, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости. Чтобы найти координаты этой точки пересечения, следует поставить в параметрические уравнения прямой:
Задачи для самостоятельной работы
1) Определить точки пересечения прямой 
с координатными осями.
2) Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
a) , ;
b) , .
3) Даны вершины треугольника: 
. Найти уравнения всех сторон.
4) Написать уравнения прямых, проходящих через точку 
:
a) параллельно прямой 
;
b) перпендикулярно прямой 
;
c) параллельно оси ординат;
d) перпендикулярно оси 
.
5) Найти точки пересечения и углы межу прямыми:
a) и
b) и 
.
6) Через точку пересечения прямых 
и 
провести прямую, параллельную прямой 
.
7) Через точку пересечения прямых 
и 
провести прямую, перпендикулярную к оси
8) Даны вершины треугольника: 
. Найти уравнение средней линии, параллельной стороне 
.
9) Даны вершины треугольника: 
. Найти уравнение медианы 
и высоты 
.
10)Даны вершины треугольника: 
. Найти точку пересечения медиан.
11) Даны вершины треугольника: 
. Найти точку пересечения высот.
12) Найти точку , симметричную точке 
, относительно прямой
13) Найти расстояние между параллельными прямыми 
и
14) Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки:
a) , 
; b) ,
15) Составить уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой:
.
16) Выяснить взаимное расположение прямых
и 
.
17) Найти уравнение плоскости по трем известным точкам:
a) , b) .
18) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
и прямую 
.
19) Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
и 
.
Раздел3. ПРОИЗВОДНАЯ функции
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
Если 
и 
- дифференцируемые функции, то
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. Если 
- дифференцируемая функция в точке 
, а 
- дифференцируемая в точке 
, то производная сложной функции 
равна производной внешней функции по своему аргументу, умноженной на производную внутренней функции по своему:
.
Примеры нахождения производных.
Пример 1. 
. Найти 
.
Решение. Используя законы дифференцирования I и II, а также формулы 3), 5), 2), 1), имеем:
.n
Пример 2. 
. Найти .
Решение. Вначале перепишем данную функцию в более удобном виде, заменив все корни на степени.
.
Теперь находим производную, используя законы I, II и формулу 2):
.n
Пример 3. 
. Найти .
Решение. Используем закон III и формулы 2) и 5):
.n
Пример 4. 
. Найти .
Решение. Воспользуемся законом IV, т. е. формулой для производной частного:
.n
Теперь обратим внимание на закон V, дающий возможность дифференцировать сложные функции.
Пример 5. 
. Найти .
Решение. Перед нами сложная функция, у которой внешней является пятая степень, а внутренней – тангенс. Производная внешней функции равна 
, а производная внутренней 
. Поэтому, получаем:
.n
Пример 6. 
. Найти .
Решение. Производная внешней функции по своему аргументу равна 
, а производная внутренней функции, т. е. производная выражения, стоящего в скобках, равна 
; поэтому
.n
Пример 7. 
. Найти .
Решение. Здесь сложная функция состоит уже из трех звеньев: внешняя – девятая степень, ее аргументом является – арктангенс, а аргументом арктангенса – выражение 
. Поэтому, дифференцируя в цепочку, получаем:
.n
Пример 8. 
. Найти .
Решение. Данная функция представляет собой частное. Поэтому в основу дифференцирования закладываем закон IV, но в ходе дифференцирования учитываем, что первое слагаемое числителя, а также оба слагаемых знаменателя – функции сложные:
.n
Приведем еще два примера без объяснений.
Пример 9. 
. Найти .
Решение.
.n
Пример 10. 
. Найти .
Решение.
.n
Примеры для самостоятельной работы
Найти производные следующих функций
1) | 2) |
3) | 4) |
5) | 6) |
7) | 8) |
9) | 10) |
11) | 12) |
13) | 14) |
15) | 16) |
17) | 18) |
19) | 20) |
21) | 22) |
23) | 24) |
25) | 26) |
27) | 28) |
29) | 30) |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;Раздел 4. Нахождение пределов.
Пример 1. Вычислить 
.
Решение. Применяя правило Лопиталя, получаем:
.n
Пример 2. Вычислить 
.
Решение. Здесь мы снова встречаем неопределенность вида (
), что и позволяет использовать правило Лопиталя:
.n
Пример3. Вычислить 
.
Решение. Числитель и знаменатель дроби является б. б. функциями, т. е. перед нами – неопределенность вида (
). Применив правило Лопиталя, получим:
.
Результат говорит о том, что функция 
хоть и стремится к +∞, но значительно медленнее, чем функция 
. Убедитесь самостоятельно в том, что 
значительно медленнее, чем функция 
.n
Пример 4. Вычислить предел 
Решение. Поскольку числитель и знаменатель являются б. б.ф. при х → + ∞ , то применив правило Лопиталя два раза подряд, имеем:
.n
Пример 5. Вычислить 
.
Решение.
.n
Пример 6. Вычислить 
.
Решение. Здесь правило Лопиталя использовать нерационально. В самом деле, каждое применение этого правила снижало бы степень числителя на 1 и степень знаменателя лишь на 1. В то же время, заменяя числитель и знаменатель эквивалентными б. б. функциями, сразу получаем:
.n
Во многих случаях полезно сочетать использование правила Лопиталя с заменой эквивалентных.
Пример 7. Вычислить 
.
Решение. Сначала б. м. множители знаменателя заменим эквивалентными и уже затем применим правило Лопиталя:
.n
Пример 8. Вычислить 
.
Решение. Здесь перед нами неопределенность вида 
. После приведения выражения в скобках к общему знаменателю получим под знаком предела отношение двух б. м.ф., что дает возможность и замены эквивалентных множителей и применения правила Лопиталя:
.n
В случае неопределенностей вида 
, 
или 
следует предварительно прологарифмировать заданную функцию, а затем найти предел ее логарифма.
Пример 9. Найти 
.
Решение. Прологарифмируем обе части равенства и, с учетом того, что логарифм является непрерывной функцией, переставим знаки логарифма и предела:
.
Мы получили неопределенность вида (
). Значит, теперь можно применить правило Лопиталя:
.
Перед нами вновь неопределенность вида (
). Применим правило Лопиталя еще дважды:
.
Итак, 
. Отсюда, 
.n
Пример 10. Найти 
.
Решение.
.
Итак, 
.n
Примеры для самостоятельной работы
Найти пределы
1). | 2). |
3). | 4). |
5). | 6). |
7). | 8). |
9). | 10). |
11). | 12). |
13). | 14). |
15). | 16). |
17). | 18). |
19). | 20). |
21). | 22). |
23). | 24). |
25). | 26). |
27). | 28). |
29). | 30). |
31). | 32). |
.