XIII Республиканская олимпиада
имени
МАТЕМАТИКА
9 класс
Заочный тур
Решение задач
1. На основании АС треугольника ABC взята точка D.
Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD, точками касания не могут делить отрезок BD на три равные части.
Решение Пусть Е, F, К, L, М, N — точки касания (рис. 5).
Предположим, что DE = EF = FB = х. Тогда АК =
= AL = a, BL = BE = 2х, ВМ = BF = х, CM = CN = c,
DK = DE = х, DN = DF = 2x => AB + BC = a + Зх + с =
= AC, что противоречит неравенству треугольника.
Замечание. Так же доказывается невозможность равенства BF = DE. Вообще, если для вписанной в треугольник ABD окружности Е — точка касания и BF = DE, то F — точка, в которой вневписанная окружность AABD касается BD.
  
|
Рис. 5 А К D N С
2. На смотре войска Острова Лжецов и Рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге — лжецы». (Воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге — лжец».) Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 2005 воинов?
Решение
Заметим, что два воина, стоящие рядом, не могли оказаться рыцарями. Действительно, если бы они оба были рыцарями, то они оба сказали неправду. Выберем воина, стоящего слева, и разобьем ряд из оставшихся 2004 воинов на 1002 группы по два рядом стоящих воина. В каждой такой группе не более одного рыцаря. То есть среди рассматриваемых 2004 воинов не более 1002 рыцарей. То есть всего в шеренге не более 1002 + 1 = 1003 рыцарей.
Рассмотрим шеренгу: РЛРЛР...РЛРЛР. В такой шеренге стоит ровно 1003 рыцаря.
3. Имеется система уравнений 
Какие бы числа мы не поставили вместо звездочек, x=0,y=0, z=0 – решение этой системы. Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа. Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела еще и решение x=1, y=-1, z=0. ()
Решение. Начинающий первым ходом записывает произвольный коэффициент при z в первом уравнении. Затем на ход второго он отвечает следующим образом. Если второй записывает какой-то коэффициент при x или при y, то первый записывает в том же самом уравнении при y или при x такой же коэффициент. Если же второй записывает какой-то коэффициент при z, то первый записывает произвольный коэффициент при z в оставшемся уравнении.
Полученная система имеет решение (1, - 1, 0). Стратегия не является единственной.
4. Пусть 
– сумма цифр натурального числа 
. Решите уравнение:
. ()
Решение.
1 способ. Так как сумма цифр трехзначного числа не превосходит 27, то ³ 2009 – 27, то есть, трехзначным (тем более, двузначным или однозначным) число быть не может. Следовательно, – четырехзначное число, первая цифра которого 1 или 2 , то есть, 1 £ £. 28, значит, 1981 £ £. 2000. Дальнейший поиск решения осуществляется перебором, который различным образом может быть оптимизирован. Ответ. =1990.
2 способ. Как и в первом способе, – четырехзначное число, первая цифра которого 1 или 2. Следовательно, сумма цифр этого числа не превосходит 29. Значит, искомое число 
, т. е. 
. Представим в виде 
(если первая цифра 1). Тогда уравнение примет вид; 
. Отсюда, т. к. , то 
или 
Пусть , тогда 
- не целое. Если 
, то 
, т. е. =1990. Представим в виде 
(если первая цифра 2), т. к. 
. Тогда уравнение примет вид: 
Т. е. 
- не целое. Итак, =1990.
5. В треугольнике ABC биссектриса из вершины A и высота из вершины B пересекаются в точке O. Из точки O на сторону AB опустили перпендикуляр. Оказалось, что основание этого перпендикуляра – середина отрезка AB. Найдите величину угла А. ()
Ответ: 600. Решение:
Пусть M – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на AB. H – основание высоты треугольника ABC, проведенной из вершины B. ΔAMO=ΔBMO по двум сторонам и углу между ними.
ΔAMO=ΔAHO по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, ΔAHO= ΔBMO. Значит, углы HAO, МАО и MBO равны между собой. Из прямоугольного треугольника ABH, в сумме эти углы дают 900.Значит, каждый из них равен 300. Величина угла A 600.
6. Пусть 
и - положительные числа, причем 
и 
. Найти 
. ()
Решение.
1 способ. Т. к. , то 
, 
. Тогда 
.
Т. к. и - положительные числа и , то 
. Поэтому 
.
2 способ. Из , разделив на 
, получим 
. Отсюда, 
. Учитывая, что , получаем, что 
. Тогда 
. Сокращая на 2 и домножая и числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, получаем .
7. Каждый учебный день к школе из дома за Вовочкой приезжает "Мерседес". Ровно в одно и то же время Вовочка садится в машину и едет домой. Однажды занятия в школе закончились на час раньше, и Вовочка решил отправиться домой пешком. По дороге он встретил едущий навстречу "Мерседес", сел в него и вернулся домой на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз "Мерседес" движется быстрее Вовочки?
Решение. Обозначим школу буквой Ш, дом - Д, место встречи - В. Известно, что "Мерседес", выехав из Д в обычное время, вернулся на 10 минут раньше. Где он сэкономил эти 10 минут? Он не проехал (туда и обратно) расстояние ВШ. Значит, это расстояние он проехал бы туда и обратно за 10 минут, а в одну сторону - за 5 минут.
В точке В "Мерседес" встретился с Вовочкой. Если бы этого не произошло, то через 5 минут "Мерседес" подъехал бы к школе - точно к концу занятий. Значит, в точке В "Мерседес" был за 5 минут до обычного конца занятий. Вовочка оказался там одновременно с "Мерседесом". Если он вышел из школы за час до обычного конца занятий, а пришел в точку В за 5 минут до конца, то на путь ВШ он затратил 60-5=55 минут.
Итак, Вовочка тратит на расстояние ВШ 55 минут, а "Мерседес" - 5 минут. Значит, "Мерседес" движется в 55:5=11 раз быстрее Вовочки.
