Интернет-портал
www. *****
Всероссийская интернет-олимпиада
e-mail: *****@***ru
ЗАДАНИЯ
Всероссийской интернет-олимпиады по математике для 10-х классов.
1. В числе 99…9n00…01 количество идущих подряд девяток и количество идущих подряд нулей равно 10. При какой цифре n это число – точный квадрат?
2. Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, первый член прогрессии равен 2008. Среди всех сумм Sn наибольшей является S96. Найдите разность прогрессии.
3. Найдите наибольшую возможную площадь четырёхугольника, у которого произведение длин двух любых соседних сторон равно 1.
4. Для скольких пар целых чисел (x, y) верно равенство 2x2 + y2 = 2xy + 4x?
5. При каком значении параметра a является наименьшей сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 – a)x – a – 3 = 0?
6. При каком наибольшем значении параметра a уравнение |x2 – 5x + 4| = ax имеет ровно три корня.
7. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством |x – 5| + |y + 9| ≤ 4.
8. В сосуде имеется три крана. Через первый и второй краны вода вливается, а через третий выливается. Один первый кран может наполнить сосуд за 10 часов, а второй – за 15 часов. При совместном действии всех трёх кранов из полного сосуда выливается вся вода за 30 часов. Сосуд был полон, когда открыли первый и третий краны. Через 1 час после их открытия первый кран был закрыт, а второй открыт. Ещё через 1 час третий кран был закрыт, а первый открыт. Определите, через сколько минут после закрытия третьего крана два первых наполнят сосуд.
9. Сколько существует пятизначных чисел, оканчивающихся цифрой 6, которые делятся без остатка на 3.
10. В равнобедренном остроугольном треугольнике основание равно 24. Расстояние от вершины, противолежащей основанию, до пересечения высот треугольника равно 7. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
