Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Гиперболические группы по Громову»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Misha Verbitsky, PhD, *****@***ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 201_ г.
Председатель
Утверждена УС факультета математики «29» января 2013 г.
Ученый секретарь ________________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
· ГОС ВПО;
· Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
· Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2 The goals of mastering the subject
The goals of mastering the subject «Gromov hyperbolic groups» are: mastering the curvature aspects of metric geometry, understanding hyperbolicity and geometry of Gromov hyperbolic spaces.
3 Competencies of a student which are formed by mastering the subject
As a result of mastering the subject the student should:
· Learn the basic notions of Gromov hyperbolic geometry: CAT inequalities, the notions of a path metric and geodesics in locally compact metric spaces, Gromov hyperbolic spaces, quasiisometries and Lipschitz maps.
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
5 Thematic plan of the subject
1 kyрс магистратуры
№ | Title of the section | Total hours | Class hours | Self-guided study | ||
Lectures | Seminars | Practical classes | ||||
1 | Path metric spaces and compactness | 20 | 8 | 12 | ||
2 | CAT inequalities, Cartan-Hadamard theorem | 23 | 10 | 13 | ||
3 | Gromov hyperbolic spaces | 29 | 14 | 15 | ||
72 | 32 | 40 |
2 курс магистратуры
№ | Title of the section | Total hours | Class hours | Self-guided study | ||
Lectures | Seminars | Practical classes | ||||
1 | Path metric spaces and compactness | 40 | 8 | 32 | ||
2 | CAT inequalities, Cartan-Hadamard theorem | 41 | 10 | 31 | ||
3 | Gromov hyperbolic spaces | 45 | 14 | 31 | ||
126 | 32 | 94 |
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 год | Параметры ** | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |||
Текущий (неделя) | Контрольная работа | * | 8 | 8 | 8 | The students receive a set of problems to take home, after they solve half of the problems, they explain their solutions. Grades are based on the number of problems solved and the student's ability to substantiate the claims. |
Итоговый | Зачет | v |
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
A student should demonstrate an ability to understand the problem and to solve it correctly
7 Content of the subject
Гиперболические группы по Громову
Еще в 1950-е удалось выразить важное геометрическое свойства риманова многообразия - знак его кривизны - в виде неравенств для метрики на многообразии, которые имеют смысл в любом метрическом пространстве. Впоследствии эти неравенства были названы CAT-неравенствами, в честь Картана, Александрова и его ученика Топоногова. В работах Александрова и его школы (Громов, Бураго, Перельман и др.) этот подход получил множество применений в разных областях геометрии.
Граф Кэли группы с заданным набором образующих, есть граф, вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра - элементам, которые отличаются на домножение на образующую. Громов предложил изучать дискретные группы, исходя из геометрических свойств их графа. Оказалось, что "отрицательной кривизне" (в смысле CAT-теории) графа Кэли отвечает весьма широкий класс групп; ныне эти группы называются "гиперболическими по Громову".
В число гиперболических групп входят решетки в группах Ли ранга 1, фундаментальные группы пространств отрицательной кривизны, свободные группы и много других. Также гиперболическими являются случайные группы, для разумного определения "случайной группы". Громов доказал, что группа, заданная случайным набором k образующих и m соотношений длины l_1, ..., l_m, является гиперболической с вероятностью, которая стремится к 1, когда l_1, ..., l_m стремятся к бесконечности.
Гиперболические группы лишены многих патологий, которые затрудняют работу с более общими группами. Например, в гиперболических группах алгоритмически разрешима проблема различения слов, которая (как доказал ) неразрешима в более общих группах.
С каждой гиперболической группой канонически связано конечномерное, компактное топологическое пространство, которое называется ее границей. Если эта группа была фундаментальной группой компактного многообразия постоянной отрицательной кривизны, универсальное накрытие которого можно реализовать как внутренность многообразия с краем dM, то граница группы гомеоморфна dM. Многие свойства гиперболических групп восстанавливаются из топологических свойств ее границы; так, dG гомеоморфно канторовскому множеству тогда и только тогда, когда G содержит свободную подгруппу конечного индекса.
Я изложу основы метрической геометрии по Александрову и Громову, определю гиперболические группы, и расскажу про применение методов Громова в теории групп.
Полезная литература
М. Громов, "Гиперболические группы",
Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
П. де ля Арп, Э. Гис, "Гиперболические группы
по Михаилу Громову", 1992, Москва, Мир.
M. Gromov, http://www. ihes. fr/~gromov/PDF/4%5B92%5D
"Asymptotic invariants of infinite groups." Geometric group theory. Volume 2
Proc. Symp. Sussex Univ., Brighton, July 14-19, 1991 Lond. Math. Soc.
Lecture Notes 182 Niblo and Roller ed., Cambridge Univ. Press,
Cambridge (1993), 1-295.
, , Курс метрической геометрии,
Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр
Ilya Kapovich and Nadia Benakli,
"Boundaries of hyperbolic groups",
Combinatorial and Geometric Group Theory (R. Gilman, et al,
editors), Contemporary Mathematics, vol. 296, 2002,
pp. 39-94, http://www. math. uiuc. edu/~kapovich/PAPERS/bry1.pdf
Сайты
http://berstein. /2011/07/03/boundaries-of-hyperbolic-groups/
Berstein seminar on geometric group theory
http://www. ihes. fr/~gromov/topics/topic6.html
Infinite groups: curvature, combinatorics,
probability, asymptotic geometry
http://www. yann-ollivier. org/rech/index
Yann Ollivier, Random groups and geometric group theory
For the full timetable of the course, please see the course's homepage
http://ium. *****/f12/verbitskii-f12.html
with the slides of all lectures
8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1 Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы для контрольной работы
1. Докажите, что каждое метрическое пространство
допускает изометрическое вложение в нормированное
векторное пространство.
2. Пусть $X$ -- пространство с внутренней метрикой,
гомеоморфное отрезку. Докажите, что оно изометрично
отрезку.
3. Пусть $f:\; M \arrow N$ -- отображение пространств
с внутренней метрикой, которое сохраняет длины любых путей.
Докажите, что это изометрия, или найдите контрпример.
8.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Докажите, что $\Z^n$ с метрикой слов не квазиизометрична $\Z^m$,
для $n\neq m$. Докажите, что $\Z^2$ не квазиизометрична свободной группе.
2. Пусть $\Gamma_0\subset \Gamma$ -- подгруппа конечного
индекса. Докажите, что $\Gamma_0$ квазиизометрична $\Gamma$.
Выведите из этого, что свободная группа ${\Bbb F}_3$ от трех
образующих квазиизометрична ${\Bbb F}_2$.
3. Пусть конечно-порожденная
группа $\Gamma$ свободно и собственно действует
изометриями на геодезическом пространстве $X$, а фактор
$X/\Gamma$ компактен. Докажите, что $X$ квазиизометрично
$\Gamma$ с метрикой слов.
9 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной
шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
, , Курс метрической геометрии, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр
10.2 Основная литература
М. Громов, "Гиперболические группы", Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
П. де ля Арп, Э. Гис, "Гиперболические группы по Михаилу Громову", 1992, Москва, Мир.
10.3 Дополнительная литература
M. Gromov, http://www. ihes. fr/~gromov/PDF/4%5B92%5D "Asymptotic invariants of infinite groups." Geometric group theory. Volume 2 Proc. Symp. Sussex Univ., Brighton, July 14-19, 1991 Lond. Math. Soc. Lecture Notes 182 Niblo and Roller ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge (1993), 1-295.
Ilya Kapovich and Nadia Benakli, "Boundaries of hyperbolic groups", Combinatorial and Geometric Group Theory (R. Gilman, et al, editors), Contemporary Mathematics, vol. 296, 2002, pp. 39-94, http://www. math. uiuc. edu/~kapovich/PAPERS/bry1.pdf
http://berstein. /2011/07/03/boundaries-of-hyperbolic-groups/ Bernstein seminar on geometric group theory
http://www. ihes. fr/~gromov/topics/topic6.html Infinite groups: curvature, combinatorics, probability, asymptotic geometry
http://www. yann-ollivier. org/rech/index Yann Ollivier, Random groups and geometric group theory
